5.3.4 频率与概率-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“频率与概率”核心内容，通过“用频率估计概率”“概率的理解”两大题型，结合随机数模拟、降雨量与发电量等实例，衔接概率定义与实际应用，以试验数据和例题解析为支架，帮助学生构建频率与概率的关联认知。 其亮点在于融入大量现实情境案例（如松鼠数量估计、外卖骑手日单量统计），引导学生用数学眼光观察频率稳定现象，通过辨析题和易错点总结培养数学思维，用数据表格和符号表达强化数学语言。学生能提升知识应用能力，教师可系统覆盖知识点与易错点，提高教学效率。

数学 必修第二册 RJB 1 5.3 5.3 概率 2 5.3 5.3.4 频率与概率 刷基础 3 1.对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；② 做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件 发生的概率；③频率是一个比 值，但概率不是；④频率是不能脱离具体的 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于 试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的说法有( ) C A.①③⑤ B.①③④ C.①④⑤ D.②④⑤ 题型1 用频率估计概率 4 解析 频率是一个不确定的值，随试验次数的变化而变化，但具有相对的稳定性.而概率是一个确 定的值，不随试验次数的变化而变化，但当试验次数无限增大时，频率趋向于概率.因此①④⑤是 正确的. 题型1 用频率估计概率 5 特别注意 （1）概率是频率的稳定值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；（2）频率本身是随 机的，在试验前不能确定；（3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定， 与试验的次数无关. 题型1 用频率估计概率 6 2.［湖北部分市2025高二期末联考］某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两 胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 ，利用计算机模拟试验，计算机 产生之间的随机数，当出现随机数 时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局， 所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数： 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为( ) A A.0.9 B.0.95 C.0.8 D.0.85 题型1 用频率估计概率 7 解析 设事件 为“甲获胜”, 20组随机数,其中事件 发生了18次, .故选A. 题型1 用频率估计概率 8 3.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 （单位：万千瓦时）与该河流上游在六月 份的降雨量（单位：毫米）有关.据统计，当时，；每增加10， 增加5.已知近 20年 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160， 200，140，110，160，220，140，160. 该河流上游近20年六月份降雨量频率分布表如下： 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 假定每年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，则明年 六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为( ) B A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 题型1 用频率估计概率 9 解析 在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故 近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 明年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率 或 或 . 题型1 用频率估计概率 10 4.［湖南常德2025高二月考］为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉 松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记 号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠________只. 1 000 解析 估计此森林内约有松鼠 （只）. 题型1 用频率估计概率 11 5.在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机 摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近， 则袋子中红球约有___个. 8 解析 设袋中红球个数约为, 摸到红球的频率稳定在0.8附近，,解得 . 题型1 用频率估计概率 12 6.［辽宁朝阳2025高二月考］下列说法一定正确的是( ) B A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B.随机事件发生的概率与试验次数无关 C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.一个骰子掷一次得到2的概率是 ，则掷6次一定会出现一次2 题型2 概率的理解 13 解析 A选项,一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,也可能出现三投都不中的情况,A错误； B选项,随机事件发生的概率是一个固定的值,与试验次数无关,B正确； C选项,若买彩票中奖的概率为万分之一,则买一万元的彩票不一定会中奖一元,C错误； D选项,一个骰子掷一次得到2的概率是 ,掷6次出现2的次数不确定,可能是1次,也可能是2次或者其 他次数,D错误.故选B. 题型2 概率的理解 14 7.（多选）下列说法正确的有( ) AC A.某地大、中、小型超市分别有20家、40家、140家，现用分层抽样的方法从这些大、中、小型 超市中抽取一个容量为10的样本进行研究，应抽取中型超市2家 B.在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生的概率是0.5 C.一组数据的标准差越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好 D.在抛币试验中，试验次数从1增加到10的过程中，随机事件发生的频率越来越接近其概率 题型2 概率的理解 15 解析 对于选项A,用分层抽样的方法从这些大、中、小型超市中抽取一个容量为10的样本进行研 究，应抽取中型超市的数量为 ，故选项A正确； 对于选项B,随机事件发生的概率满足,即事件发生的概率不一定为 ，故选项B不正确； 对于选项C,一组数据的标准差越小，方差就越小，该组数据离散程度越小，稳定性越好，故选项 C正确； 对于选项D,当试验的次数很大时，随机事件的频率接近其概率，试验次数从1增加到10的过程中， 试验的次数太少，随机事件发生的频率不一定接近其概率，故选项D不正确. 故选 . 题型2 概率的理解 16 8.（多选）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验， 得到事件 “一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率表如下： 序 号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 题型2 概率的理解 17 根据以上信息，下面说法正确的有( ) AC A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B.试验次数较少时，频率波动较大；试验次数较多时，频率波动较小，所以试验次数越少越好 C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D.