5.3.3 古典概型-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 5.3 5.3 概率 2 5.3 5.3.3 古典概型 刷基础 3 1.［安徽江南十校2025高二联考］下列试验中符合古典概型研究的试验是( ) B A.抛掷一颗六个面都是不同材质的骰子，观察正面向上的点数 B.抽奖箱里有4个白球和6个黑球，这10个球除颜色外完全相同，从中任取一个球 C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D.射击选手进行射击训练，结果为命中10环、命中9环、…、命中0环 题型1 古典概型的判断 4 解析 在选项A中,因为骰子各个面材质不一样,所以每一面出现的可能性是不均等的,故不是古典概型； 在选项B中,球的数量有限,且每次试验中,每个球被抽中的可能性相同,故B项是古典概型； 在选项C中,试验的样本点个数无限,故不是古典概型； 在选项D中,因为各环的大小不均等,不满足各个样本点出现的可能性相等,所以不是古典概型.故选B. 题型1 古典概型的判断 5 规律方法 （1）一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征：有限性和等可能性． （2）并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限,但非等可能; ②样本点个数无限,但等可能; ③样本点个数无限,也不等可能． 题型1 古典概型的判断 6 2.（多选）［山东济南2025高二月考］下列不是古典概型的是( ) ABD A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点 题型1 古典概型的判断 7 解析 A选项,任意抛掷两枚骰子,所得点数之和不满足“等可能”,所以A选项不是古典概型. B选项,取出的正整数不满足“有限”,所以B选项不是古典概型. C选项,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,样本点是有限的,且是等可能 的,所以求甲被选中的概率属于古典概型,所以C选项是古典概型. D选项,抛掷的次数不满足“等可能”,所以D选项不是古典概型.故选 . 题型1 古典概型的判断 8 3.［山东威海2024高一期末］甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从报名的4名教师中任选2名， 则选出的2名教师来自不同学校的概率为( ) C A. B. C. D. 题型2 求解古典概型 9 解析 设甲校报名支教的两名教师分别为,，乙校报名支教的两名教师分别为, ，从这报 名的4名教师中任选2名，共有,,,,, 这6种情况， 选出的2名教师来自不同学校共有,,, 这4种情况，所以所求概率 为 . 题型2 求解古典概型 10 链接教材 本题是教材第111页练习A第3题的同类试题，考查古典概型的计算.古典概型的概率计算的难点不 在公式的应用，而是样本空间中样本点个数的确定以及事件包含的样本点个数的确定，在刚开始 学习时可以一一列举，然后根据古典概型的计算公式 计算所求事 件的概率. 题型2 求解古典概型 11 4.［江苏盐城中学2025高二段考］在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其 他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为( ) B A. B. C. D. 题型2 求解古典概型 12 解析 设3个红球分别为,,,2个黑球分别为, . 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”, 所以试验的样本空间,,,,,,,,,,,,, , ,,,,, , 记“两次取到的球颜色相同”,则,,,,,,, , 由古典概型的概率计算公式,可得 .故选B. 题型2 求解古典概型 13 规律方法 古典概型中样本点总数的探求方法 （1）列举法:对于本题这种情境比较简单,样本点个数不是很多的概率问题,按一定顺序,不重不漏 地列举出所有样本点,然后数出样本点总数和使得要求事件发生的样本点个数. （2）树形图法：适合于较为复杂的问题中的样本点的探求.对于样本点有“有序”与“无序”区 别的题目,常采用树形图法. （3）列表法：适用于多元素样本点的求解问题,通常把问题的分析归结为有序数对,从而通过列表 准确、全面地得出所有样本点. 题型2 求解古典概型 14 5.［北京房山区2024高一期末］在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称 为该随机事 件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 题型2 求解古典概型 15 解析 根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况， 则事件“恰好出现一次正面”的概率 ， 所以“恰好出现一次正面”的自信息为 . 题型2 求解古典概型 16 6.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是任一个大于2的偶数都可以写成两个素数 （质数）之和.我国数学家华罗庚、潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相 当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( ) C A. B. C. D. 题型2 求解古典概型 17 解析 16可以拆成,,,,,,,,,, , ,,,,共15种情况,其中拆成的和式中加数全部为质数的有： , , ,,共4种情况.所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率 . 题型2 求解古典概型 18 7.（多选）［浙江杭州2025高二期中联考］某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给 出的A,B,C,D四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分， 选对两项得6分，若答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选 择题的正确答案是 ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( ) ABC A.甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B.乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 C.丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 D.丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 题型2 求解古典概型 19 解析 甲同学仅随机选一个选项,共有4个样本点,分别为,,, ,随机事件“能得3分”中有 样本点,,故“能得3分”的概率为 ,故A正确. 乙同学仅随机选两个选项,共有6个样本点,分别为,,,,,,,,,,, ,随机事件“能 得6分”中有样本点,,故“能得6分”的概率为 ,故B正确. 丁同学随机至少选择两个选项,但不选四项,共有10个样本点,分别为,,,,,,,,, , , , ,B,,,B,,,C,,,C,,随机事件“能得分”中有样本点,,故“能得分”的概率为 , 故C正确. 丙同学随机选择选项,但不选四项,由C选项与A选项的分析可知共有14个样本点, “能得分”中有样本点,,,,故“能得分”的概率是,故D错误.