专练1 新定义、新情境专练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 1.［北京人大附中2024高一期末］科赫曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下：如 图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线 “ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫 曲线……在分形中，一个图形通常由个与它的上一级图形相似，且相似比为 的部分组成.若 ，则称 为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分形维数是( ) D A. B. C.1 D. 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 2 解析 由题意科赫曲线是由把全体缩小到原来的的4个相似图形构成的，所以，即 ， 则，所以分形维数 .故选D. 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 3 2.［陕西西安2024高一期末联考］若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函 数为“同族函数”.例如函数,与函数, 就是“同族函数”.下列四 个函数中能用来构造“同族函数”的是( ) A A. B. C. D. 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 4 解析 对于A，函数,与函数, 符合“同族函数”定义，A正确； 对于B，C，函数和在各自的定义域上都是增函数，当自变量 取值不同时，函数值 不同，因此无法用来构造“同族函数”，B，C错误； 对于D，在,上均单调递减，当自变量 取值不同时，函数值不同，因此 无法用来构造“同族函数”，D错误.故选A. 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 5 3.（多选）［山东泰安2025段考］高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学 王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.设，用表示不超过 的最大 整数，则称为高斯函数.例如：,.已知函数 ，则关于函 数 的叙述正确的是( ) BC A.是偶函数 B. 是奇函数 C.在上是增函数 D.的值域是,0， 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 6 解析 ，，即 , ， 则函数 既不是奇函数也不是偶函数，A错误； 依题意，，且的定义域为 , 因为，所以 是奇函数，B正确； 因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在 上是 增函数，C正确； 因为，所以，则，则，因此, ， D错误. 故选 . 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 7 4.［湖北部分学校2025高一期末联考］给出定义：若（其中为整数），则 叫做离实数最近的整数，记作，即.已知 . （1） ____； 解析 因为 , 所以 , 所以 . 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 8 （2）若方程恰有5个实数根，则实数 的取值范围是________. 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 9 解析 画出 的图象如图所示, 要使方程 恰有5个实数根, 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 结合图象可知, 解得,故实数的取值范围为 . 题型1 指、对、幂函数与新情境、新定义 5.［湖南邵阳2025高一期末］南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构 统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示）， 根据此图，以下说法正确的是( ) D A.2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 题型2 统计与概率中的新情境问题 12 解析 对于A,由题图可知,2015年至2022年,知识付费用户数量逐年增加,故A错误； 对于 ,知识付费用户数量的逐年增加量分别为： 2016年, ； 2017年, ； 2018年, ； 2019年, ； 2020年, ； 2021年, ； 2022年, ； 则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多, 知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增,故 错误； 对于D,由 , 则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍,故D正确.故选D. 题型2 统计与概率中的新情境问题 13 6.（多选）［河南多校2025联考］素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19 世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数 ，存在无穷多 个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称 为“表 兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数，，令事件 为孪生 素数，为表兄弟素数，，记事件，， 发生的概率分别为 ，， ，则下列关系式不成立的是( ) ABC A. B. C. D. 题型2 统计与概率中的新情境问题 14 解析 由题设，不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个， 从中任意取两个不同的素数，时有9个，时有8个，时有7个， 时有6个，时有5个，时有4个，时有3个，时有2个， 时有1个， 所以共有 个样本点. ,,, ，共4个样本点； ,,, ，共4个样本点； ,,,,,,,,, ，共10个样本点. 所以,，显然，.故选 . 题型2 统计与概率中的新情境问题 15 7.［四川广安二中2025高二开学考］九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案 正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和） 都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五 居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数， 其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件“ ”， 则 的值为__. 题型2 统计与概率中的新情境问题 16 解析 由题意九宫格的中间位置填5;,,,位置填偶数2,4,6,8;,,, 位置填奇数1,3,7,9.因为每 一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，所以先从2,4,6,8中任意选出一个数 填入 位置，则有4个结果， ①若 填2， 则填8，填6，填4，填7，填1，填3， 填9； 或填8，填4，填6，填9，填3，填1， 填7. ②若 填4， 则填6，填2，填8，填9，填7，填1， 填3； 或填6，填8，填2，填3，填1，填7， 填9. ③若 填6， 则填4，填2，填8，填7，填9，填3， 填1； 题型2 统计与概率中的新情境问题 17 或填4，填8，填2，填1，填3，填9， 填7. ④若 填8， 则填2，填6，填4，填1，填7，填9， 填3； 或填2，填4，填6，填3，填9，填7， 填1. 所以总的结果数共8个，其中符合的情况有，，， ， ，，共6个，所以 . 题型2 统计与概率中的新情境问题 8.某校的八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，寓意“方方正正做人”，又寄托南开人“面向 四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中， 已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转 后的正方形组合而成，已知向量 ，，则向量 ( ) D A. B. C. D. 题型3 平面向量与数学文化 19 解析 根据题意可得 . 图形是以正方形中心为中心将正方形逆时针旋转 后与原正方形组合而成，如图. 由对称性可得 , ， 点,,,共线，点,, 共线， 所以， ，所以 .故选D. 题型3 平面向量与数学文化 20 9.（多选）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点，，，以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合,,,，点 ，过作直线，使得不在上的“ ” 的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到 的距离之和.若 过的直线中有且只有一条满足，则 中所有这样的 为( ) ACD A. B. C. D. 题型3 平面向量与数学文化 21 解析 建立平面直角坐标系，如图所示，则记“”的四个点分别是,, , ，线段,,,的中点分别为,,,，则,,, ，则由 得四边形为平行四边形，设其对角线交于 ，则 ，即 ，由此求得与点 重 合，根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.而过点和 的直线有 且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；过点和 的直线有且仅有一条.所以符合条件的 点是,,.故选 . 题型3 平面向量与数学文化 22 $$