第五章 统计与概率 高考强化-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 5 第五章高考强化 刷真题 2 1.（多选）［全国新高考Ⅱ2021·9，5分］下列统计量中可用于度量样本,, , 离散程度的 有( ) AC A.,, ,的标准差 B.,, , 的中位数 C.,, ,的极差 D.,, , 的平均数 考点1 样本数据的数字特征 3 解析 平均数和中位数反映的是一组数据的平均水平，标准差和极差则体现了一组数据的离散程 度.故选 . 考点1 样本数据的数字特征 4 2.（多选）［全国新课标Ⅰ2023·9,5分］有一组样本数据,, ，,其中是最小值， 是最 大值，则( ) BD A.,,,的平均数等于,, ， 的平均数 B.,,,的中位数等于,, , 的中位数 C.,,,的标准差不小于,, , 的标准差 D.,,,的极差不大于,, , 的极差 考点1 样本数据的数字特征 5 解析 对于选项A：,不确定，,, , 的平均数不确定，如1,2,2,2,2,4的平均数不等 于2,2,2,2的平均数，故A错误； 对于选项B：不妨设，则,,,的中位数为，,,,,, 的中位 数为 ，故B正确； 对于选项C：,,,,,的波动性不小于,,, 的波动性， ,,,的标准差不大于,,,,, 的标准差，故C错误； 对于选项D：不妨设，则， ， 即,,,的极差不大于,,,,, 的极差，故D正确. 故选 . 考点1 样本数据的数字特征 6 3.［全国新课标Ⅱ2024·4，5分］某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻， 得到各块稻田的亩产量（单位： ）并整理得下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是( ) C A.100块稻田亩产量的中位数小于 B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C.100块稻田亩产量的极差介于至 之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于至 之间 考点1 样本数据的数字特征 7 解析 A选项,因为, ,所以100块稻田亩产量的中位数不小 于,A错误；B选项,因为100块稻田中亩产量低于 的稻田有66块,所占比例为 ,B错误；C选项,100块稻田亩产量的极差的最大值小于 ,最小值大 于,所以极差介于至 之间,C正确；D选项,同一组中的数据都用左端 点值来估计,则这100块稻田亩产量的平均值的最小值为 ,所以平均值不介于至 之间,D错误.故选C. 考点1 样本数据的数字特征 8 4.［全国乙理2023·17，12分］某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理， 另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率分别记为, .试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记,记,, ,的样本平均数为,样本方差为 . （1）求, ; 考点1 样本数据的数字特征 9 【解】因为 ， 所以，，，，，，，， ， ， 所以 ，所以 . 考点1 样本数据的数字特征 10 （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提 高（如果 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩 率有显著提高，否则不认为有显著提高）. [答案] 因为，即 ， 所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 考点1 样本数据的数字特征 11 5.［全国甲理2022·2，5分］某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效 果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位 社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图： 则( ) B A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正 确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确 率的极差 考点2 统计图表 12 解析 由题意知,讲座前问卷答题的正确率分别为,,,,,,,, , ,将其按照从小到大的顺序排列为,,,,,,,, , ,所以其中位数为,故A不正确；讲座后问卷答题的正确率分别为, , ,,,,,,, ,所以其平均数为 ,故B正 确；由题图可知,讲座前问卷答题的正确率比讲座后正确率的波动更大,所以讲座前问卷答题的正 确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,故C不正确；由题图可知,讲座前问卷答题的正确率的极 差为,讲座后问卷答题的正确率的极差为 ,故D不正确.故选B. 考点2 统计图表 13 6.（多选）［全国新高考Ⅱ2020·9，5分］我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复 工复产.下面是某地连续11天的复工、复产指数折线图. 根据该折线图，( ) CD A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加 B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量 C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过 D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量 考点2 统计图表 14 解析 由题图可知第8,9天复工指数和复产指数均减小，故A错误；第1天时复工指数小于复产指 数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故B错误；由题图可知第3 天至第11天，复工复产指数都超过 ,故C正确；第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指 数的增量，故D正确. 考点2 统计图表 15 7.［全国甲理2021·2，5分］为了解某地农村经 济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查， 将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率 分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( ) C A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为 B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 考点3 用样本估计总体 16 解析 由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为 ， 故A正确；年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 ，故B正 确；该地农户家庭年收入的平均值约为 ， 故C错误；年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为 ,故D正确.