5.3.2 事件之间的关系与运算-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“事件之间的关系与运算”，涵盖包含、相等、并、交关系及互斥、对立事件等核心知识点，通过抛掷骰子、投篮等实例导入，衔接随机事件概念，为概率公式学习搭建基础支架。 其亮点在于以丰富实例（如骰子点数、电路元件故障）培养数学眼光，通过辨析题与分步解析发展逻辑推理的数学思维，用集合符号规范表达事件关系的数学语言，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源与方法指导。

数学 必修第二册 RJB 1 5.3 5.3 概率 2 5.3 5.3.2 事件之间的关系与运算 刷基础 3 1.［广东佛山三中2025高二质量检测］抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件 ，“向上的点数是1或5”为事件 ，则( ) B A. B. 表示向上的点数是1或3或5 C.表示向上的点数是1或3 D. 表示向上的点数是1或5 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 4 解析 由题可知,“向上的点数是1或3”为事件,“向上的点数是1或5”为事件,所以事件 不等 于事件 ,故A错误； 事件 表示“向上的点数是1或3或5”,故B正确,C错误； 事件 表示“向上的点数是1”,故D错误.故选B. 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 5 2.（多选）［四川部分学校2025期末联考］某人连续投篮三次，每次投一球，记事件 为“三次 都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有两次投中”，事件 为“至少有两次投 中”，则( ) ACD A. B. C. D. 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 6 解析 设为三次投篮命中次,,则,,, ,可得 , 所以, ,, , 故正确,B错误.故选 . 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 7 3.对于事件与事件，已知，，如果，则 _____. 0.2 解析 因为，所以 . 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 8 4.掷一个骰子，有下列事件： 出现奇数点，出现偶数点，出现点数小于 . 【解】由题意可得，， . （1）用样本点表示事件，事件 ； [答案] ， . （2）用样本点表示事件，事件 . [答案] ， . 题型1 事件的包含、相等、和（并）、积（交）关系 9 5.（多选）［山东潍坊2025质检］从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正 确的是( ) BD A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥且对立的事件 D.“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 题型2 事件的互斥与对立 10 解析 “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,与“都是黑球”可以同时 发生,不是互斥事件,故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,“至少有一个红球”等价于“一 个黑球和一个红球或两个红球”,可以同时发生,故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”,与“恰好有两个黑球”不能同时发生,样本 点还有可能都是红球,不是对立事件,故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”,与“都是红球”不同时发生,且 一定会有一个发生,是对立事件,故D正确.故选 . 题型2 事件的互斥与对立 11 规律方法 判断互斥事件与对立事件的方法 判断两个事件是否为互斥事件,注意看它们能否同时发生,若不能同时发生,则这两个事件是互斥事 件；若能同时发生,则这两个事件不是互斥事件． 判断两个事件是否为对立事件,主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个 发生.如果这两个条件同时成立,那么这两个事件就是对立事件,只要有一个条件不成立,那么这两个 事件就不是对立事件．两个事件是对立事件的前提是这两个事件是互斥事件． 题型2 事件的互斥与对立 12 6.（多选）［辽宁省实验中学等三校2025联考（改编）］抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机 事件：“点数不大于2”；“点数大于2”；“点数大于5”； “点数为奇数”.则 下列说法正确的有( ) BD A. B.，为对立事件 C.与互斥 D. 题型2 事件的互斥与对立 13 解析 对于A,“点数大于2” ,故A错误； 对于B,“点数大于2”与“点数不大于2”不可能同时发生,且必有一个发生,即, 为对立事件,故B 正确； 对于C,“点数为奇数”与“点数大于2”可以同时发生,即与 不是互斥事件,故C错误； 对于D,“点数为奇数”与“点数大于5”不可能同时发生,故 ,故D正确.故选 . 题型2 事件的互斥与对立 14 7.［辽宁辽阳2024高一期末］一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8， 9，10，，，各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件 “取出的牌有两张6”，事件 “取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件 “取出的牌有一 张红桃6”，则( ) D A.事件与事件互斥 B.事件与事件互斥 C.事件与事件互斥 D.事件与事件 互斥 题型2 事件的互斥与对立 15 解析 因为事件与事件，事件与事件，事件与事件 都可以同时发生，所以A，B，C错误 选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件与事件 互斥，D正确. 题型2 事件的互斥与对立 16 名师点拨 事件、事件互斥是指事件与事件在一次试验中不会同时发生，即 ;②如果事件 与事件是互斥事件，那么与 这两个事件同时发生的概率为0. 题型2 事件的互斥与对立 17 8.已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 ( ) C A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 18 解析 因为，事件与对立，所以.又，与 互斥，所以 ，故选C. 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 19 9.［陕西多校2025高一期末联考］连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，分别记录下每次抛掷的结 果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第 次抛掷的结果为正面向 上”（其中 ,2），则有( ) D A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件 是对立事件 C. D. 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 20 解析 根据题意，试验的结果有：正正、正反、反反、反正. 则事件正正，事件正正、正反，事件 正正、反正. 