故选 . 题型2 求解古典概型 20 8.［辽宁锦州2025高一期末］为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体 学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的每个学生需要从3个趣 味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； 【解】设3个趣味项目分别为（跳绳）,（踢毽子）,（篮球投篮）,2个弹跳项目分别为 （跳高）, （跳远）. 从5个项目中随机抽取2个,其样本空间,,, , ,,,,, ,共10个样本点. 设事件 为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”, 则,, ,共3个样本点, 故所求概率为 . 题型2 求解古典概型 21 （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. [答案] 从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个, 其样本空间,,,,, , 共6个样本点. 其中抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的样本点为 ,共1个样本点, 故所求概率为 . 题型2 求解古典概型 22 9.［湖南长沙一中2025高一月考］已知集合，是集合的真子集且 ，如果 , ,，使得，其中 ,，则称，是集合 的一组有序基底集，记为 .已知，且为的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于4的概率为 _ __. 解析 由题意,满足集合的基底集可以为,, , ,,,, , ,,, ,共有11组, 再把每组中的两个集合调换位置,此时也是11组, 综上可得,集合的有序基底集共有22组,其中满足集合 中元素之和小于4的有9组,所以所求概率 为 . 题型3 古典概型的综合应用 23 10.［江西抚州2024高一期末］镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口， 老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位： ），将得 到的数据按,,,, 分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示. （1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数； 题型3 古典概型的综合应用 24 【解】因为, ， 所以该板栗园的板栗质量的中位数在 内. 设该板栗园的板栗质量的中位数为，则 ， 解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为 . 题型3 古典概型的综合应用 25 （2）现采用分层随机抽样的方法从质量在和 内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗 中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在 内的概率. [答案] 由题意可知采用分层随机抽样的方法从质量在内的板栗中抽取 颗，分别记为, ； 从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为,, . 从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有,,,,,,,,, ，共10种，其中符合条件 的情况有,,,,,,，共7种，故所求概率 . 题型3 古典概型的综合应用 26 11.［四川南充高级中学2025高二月考］杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸” “莲莲”.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完 全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸” 的概率是( ) D A. B. C. D. 易错点1 遗漏样本点致错 27 解析 记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,， 代表依次摸出的卡片， ,,,，则样本空间中的样本点有,,,,,, , , ，共9个， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的有, ，2个样本点， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是 .故选D. 易错点1 遗漏样本点致错 28 易错警示 本题要注意不要忽略题干中说明了是有放回抽样，故样本空间中的样本点有9个；若是不放回抽 样，则样本空间中的样本点有6个，答案为 . 易错点1 遗漏样本点致错 29 12.现有甲、乙、丙、丁4名学生参加学校社团文学社和街舞社的活动，每人参加且只能参加一个 社团的活动，且参加每个社团是等可能的.则文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为__；甲、 乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率为__. 易错点1 遗漏样本点致错 30 解析 甲、乙、丙、丁4名学生参加学校文学社和街舞社的活动的情况如下表. 文学社 街舞社 1 甲、乙、丙、丁 2 甲、乙、丙 丁 3 甲、乙、丁 丙 4 甲、丙、丁 乙 5 乙、丙、丁 甲 6 甲、乙 丙、丁 7 甲、丙 乙、丁 8 甲、丁 乙、丙 9 乙、丙 甲、丁 易错点1 遗漏样本点致错 31 文学社 街舞社 10 乙、丁 甲、丙 11 丙、丁 甲、乙 12 甲 乙、丙、丁 13 乙 甲、丙、丁 14 丙 甲、乙、丁 15 丁 甲、乙、丙 16 甲、乙、丙、丁 续表 共有16种情况，即有16个样本点. 文学社和街舞社都至少有1人参加的样本点有14个，概率 ， 易错点1 遗漏样本点致错 因此，文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为 . 甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的样本点有4个，概率 . 易错点1 遗漏样本点致错 易错警示 计算样本点时常用的方法有列举法、列表法、树形图法，列表法适用于试验中包含两个或两个以 上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题.注意按照一定的逻辑，不能遗漏. 易错点1 遗漏样本点致错 34 13.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道，甲、乙两 人依次各抽取一道题，则甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率为___. 解析 设3道选择题分别为，，,2道填空题分别为， ，甲、乙两人依次各抽取一道题的情 况有，，，，，，，，， ， ，，，，，，，，， ，共20种. 甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有，，，，， ，6种， 故所求概率为 . 易错点2 求解古典概型问题时忽视顺序而致误 35 14.从含有两件正品，和两件次品, 的四件产品中，每次任取一件. （1）若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 易错点2 求解古典概型问题时忽视顺序而致误 36 【解】方法一：将两次结果看作是有顺序的.