故选C. 考点3 用样本估计总体 17 8.［全国乙文2023·9,5分］某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个 主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( ) A A. B. C. D. 考点4 古典概型 18 解析 甲、乙两位参赛同学抽取主题的结果共有 （种），抽到相同主题的结果共有6种， 所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为 ，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的 概率为 ，故选A. 考点4 古典概型 19 9.［全国甲文2023·4,5分］某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随 机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( ) D A. B. C. D. 考点4 古典概型 20 解析 依题意，用,表示高一的2名学生，, 表示高二的2名学生，则从4名学生中随机选2 名学生的选法有,,,,, ，共6种，其中2名学生来 自不同年级的选法有,,,，共4种，所以所求概率 ,故选D. 考点4 古典概型 21 10.［全国新课标Ⅰ2024·14，5分］甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的 卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在 每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大 的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能 使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为__. 考点4 古典概型 22 解析 列举法：假设乙固定按照2,4,6,8的顺序,则甲所有的可能如表所示. 1 3 5 5 1 3 1 3 7 5 1 7 3 1 5 3 5 3 1 1 5 7 3 5 3 7 1 1 7 3 5 7 1 3 1 7 5 5 7 3 1 3 1 5 7 1 3 3 1 7 5 7 1 5 3 5 1 7 7 3 1 考点4 古典概型 23 3 5 7 1 7 3 5 3 7 1 5 7 5 1 3 3 7 5 1 7 5 3 1 续表 从中找均小于2,4,6,8与有3个数字分别小于2,4,6,8的情况,此时甲得0分或1分,符合上述情况的有 表中打√的12种情况. 那么甲的总得分不小于2分也有12种情况,由古典概型概率公式得所求概率为 （说明：固定 乙的顺序,将甲的情况排列出来,去挑选,也可以从中判断甲有2个及以上的数字超过乙的.如果改变 乙的顺序,其情况是类似的）. 考点4 古典概型 11.［北京文2019·17，12分］改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支 付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校所 有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅 使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 （1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数. 考点5 用频率估计概率 25 【解】由题知，样本中仅使用A的学生有人，仅使用B的学生有 人， A，B两种支付方式都不使用的学生有5人． 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有 人． 估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 考点5 用频率估计概率 26 （2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率. [答案] 记事件 为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000 元”，则 . 考点5 用频率估计概率 27 （3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人， 发现他本月的支付金额大于2 000元.结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付 金额大于2 000元的人数有变化？说明理由. 考点5 用频率估计概率 28 [答案] 记事件 为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（2）知， ． 答案示例1：可以认为有变化．理由如下： 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件是随机事件， 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有 变化． 考点5 用频率估计概率 29 12.［全国乙理2022·10,5分］某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独 立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为,,,且 .记该棋手连胜两 盘的概率为 ，则( ) D A.与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛， 最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛， 最大 考点6 随机事件的独立性 30 解析 设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为，第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为 ， 第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为 ，则 ， ， ，所以 ， ， 所以 最大，故选D. 考点6 随机事件的独立性 31 13.（多选）［全国新课标Ⅱ2023·12，5分］在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0 时,收到1的概率为，收到0的概率为 ;发送1时，收到0的概率为 ， 收到1的概率为 .