我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 题型2 概率的理解 18 解析 A选项，试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确； 试验次数较少时，频率波动较大，试验次数较多时，频率波动较小，所以试验次数越多越好，故 B错误；随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近,此固定值就是概 率，故C正确；我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故 D错误.故选 . 题型2 概率的理解 19 9.［河南南阳六校2025高一期末联考］近些年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市 的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他 们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 （1）估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； 【解】10名外卖骑手中有7人的日单量大于30,频率为 , 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为 . （2）求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； [答案] 平均数为 . 方差为 . 题型2 概率的理解 20 （3）若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司， 试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） [答案] 乙公司的外卖骑手日单量的差异更大,理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为 , 乙公司的外卖骑手日单量的极差为 , 由于 ,故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 题型2 概率的理解 21 10.（多选）［山东济宁一中2025段考］下述关于频率与概率的说法中，错误的是( ) AC A.设有一大批产品，已知其次品率为 ，则从中任取100件，必有10件是次品 B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过 ，所估计出的 概率也不一定很准确 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 易错点 不能正确理解频率与概率的意义而致误 22 解析 对于A：从中任取100件,可能有10件次品,A错误； 对于B：10 000次的界定没有科学依据,“不一定很准确”的表达正确,试验次数越多,频率越稳定 在概率值附近,但并非试验次数越多,频率就等于概率,B正确； 对于C：多次重复试验中事件发生的频率稳定在某一常数附近,此常数为概率,C中描述不符合概率 定义,C错误； 对于D：抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 ，符合频率定义，D 正确.故选 . 易错点 不能正确理解频率与概率的意义而致误 23 易错警示 此类题易因不理解概率的意义而出错,要注意概率与频率的区别.一个事件的概率是通过大量的重 复试验得到的,其反映了该随机事件发生的可能性大小. 易错点 不能正确理解频率与概率的意义而致误 24 5.3 5.3.4 频率与概率 刷提升 25 1.下列说法中，正确的是( ) D A.某种彩票中奖的概率是 ，因此购买100张该种彩票一定会中奖 B.做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此抛一枚硬币出现正面的概率是 C.若事件,,两两互斥，则 D.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的点数和是3的倍数的概率是 26 解析 对于A项，由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故A错误； 对于B项，做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此抛一枚硬币出现正面的频率为 ，不是概 率为 ，故B错误； 对于C项，事件,, 两两互斥，比如抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，投掷出1点，2点，3点这 三个事件两两互斥，但这三个事件的和事件发生的概率为 ，故C错误； 对于D项，同时抛掷两枚质地均匀的骰子共包含36个样本点， 其中向上的点数和是3的倍数的情况有,,,,,,,, , ,, ，共12个样本点， 根据古典概型的概率公式，可得所求概率为 ，故D正确.故选D. 27 2.［辽宁沈阳市郊联体2025高一期末］某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行 质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有( ) C A.1万件 B.18万件 C.19万件 D.2万件 28 解析 由题意合格率约为 , 因此合格品件数约为 （万件）,故选C. 29 3.（多选）［浙江杭州2025高二期中］中国篮球职业联赛 中，某篮球运动员在最近几次参 加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件，“投中三分球”为事件 ，“没投中”为事 件 ，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是( ) ABC A. B. C. D. 30 解析 依题意,,, ,A,B,C正确； ,D错误.故选 . 31 4.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明 通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和 ，则布袋中白色球的 个数可能是____． 15 解析 摸到红色球、黑色球的频率稳定在和， 摸到白色球的频率大约为 ， 故布袋中白色球的个数可能是 . 32 5.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出 的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高 气温（单位：）有关.如果最高气温不低于 ，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间 ，需求量为400瓶；如果最高气温低于 ，需求量为300瓶.为了确定六月份的订 购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温/ 天数 1 17 38 22 7 5 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于各区间的概率. （1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每 天平均的需求量； 33 【解】由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间和最高气温低于的天数为 ， 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率为 . 前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为 （瓶）. 34 （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 550瓶时，写出的所有可能值，并估计 大于零的概率. 35 [答案] 当最高气温大于等于 时，需求量为600， （元）； 当最高气温在 时，需求量为400， （元）； 当最高气温低于 时，需求量为300， （元）. 则当最高气温大于等于时， . 由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温大于或等于 的天数为 ， 估计大于零的概率为 . 36 $$