每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其所有可 能的结果有，，，，，，， ， ，，， ,共12种. 用 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”， 所以，，，,,，， . 因为事件由8个样本点组成，所以 . 方法二：将两次结果看作是无顺序的.每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其所有可能的结 果有,,,,,,共6种.用 表示“取出的两件产品中恰有 一件次品”，则,,,，因为事件 由4个样本点组成，所以 . 易错点2 求解古典概型问题时忽视顺序而致误 37 （2）若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. [答案] 有放回地连续取出两次，其所有可能的结果为，，， ， ，，，，，，，, ， ，， ，共16种.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样 本点的出现是等可能的.用表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则 ， ，，,，，，.事件 由8个样本点组成，所 以 . 易错点2 求解古典概型问题时忽视顺序而致误 38 易错警示 求解有序和无序问题的注意点 （1）关于不放回抽样：计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的， 其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.（2）关于 有放回抽样：应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以， 不是同 一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出 的机会都是均等的. 易错点2 求解古典概型问题时忽视顺序而致误 39 5.3 5.3.3 古典概型 刷提升 40 1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中 任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A A. B. C. D. 41 解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间，，， ， ，，，，， ，共10种，其中3个数构成一组勾股数的 样本点为，共1种，所以所求概率为 .故选A. 42 归纳总结 求古典概型概率的步骤 （1）判断是否为古典概型； （2）算出样本空间 包含的样本点总数 ； （3）算出事件中包含的样本点个数 ； （4）算出事件的概率，即 . 43 2.［安徽皖江名校2025联考］已知样本空间,,,中有4个等可能的样本点，且, , ,，则 ( ) D A.1 B. C. D. 44 解析 因为样本空间,,,,又,,,,则,,所以 , 样本空间,,,中包含4个等可能的样本点,事件 包含1个样本点, 由古典概型概率公式得 .故选D. 45 3.［山东枣庄2025高一期末］某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽 出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后 抛掷一颗骰子，调查中使用两个问题：①第一次骰子的点数是否比第二次的大？②你是否经常吸 烟？两次骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两次骰子点数和为偶数的学生如实回答 第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终 盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为( ) B A.0.035 B.0.07 C.0.105 D.0.14 46 解析 由题意,两次骰子点数和为奇数与偶数的概率相等,都为 , 则回答问题①②的人数均约为100. 若回答问题①,则抛掷两次骰子所有可能情况有,,,,,,, , ,（4, 1）,,,,,,,, ,共18个样本点, 所得点数第一次比第二次大的有,,,,, , ,,,共9个样本点,所以在回答问题①的前提下,回答是的概率为 , 所以回答问题①时,大约有 人回答“是”, 所以回答问题②时,大约有 人回答“是”, 故该地区中学生吸烟人数的比例约为 .07.故选B. 47 4.现有， 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.通过小 莉掷立方体朝上的数字为、小花掷立方体朝上的数字为来确定点 ，则她们各掷一次 所确定的点落在抛物线 上的概率为___. 解析 由题意知，点的横坐标有6种可能，纵坐标也有6种可能，因此点 的坐标共有36种可能 的结果.其中坐标，，能使解析式成立，所以点 落在抛物线 上共有3种可能的结果，其概率 . 48 5.［广西南宁2024高一开学考］某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以 每1 000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰 好中奖的概率是___. 解析 每张奖券被抽中的可能性相同, 只抽1张奖券共有1 000种等可能的结果，其中中奖有 种等可能的结果， 只抽1张奖券恰好中奖的概率 . 49 6.［江西景德镇一中2025高一期末］手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行 走步数（单位：百步），绘制出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中 的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； 50 【解】由题意得 ,解 得 . 因为, ,所以设中 位数为 , 则,解得 , 所以中位数是125. 51 （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13 000的人数； [答案] 由 , 所以估计职工一天行走步数不大于13 000的人数为112. 52 （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于或等于15 000的3组职工中用分层随机抽样的方法 选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间 的概率. 53 [答案] 在区间中有 （人）, 在区间中有 （人）, 在区间中有 （人）, 按分层随机抽样抽取6人, 则从中抽取4人,中抽取1人, 中抽取1人. 设从中抽取的职工分别为,,,,从中抽取的职工为,从 中抽取 的职工为 , 则从6人中抽取2人的情况有,,,,,,,,,,,,, , EF,共15种情况,它们是等可能的, 其中满足两人均来自区间的有,,,,, ,共有6种情况, 所以 . 所以两人均来自区间的概率为 . 54 7.［厦门大学2024强基计划］在30以内的所有素数中，随机选取若干个，使得它们的和为30的概 率是____. 解析 30以内的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 随机选取若干个,共有种情况,和为30的情况有,,, , ,,故所求概率为 . 55 $$