第5.3节综合训练-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦概率核心知识，涵盖互斥对立事件、古典概型、独立事件及实际应用。通过“比赛胜负”“商品抽奖”等情境导入，从集合关系判断过渡到概率计算，搭建“概念辨析-公式应用-实际建模”的学习支架。 亮点在于以“古人五行相克”“五子棋比赛”等情境培养数学眼光，通过分步推理（如三局两胜制概率计算）发展数学思维，用符号语言（P(A)、P(AB)）规范表达。题目分层设计，学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

数学 必修第二册 RJB 1 5.3 第5.3节综合训练 刷能力 2 建议用时：40分钟 1.对满足的非空集合, ，有下列四个命题： ①“若任取，则 ”是必然事件； ②“若，则 ”是不可能事件； ③“若任取，则 ”是随机事件； ④“若，则 ”是必然事件． 其中正确命题的个数为( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 3 解析 满足的非空集合,，对于①②，当集合是集合 的真子集时，显然存在元素在集合 中，不在集合中，因此“若，则 ”是随机事件，故①②错误； 对于③，任取，当集合是集合的真子集时， 有可能成立，也可能不成立，故③正确； 对于④，“若，则 ”一定成立，是必然事件，故④正确. 故正确命题的个数为2.故选C. 4 2.［山东淄博2025高二月考］已知事件，互斥，，且，则 ( ) A A. B. C. D. 5 解析 因为,且,所以, ,所以 .故选A. 6 3.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从 各10张）中任取一张：①“抽出红桃” 与“抽出黑桃”是对立事件；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的 数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”是互斥事件；④“抽出的牌的数字为2”与“抽出 的牌的数字为9”是互斥事件；⑤“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.其中正确的个数 为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 7 解析 对于①，因为有四种花色，所以“抽出红桃”与“抽出黑桃”是互斥而不对立事件,故①错误； 对于②，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件,故②正确； 对于③，如果抽出的牌的数字是10，既是“抽出的牌的数字为5的倍数”，又是“抽出的牌的数 字大于9”,故③错误； 对于④，抽出的牌的数字不可能是2又是9，所以“抽出的牌的数字为2”与“抽出的牌的数字为 9”是互斥事件,故④正确； 对于⑤，因为红桃、方块是属于红色牌，黑桃、梅花是属于黑色牌，所以抽出的一张牌不是红色 就是黑色，所以“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件,故⑤正确. 所以正确的说法有3个.故选C. 8 4.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五种属性的物质组成，如图，分 别是金、木、水、火、土这五行彼此之间存在的相生相克的关系.若从这五行中 任选不同的两行，则这两行相克的概率为( ) B A. B. C. D. 9 解析 因为从这五行中任选不同的两行有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、 水土、火土，共10种情况，其中相克的情况有金木、金火、水火、水土、木土，共5种，所以两 行相克的概率 .故选B. 10 5.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 ，若采用 三局二胜制，则乙最终获胜的概率为( ) B A.0.36 B.0.352 C.0.288 D.0.648 11 解析 由题意可得,乙最终获胜有两种情况： 一是前两局乙获胜，则获胜的概率为 ; 二是前两局中乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为 . 因为这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为 .故选B. 12 6.［江苏无锡2025月考］抛掷红、蓝两个除颜色外其他完全相同的骰子，观察朝上的面的点数， 记事件红骰子的点数为2，红骰子的点数为3，两个骰子的点数之和为7， 两个 骰子的点数之和为9，则( ) C A.事件与对立 B.事件与 不互斥 C.事件与相互独立 D.事件与 相互独立 13 解析 对于A，事件红骰子的点数为2，红骰子的点数为3，与 互斥但不对立，因 为红骰子的点数还有其他情况，比如4，故A错误； 对于B，两个骰子的点数之和为7，两个骰子的点数之和为9，与 不可能同时发生， 所以与 互斥，故B错误； 对于C，,两个骰子的点数之和为7的情况有,,,,, ,共6个样 本点，总的样本点为36，所以, ，所以 ，所以与相互独立，故C正确；对于D， ,两个骰子的点数 之和为9的情况有,,,,共4个样本点，总的样本点为36,所以 , ， 所以 ，D错误.故选C. 14 7.［河南驻马店2025月考］将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选 取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为( ) D A. B. C. D. 15 解析 依题意可知,总体平均数为97, 从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,情况如下： 选到95,96,则样本平均数为,所以 , 选到95,97,则样本平均数为96,所以 , 选到95,98,则样本平均数为,所以 , 选到95,99,则样本平均数为97,所以 , 选到96,97,则样本平均数为,所以 , 选到96,98,则样本平均数为97,所以 , 选到96,99,则样本平均数为,所以 , 选到97,98,则样本平均数为,所以 , 选到97,99,则样本平均数为98,所以 , 选到98,99,则样本平均数为,所以 , 所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为 .故选D. 16 8.口袋中装有编号为①，②的2个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编 号外形状大小完全相同.现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件 为 “取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是( ) C A.与互斥 B.与对立 C. D. 17 解析 依题意得，若取到的小球为黑球且编号为②，则事件与同时发生，故与 不互斥，也 不对立，A，B都不正确； 由古典概型的概率计算公式得，， ，于是得 ，C正确，D不正确.