考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次， 三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到 的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1， 则译码为1）( ) ABD A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为 B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为 C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为 D.当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为 0的概率 考点6 随机事件的独立性 32 解析 对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1,0,1，依次收到1,0,1的概率为 ，所以A选项正确. 对于B选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1,0,1的概率为 ， 所以B选项正确. 对于C选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1,1,1（即译码为1）的概率为 ；发送1，依次收到1,0,1（即译码为1），0,1,1（即译码为1）， 1,1,0（即译码为1）的概率为 ，于是译码为1的概率为 ，所以C选项不正确. 对于D选项，采用三次传输方案，发送0，依次收到0,0,0（即译码为0）的概率为 ；发送0，依次收到0,0,1（即译码为0），0,1,0（即译码为0）， 1,0,0（即译码为0）的概率为 ，于是译码为0的概率为 考点6 随机事件的独立性 33 .采用单次传输方案，发送0，译码为0的概率为 .依题意，有 ， ， 即， . 令函数 ，，则在 上恒成立，所以D选项正 确.故选 . 考点6 随机事件的独立性 14.［天津2023·13,5分］把若干个黑球和白球（这些球除颜色外没有其他差异）放进三个空箱 子中，三个箱子中的球数之比为，且其中的黑球比例依次为，， .若从每个箱 子中各随机摸出一个球，则三个球都是黑球的概率为___;若把所有球放在一起，然后随机摸出一 球，则该球是白球的概率为__. 考点6 随机事件的独立性 35 解析 由题意知从三个箱子中取到黑球的概率分别为,, ，因为从三个箱子中取球相互独立，所 以取得的球均为黑球的概率为.三个箱子中小球的数量占总数的比例分别为,, ，所 以白球占比为，则从中取得一个白球的概率为 . 考点6 随机事件的独立性 36 5 第五章高考强化 刷原创 37 1.参加乒乓球比赛的甲、乙两队各有名队员，其中甲队与乙队分别有 , 名技术水平相当的强手，两队其余队员为技术水平相当的弱手.观众评议比赛的观赏性程度为 “技术水平相当的选手对抗”为“精彩”，“不同技术水平的选手对抗”为“平常”，若两队在 单打比赛时随机确定一名选手进行对抗，则观众评议比赛“精彩”的概率比“平常”的概率 ( ) B A.大 B.小 C.相等 D.与， 的大小有关 38 解析 记观众评议比赛“精彩”为事件，事件表示“两名强手对抗”，事件 表示“两名弱 手对抗”，则,为互斥事件，且 ，由互斥事件的概率公式，得 . 记观众评议比赛“平常”为事件，事件 表示“强手与弱手对抗”，则 ， 又,,，则由均值不等式知 ，故观众评议比赛“精彩”的概率比“平常” 的概率小.故选B. 39 2.某公司对来应聘的人进行笔试，统计出200名应聘者的笔试成绩，整理得到下表： 组号 1 2 3 4 5 6 成绩分组 累积频率 0.05 0.15 注：第组的累积频率指的是前 组的频率之和. 若公司计划150人进入面试，则估计参加面试的最低分数线为____. 65 40 解析 由各组累积频率为1得，，则 . 又，设面试的最低分数线为笔试成绩从低到高排列的分位数 ，由题表知，笔试成 绩分别在与的累积频率分别为， ， 故 ， 解得 ， 从而可估计参加面试的最低分数线为65. 41 3.“划拳行酒令”起源于汉代，是饮酒时助兴的一种游戏.游戏规则是进行游戏的双方每人都伸出 一只手并出若干个手指，同时口中喊出 这11个数字，伸出的手指之和等于喊出的数，就视 为游戏胜者，游戏随之结束，否则要反复进行，直至分出胜负为止.已知甲、乙、丙三人，甲胜乙 的概率是，乙胜丙的概率是 ，甲胜丙的概率是0.8.先两人玩游戏，胜者和余下一人继续游戏， 每人间的胜负是相互独立的.甲、乙先进行游戏，则前三场游戏中，甲胜两场的概率是_______. 0.192 42 解析 设甲胜乙为事件，甲胜丙为事件.设前三场比赛中，甲胜两场为事件 ，则 . 43 4.某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取 名会员进行线上问卷调查，将会员的评 分（满分10分）从低到高分为四个等级: 会员评分 满意等级 不满意 一般 满意 非常满意 并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在 的会员人数为40. 44 （1）求样本容量及频率分布直方图中的 值； 【解】由频率分布直方图可知，评分在的频率 ，故样本容量 .又，故 . （2）若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估： [答案] 各组评分的区间中点值分别为,,,,, . （i）若会员满意度评分的平均值 低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产 品.根据所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由. [答案] 会员满意度评分的平均值 ，故该 公司应全力开发新产品. 45 （ii）记会员评分的样本标准差为，试估计会员总体在区间 的人数的百分比. （参考数据:,,, ） [答案] 因为方差 ，则，故, . 区间内评分不小于6.67的频率满足，解得，区间 内评分不大 于9.33的频率满足，即 ， 所以样本在区间的频率为 ， 因此用样本估计总体知， 所有会员在区间的人数的百分比约为 . 46 5.甲、乙两名选手在比赛中进入冠亚军决赛，主办方规定决赛采取五局三胜制，冠军、亚军分别 获得奖金的与 .已知甲、乙在历次比赛对阵中胜负持平，且每局比赛的胜负相互独立. （1）求甲、乙比赛四局决出冠军的概率. 【解】由题意知，甲选手每局获胜的概率为，其对立事件“乙每局获胜”的概率为 ， 若比赛四局决出冠军为甲，则前三局中乙只胜一局，第四局一定甲获胜，将每局获胜结果按对应 选手排序，则样本空间乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲 ，共有三个样本点，故冠军为甲的 概率，同理,冠军为乙的样本空间甲乙乙乙,乙甲乙乙,乙乙甲乙 ，故 冠军为乙的概率，故甲、乙比赛四局决出冠军的概率 . 47 （2）若决赛时，前三局甲、乙的比分为 ，由于不可抗拒的原因，比赛终止.主办方提出奖金 平分给两名选手，你同意吗？请用相关数学知识解释. [答案] 不同意，因为奖金的分配是以最终比赛结果为标准的，由于前三局甲、乙的比分为 ， 则甲在后续比赛中胜一局即可获得冠军，因此，“冠军为甲”对应的事件为“第四局甲胜”或 “第四局乙胜，第五局甲胜”，故冠军为甲的概率为 ，由对立事件的概率公式 知，冠军为乙的概率为，故冠军奖金部分应按 的比例分配给甲、乙，亚军奖金部分 应按的比例分配给甲、乙，设总奖金为，则甲应获得的奖金为 ，乙应 获得的奖金为，即甲、乙分配奖金的比例应为 . 48 $$