5.3.5 随机事件的独立性-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 5.3 5.3 概率 2 5.3 5.3.5 随机事件的独立性 刷基础 3 1.［湖南长沙一中2025开学考试］掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次出现的点数 是奇数点”，乙表示事件“两次骰子的点数之和是7”，则甲与乙的关系为( ) C A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.既不互斥也不独立 题型1 判断事件的相互独立性 4 解析 由题设,样本空间为,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,, ,共有36种, 甲有,,,,,,,,, , ,,,,,,,,共有18种,则概率为 , 乙有,,,,,,共有6种,则概率为 , 显然同时满足甲、乙的有,,且概率为,则 , 所以甲、乙不互斥也不对立,但相互独立,A,B,D错,C对.故选C. 题型1 判断事件的相互独立性 5 2.（多选）［辽宁大连2025高一期末］某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为 的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件 “取出的小球编号为奇 数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件 “取 出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是( ) ABD A.与互斥 B.与互为对立 C.与互为对立 D.与 相互独立 题型1 判断事件的相互独立性 6 解析 抽奖者从中任取一个球的样本空间为 , 事件,事件,事件,事件 , 且 ,则与互斥,且与互为对立事件, 正确； 且真包含于 ,事件与 不互为对立,C错误； ,,,事件与相互独立,D正确.故选 . 题型1 判断事件的相互独立性 7 链接教材 此题改编自教材第118页例1,判断两个事件是否相互独立的方法: （1）利用 可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是用计算方法进行判断， 应熟练掌握. （2）判断两个事件是不是相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对 另一个事件发生的概率是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件. 题型1 判断事件的相互独立性 8 3.（多选）,,,则事件与 的关系错误的是( ) ABD A.事件与互斥 B.事件与 对立 C.事件与相互独立 D.事件与 既互斥又相互独立 题型1 判断事件的相互独立性 9 解析 由题意可得 , 因为,,可得,所以事件与 相互独立，但不互斥 也不对立.故选 . 题型1 判断事件的相互独立性 10 4.［河北衡水2025高一月考］从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( ) D A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 题型2 相互独立事件概率的计算 11 解析 记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且 , ，事件， 相互独立. 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有 ，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为 ， 则 ，故B正确；对于C选项，至少 有1个红球的对立事件是 ， 则 ， 所以至少有1个红球的概率为 ，故C正确； 对于D选项，“2个球不都是红球”与“2个球都是红球”是对立事件，所以2个球不都是红球的 概率为 ，故D不正确． 故选D. 题型2 相互独立事件概率的计算 12 5.［福建福州2025高一月考］已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球， 两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色， 则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取 球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是___. 题型2 相互独立事件概率的计算 13 解析 若两次取球后,乙袋中恰有4个球,则两次取球均为同色. 若第一次取球均取到红球,其概率为 , 第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球,乙袋有1个红球和4个白球, 第二次取到同色球概率为 , 此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ； 若第一次取球均取到白球,其概率为 , 第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球,乙袋有2个红球和3个白球, 第二次取到同色球概率为 , 此时乙袋中恰有4个小球的概率是 . 所以乙袋中恰有4个小球的概率是 . 题型2 相互独立事件概率的计算 14 6.［四川泸州2025高二开学考］两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的 入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道 题均不需要回答）.已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，， ， 且小明、小华两人每道题能否答对相互独立.记“小明只回答2道题就结束面试”为事件 ，记 “小华3道题都回答且通过面试”为事件 . （1）求事件发生的概率 ； 【解】若事件 发生,则小明前两题都答对或都答错, 所以 . 题型2 相互独立事件概率的计算 15 （2）求事件和事件同时发生的概率 ； [答案] 若事件 发生,则小华前两题答对一题,答错一题,第三题答对, 根据题意,小华3道题都回答且通过面试的概率为 , 由题意可知,事件,相互独立,则 . 题型2 相互独立事件概率的计算 16 （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率. [答案] 记小明没有通过面试为事件 , 即分前两道题回答对一道且最后一道题错误或前两道题均回答错误两种情况, 则小明没有通过面试的概率为 , 可得小明通过面试的概率为 , 小华通过面试的事件记为,则概率为 , 由题意可知,事件, 相互独立, 则小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为 , 则概率为 . 题型2 相互独立事件概率的计算 17 规律方法 已知两个事件，相互独立，它们发生的概率分别为， ，则有 事件 表示 概率 ， 同时发生 ， 都不发生 ） ， 恰有一个发生 ） ， 中至少有一个发生 ） ， 中至多有一个发生 ） 题型2 相互独立事件概率的计算 18 $$