故选C. 18 9.（多选）［江西南昌二中2025高一期末］下列对各事件发生的概率判断正确的是( ) AC A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是，那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数 字之和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不 同颜色球的概率为 D.设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生 不发生的概率相同， 则事件发生的概率是 19 解析 对于A,该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯,则该学生在前2个路口不是红灯,第3个 路口是红灯,所求概率为 ,A正确； 对于B,从这4张卡片中随机抽取2张,不同结果为12,13,14,23,24,34,共6个, 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为12,14,23,34,共4个,概率为 ,B错误； 对于C,甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球, 从每个袋子中各任取一个球,则取到不同颜色球的概率为 ,C正确； 对于D,由独立事件的概率公式可得 解得,D错误.故选 . 20 10.（多选）［辽宁本溪高级中学2024适应性测试］通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带 来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现 要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1）进行标号为 ， 然后将其放入一个箱子中，从中有放回地随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的 标号为，第二次为.设，其中表示不超过 的最大整数，则( ) BCD A. B.事件与 互斥 C. D.事件与 对立 21 解析 由题知，从中有放回地随机取两次，结果（记为 ）有11,12,13,14,15,16,21,22,23,24, 25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,共36种， 若，则有14，23，32，41，共4种,所以 ，故A错误； 若，则恒成立，所以与 互斥，故B正确； ，故C正确； 因为恒成立，所以与 对立， 当时，恒成立，故D正确.故选 . 22 11.［四川凉山州2025高二开学考］现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，， ， ，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，， 的化学成绩优 秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和 不 全被选中的概率为__. 23 解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个样本点为 ,,,,,, , ,,,, ． 设“和不全被选中”为事件,则其对立事件表示“和 全被选中”,由于 ,,所以 . 由对立事件的概率计算公式得 . 24 12.［湖北武汉2025高二月考］如图，某电子元件由,, 三种部件组成，现将该电子元件应用到 某研发设备中，经过反复测试，,,三种部件不能正常工作的概率分别为,, ，各个部件是否正 常工作相互独立，,同时正常工作或 正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正 常工作的概率是__. 25 解析 设题图中上半部分正常工作为事件,下半部分正常工作为事件 ,该电子元件能正常工作为 事件 . , . ,, ,即该电子元件能正常 工作的概率是 . 26 13.［山东淄博2024高二月考］一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，， ，当且 仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134等）.若,, ，2，3， ，且,, 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是__. 27 解析 由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1， 2，4组成的三位自然数有6个,由1，3，4组成的三位自然数有6个，由2，3，4组成的三位自然数 有6个，共有24个三位自然数.由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个.所 以这个三位数为“有缘数”的概率 . 28 14.甲、乙两位同学进行五子棋比赛，两人棋艺相当，每局中无平局，且每局比赛互不影响，为了增 加游戏乐趣，两人各出32张卡片，他们约定，谁先赢四局则获胜，得到全部的卡片，当甲赢了两局， 乙赢了一局时，因故要中止比赛，那么此时甲分____张卡片，乙分____张卡片才算公平． 44 20 29 解析 由题意得甲、乙两位同学获胜的概率均为 ，且最多再比四局，最少再比两局， 则再比两局甲获胜的概率为 ， 再比三局甲获胜的概率为 ， 再比四局甲获胜的概率为 ， 所以甲获胜的概率为 ， 所以甲应该分（张）卡片，乙分 （张）卡片才算公平. 30 15.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概 率是，得到黄球或蓝球的概率是 . （1）分别求盒中红球、黄球、蓝球的个数. 【解】从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件,, ， 因为事件,, 两两互斥， 所以由已知得 解得 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1. 31 （2）随机试验：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色. （ⅰ）写出该试验的样本空间 ； [答案] 由（1）知红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用 表示黄球， 用表示蓝球，表示第一次取出的球的颜色，表示第二次取出的球的颜色， 表示试验的 样本点，则样本空间,,,,,,,,,, , ,,,, . 32 （ⅱ）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度，判断这个 游戏是否公平?请说明理由. [答案] 由得，记“取到两个球颜色相同”为事件 ，“取到两个球颜色不相同”为 事件，则，所以，所以.因为 ，所以 此游戏不公平. 33 $$