第五章 统计与概率 素养检测-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

本高中数学必修第二册第五章复习课件，系统梳理随机现象、抽样方法、统计图表、概率计算及数据特征分析等核心知识，通过各地名校月考联考真题案例，将离散型随机事件、分层抽样、方差计算等知识点串联，构建“概念-方法-应用”的逻辑知识网络。 其亮点在于采用“真题情境-分层训练-素养提升”复习模式，如结合“社区学生分配”“钥匙开门概率”等现实问题设计选择、填空、解答题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理分析的能力。解析步骤详尽，适配不同水平学生巩固知识，助力教师精准把握学情，提升单元复习效率。

数学 必修第二册 RJB 1 5 第五章素养检测 刷速度 2 建议用时：120分钟 1.下面四个选项中，是随机现象的是( ) A A.守株待兔 B.水中捞月 C.流水不腐 D.户枢不蠹 3 解析 A为随机现象，B为不可能现象，C，D为必然现象.故选A. 4 2.［辽宁多校2025期末联考］某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01， ， 38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选 出来的第5个零件的编号是( ) 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 C A.36 B.16 C.11 D.14 5 解析 从第一行第3列开始,由左至右依次读取,读取出来的零件的编号依次为36,33,26,16,11,所以 选出来的第5个零件的编号是11.故选C. 6 3.［山东日照一中2024高一月考］将某年级600名学生分配到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加 社会实践活动，每个人只能到一个社区.经统计，将到各个社区参加志愿者活动的学生人数绘制成 如图所示的不完整的两个统计图，则分到戊社区参加活动的学生人数为( ) C A.30 B.45 C.60 D.75 7 解析 由题意得，分配到乙社区的学生人数为 ，分配到丁社区的学生人数为 ， 故分到戊社区参加活动的学生人数为 .故选C. 8 4.［辽宁大连2024高一期末］按先后顺序抛掷两枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况，记 事件第一次出现正面，事件第二次出现反面，事件两次都出现正面，事件 至少出 现一次反面，则下列说法错误的是( ) D A.与对立 B.与不互斥 C. D. 9 解析 设出现正面为1，出现反面为2. 由题意可知,，,，，,, ， 由 ，,,, ,知A正确; 由 ，知B正确; 由，， ， 得 ，知C正确; 由 ，知D错误. 10 5.［河南南阳六校2025高一联考］已知一个容量为10的样本的平均数为5，方差为1.6.现将样本中 的3个数据4,5,6去掉，则去掉后剩余样本容量为7的样本的平均数和 分别是( ) B A.5，1 B.5，2 C.5，3 D.4，3 11 解析 设样本容量为10的样本数据为,, ,,由得 . 由方差 , 得 . 不妨设,, ,则 , .故选B. 12 6.［湖北部分重点中学2025高二联考］小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把 钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙又混进 去，第二次才能打开门的概率为，则， 的值分别为( ) A A.， B.， C.， D.， 13 解析 将6把钥匙分别标号为1,2,3,4,5,6,其中标号为5,6的钥匙是能打开门的,标号为1,2,3,4的钥匙 是不能打开门的. 如果随机地取一把钥匙试着开门,把不能开门的钥匙扔掉,即为不放回地抽取,那么尝试开门两次的 样本点有 （个）, 其中第二次才能打开门的样本点有,,,,,,, ,共有8个,所以 ； 如果试过的钥匙又混进去,即为有放回地抽取,那么尝试开门两次的样本空间为 , ,共有36个样本点, 其中第二次才能打开门的样本点有,,,,,,, ,共有8个,所以 .故选A. 14 7.［贵州遵义多校2025高二联考］七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由如图所示的七 块板组成的，即五块等腰直角三角形板（两块小型三角形板、一块中型三角形板和两块大型三角 形板），一块正方形板和一块平行四边形板.现从这七块板中任取两块，则这两块板面积相等的概 率为( ) C A. B. C. D. 15 解析 如图,将七块板编号如下, 所以从这七块板中任意取出两块的样本点有： ,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,, ,共有21种, 将七巧板划分如下,被分成8个全等的三角形,设正方形的面积为 , 则编号为1,2的三角板面积为,编号为4,6的三角板面积为 , 编号为3,5,7的平行四边形板、正方形板、三角形板面积均为 , 任取两块板面积相等的样本点有：,,,, . 从这七块板中任取两块,则这两块板面积相等的概率为 .故选C. 16 8.［湖南长沙2024高二入学考试］某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概 率分别为，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则 的 值为( ) A A. B. C. D. 17 解析 在甲、乙、丙处投篮投中分别记为事件，，，则,, ，可知恰 好投中两次为事件,, ， 故恰好投中两次的概率 ，解得 ． 18 9.［山东德州多校2025联考］某学校共有4 000人，其中高一1 000人，高二1 500人，高三 1 500人，现采用抽样调查的方式调查学生平均身高，则下列说法正确的是( ) BC A.若采用简单随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则高一（25）班的小明同学被抽入样本 的概率为 B.若采用按比例分配的分层随机抽样的方式，抽取容量为200的样本，则应从高一中抽取的人数 为50 C.若采用按比例分配的分层随机抽样，发现高一、高二、高三学生的样本平均身高分别为167， 169，173，则总体平均身高的估计值为170 D.若采用按比例分层随机抽样，发现高一、高二、高三学生的样本平均身高分别为167，169， 173，方差分别为50，60，40，则总体身高方差的估计值为50 19 解析 对于A,因为学校共有学生4 000人,则采用简单随机抽样的方式,抽取容量为200的样本, 高一（25）班的小明同学被抽入样本的概率应为 ,故A错误； 对于B,因为高一年级学生在全校学生中所占的比例为 ,现抽取容量为200的样本,则应从高一中抽 取的人数为 ,故B正确； 对于C,因为高一、高二、高三的学生人数的比例为 , 故按比例分配的分层随机抽样,总体的平均身高的估计值为 ,故C正确； 对于D,由C选项已得总体的平均身高约为170,则总体身高方差的估计值为 ,故D错误.故选 . 20 10.［四川泸州多校2025高二期中联考］下列说法正确的是( ) AC A.若，，，则事件与事件 相互独立 B.小付同学本学期参与了4次数学考试，则事件“至少有2次及格”与事件“只有一次及格”互为 对立事件 C.高二年级准备从18个班级中抽取2个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数 法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为，，则 D.若，，则 21 解析 对于A选项,因为,,所以 ,因为 ,所以事件与事件相互独立,故事件与事件 相互独立,A正确； 对于B选项,小付同学本学期参与了4次数学考试,则事件“至少有2次及格”包含的事件有“2次及 格”“3次及格”“4次及格”, 其对立的事件为“1次及格或4次全不及格”,因此,事件“至少有2次及格”的对立事件为“至多有 1次及格”,B错误； 对于C选项,高二年级准备从18个班级中抽取2个班级参与“附中好诗词”舞台搭建,采取抽签法和 随机数法两种不同方法抽取时,每个班级被抽中的概率分别为, ,则每个班级被抽中的概率相等, 故 ,C正确； 对于D选项,若, , 则,D错误.故选 . 22 11.［黑龙江哈三中2025高二期中］高中数学多选题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确 选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个 得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的 得0分.假如每道多选题正确答案是2个选项的概率为，正确答案是3个选项的概率为 .小明同学对 一道数学多选题没有思路，但是他可以断定B选项是错的（此题答案确实不含B选项），下列说法 正确的是( ) ABD A.单选A得2分的概率为 B.单选A得3分的概率为 C.从剩下三个选项中随机选两项得6分的概率为 D.剩余三个选项都选，得6分的概率为 23 解析 因为小明断定B选项是错的,且正确答案为2个或3个选项, 对于A,当正确答案为3个时,单选A得2分的概率为 ,故A正确； 对于B,当正确答案为2个时,单选A得3分的概率为 ,故B正确； 对于C,从剩余选项中随机选2个得6分,需要选对所有正确选项, 当正确选项为2个时,概率为 ,当正确答案为3个时,选两个不能得6分, 所以从剩下三个选项中随机选两项得6分的概率为 ,故C错误； 对于D,当正确答案为2个时,选3个得0分,概率为 , 当正确答案为3个时,选3个得6分,概率为,故D正确.故选 . 24 12.分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数 字之和为偶数的概率是__. 解析 从这4张卡片中随机抽取2张，共有，，，，， ，6种取法， 其中取出的2张卡片上的数字之和为偶数为， ，共2种，故取出的2张卡片上的数字之 和为偶数的概率是 . 25 13.［安徽江南十校2025联考］已知样本,, ,的平均数为3，方差为4，样本,, , 的 平均数为8，方差为2，则新样本,, ,,,, , 的方差为_____. 8.8 解析 ,, ,,,, ,的平均值为 . 根据分层随机抽样的方差公式得所求方差为 . 26 14.［江西赣州2025期末］陈某喜欢打排球和踢足球，他打算在连续的三天假期中每天下午选其 中一项进行体育锻炼.如果某天选排球，第二天还选排球的概率为 ；如果某天选足球，第二天还 选足球的概率为 .若陈某第1天随机选其中一项，则陈某第3天选排球的概率为___. 解析 设表示第天选排球,表示第 天选足球, 则 , 设陈某第3天选排球为事件 , 则事件是由,,, 四个互斥事件构成, 即 , 所以 . 27 15.（本小题满分13分）［湖北十堰六校2025高二联考］一袋中有3个白球（标记为， ， ）、2个黑球（标记为， ），这5个球除颜色外完全相同，每次从中摸出一个球. （1）若不放回地摸出2个球，写出该试验的样本空间； 【解】该试验的所有可能结果为 ,,,,,,,,,,,,,, , ,,,, . 因此,该试验的样本空间为 ,,,,,,,,,,,,, , ,,,,, . 28 （2）在（1）的条件下，求两个球的颜色不相同的概率； [答案] 由（1）可知,该试验的所有可能结果（样本点）共有 个,且每个结果出现的可能性 相同,记“摸出的两个球的颜色不相同”为事件 , 则,,,,,,,,,,, , 事件包含的样本点的个数为 , 则根据古典概型的概率求解公式得 . 29 （3）若有放回地摸出2个球，求至少有一个白球的概率. [答案] 若有放回地每次从中摸出一个球,则每次摸球彼此相互独立, 摸到白球（记为）的概率为 , 摸到黑球（记为）的概率为 , 记“摸出2个球中至少有一个白球”为事件 , 则 . 30 16.（本小题满分15分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条 生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据 检测结果按,,, 分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； 【解】甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为 . 31 （2）若产品的质量指数在 内，则该产品为优等品，现采用分层抽样的方法从甲、乙生产线 的样本中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取 的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率. [答案] 由题意可知甲生产线的样本中优等品有 件; 乙生产线的样本中优等品有 件. 则从甲生产线的样本中抽取的优等品有件，记为,,, ； 从乙生产线的样本中抽取的优等品有件，记为, . 从这6件产品中随机抽取2件的情况有,,,,,,,, , ,,,,, ，共15种， 其中符合条件的情况有,,,,,,, ，共8种. 故所求概率 . 32 17.（本小题满分15分）［重庆部分学校2025高一联考］随着新能源电动汽车的推广，人们对电 动汽车的电池续航能力非常关注.某 店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程 度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分 （单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分为三组：A. , B.,C. ），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是100,95,85,85,80,80,80,80,75,70. 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是85,85,85,80,80. 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲 83 80 乙 83 85 33 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： 34 （1）上述图表中____，______， ____. 80 82.5 30 【解】甲款电动汽车10名车主的评分数据中,80出现的次数最多,故众数为80,即 . 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占,B组占 , C组占 , 所以 , 所以A组有两个最大的数据,同时B组的5个数据是85,85,85,80,80, 所以最中间的数为85,80, 所以中位数为 , 即 . 35 （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由 （写出一条理由即可）. [答案] （答案不唯一,言之有理即可）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好,理由如下： 甲款和乙款评分的平均数相等,但乙款评分的众数和中位数都比甲款评分的大,所以乙款的满意度更好. （3）该 店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为 “非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数. [答案] 甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人,占比为 ,乙款电动汽车的车主“非常满意” 的占比为 , 所以估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总人数为 . 36 18.（本小题满分17分）［河南焦作2024高一期末］甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中， 甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为 ，假设甲、乙的射击相 互独立. （1）求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率； 【解】根据相互独立事件的概率公式，可得一轮比赛中，两人均击中目标的概率为 . （2）求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率； [答案] 甲击中2次，乙击中1次的概率为 ， 甲击中1次，乙击中2次的概率为 ， 故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为 . 37 （3）若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就 结束，且乙比甲多击中目标1次的概率. [答案] 由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标， 若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为 . 若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为 ， 故所求概率为 . 38 19.（本小题满分17分）［辽宁大连育明高级中学2025高一期末］将连续正整数1,2,3, , 从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当 时，此数为 ，共有15个数字，则.现从这个数中随机取一个数字， 为恰 好取到0的概率. （1）求 ； 【解】当时,有 ,即这个数共有195个数字, 其中数字0有12个,所以恰好取到0的概率为 . 39 （2）当时，求 的表达式； [答案] 当时,这个数由个1位数组成, ； 当时,这个数由9个一位数,个两位数组成, ； 当时,这个数由9个一位数,90个两位数, 个三位数组成, ； 当时,这个数由9个一位数,90个两位数,900个三位数, 个四位数组成, . 综上, 40 （3）令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数， ， ,,，求当时 的最大值. [答案] 当,时, ； 当时, ； 当时, , 所以 同理, 41 则由,可得 ,19,29,39,49,59,69,79,89,90, 当,则 , 当时, ； 当时, ； 当时, , 由关于 单调递增, 当时,的最大值为 . 又,所以时的最大值为 . $$