对于A，事件与事件 不是互斥事件，它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其他结果如反反，所以事件与事件 不是对立事件，故 B错误； 对于C， ， ， 所以 ，故C错误； 对于D，，，所以 ，故D正确. 故选D. 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 21 10.在一次随机试验中，三个事件,,发生的概率分别是，， ，则下列说法正确的是 ____. ①与 是互斥事件，也是对立事件； ② 是必然事件； ③ ； ④ . ④ 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 22 解析 设置随机试验：袋子中放有大小相同且标号为 的十个小球，从中任取一球，设事件 为“取出球标号为1或3”，事件为“取出球标号为1或3或5”，事件 为“取出球标号为奇 数”，三个事件,,的概率分别是,,.可知与不是互斥事件， 不是必然事件，,，（当事件与 互斥时， ），故只有④正确. 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 23 11.若，互为对立事件，，，且，，则 的最小值是___. 8 解析 因为，互为对立事件，则，且， ，可得 ，当且仅当，即 时，等 号成立，所以 的最小值是8. 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 24 12.［上海中学2024高二期末］事件，互斥，它们都不发生的概率为，且 . （1）求 ； 【解】设事件为事件发生或事件发生，则 ， 事件的对立事件为事件，都不发生，由已知得 ， . 又 事件，互斥，且 ， ， ， . 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 25 （2）求 . [答案] 事件为事件 的对立事件， . 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 26 13.［河南驻马店十校2025高一联考］已知事件发生的概率为，事件 发生的概率为 ，且事件和事件的并事件发生的概率为 . （1）求事件和事件同时发生的概率 ; 【解】由概率的加法公式，可得 ， 则 . （2）若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率 ; [答案] 因为事件是事件的对立事件，所以 ， 依题意，事件与事件互斥，则 ， 即，得 . 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 27 （3）若事件是事件和事件的交事件的对立事件，求事件发生的概率 . [答案] 因为事件是事件和事件 的交事件的对立事件， 则 . 题型3 互斥事件和对立事件的概率公式 28 14.若，则事件与 的关系是( ) D A.与是互斥事件 B.与是对立事件 C.与 不是互斥事件 D.以上都不对 易错点1 不能正确理解对立事件的概率公式而致误 29 解析 在同一试验下，就算，也未必是对立事件，如投掷骰子一次，事件 表示 出现的点数为1或2或3，事件表示出现的点数为2或3或4，此时, , ，但事件与事件却不是互斥事件，也不是对立事件.当事件和事件 对立时， 可以有，所以事件与 的关系是不确定的.故选D. 易错点1 不能正确理解对立事件的概率公式而致误 30 易错警示 若事件， 是对立事件，则两事件概率的和为1.反之，若两事件的概率的和为1，但两事件不一 定对立. 易错点1 不能正确理解对立事件的概率公式而致误 31 15.［河北承德2024高二开学摸底］若随机事件，互斥，， 发生的概率均不等于0，且 ，，则实数 的取值范围为______. 解析 随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且， ， 即 解得 . 易错点2 不能正确理解概率的取值范围而致误 32 易错警示 本题中求解时要注意根据题意以及概率的性质列出满足题意的不等式组，由于， 互斥且发生的 概率均不等于0，所以它们发生的概率也不为1. 易错点2 不能正确理解概率的取值范围而致误 33 5.3 5.3.2 事件之间的关系与运算 刷提升 34 1.［山东淄博中学2025高二期末联考］某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛， 则下列事件是互斥而不对立的事件是( ) A A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生” 35 解析 对于A,“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生,但可以同时不发生,A符合题意； 对于B,“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生,即选出一名男生和一名女生的事 件,B不符合题意； 对于C,“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生,即选出全是男生的事件,C不符合题意； 对于D,“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生,但必有一个发生,是对立事件,D不符合题 意.故选A. 36 2.某学校组织学生参加兴趣小组，其中有的学生选择数学小组， 的学生选择英语小组， 的学生选择数学或英语小组，则该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生 总数的比例是( ) C A. B. C. D. 37 解析 设“选择数学小组”为事件，“选择英语小组”为事件 ，则“选择数学或英语小组”为 事件，“既选择数学小组又选择英语小组”为事件 ， 依题意得，， ， 所以 . 故该学校既选择数学小组又选择英语小组的学生数占该校学生总数的比例是 .故选C. 38 3.（多选）［吉林通化三校2025高二月考］对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹， 记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件 为“恰有一次击中飞 机”，事件 为“至少有一次击中飞机”，则( ) ABC A. B. C. D. 39 解析 对空中飞行的飞机连续射击两次,其样本点有：“两次都击中飞机”“两次都没击中飞机” “恰有一次击中飞机”,所以, ,A,C正确； 事件和事件交集为 ,且 ,B正确,D错误.故选 . 40 4.［四川成都2025高二月考］抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为 ”，其 中,2,3,4,5,6，“点数不大于2”，“点数大于2”， “点数大于4”.则下列结 论错误的是 ( ) D A.与互斥 B. ， C. D.， 为对立事件 41 解析 由题意与 不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2， 中点数为3，4，5，6中的一个，因此它们的并是必然事件，但它们不可能 同时发生，因此 为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此 ，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，因此与 互斥但不对立，D错误.故选D. 42 名师点拨 对立事件的特征：一次试验中不会同时发生，且必有一个事件发生； ②对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件； ③从集合的角度看，事件的对立事件是全集中由事件 所含结果组成的集合的补集． 43 5.“二十四节气”是上古农耕文明的产物，表达了人与自然宇宙之间独特的时间观念，是中华民 族悠久文化内涵和历史的沉淀.根据多年气象统计资料，某地在节气夏至当日下雨的概率为 ， 阴天的概率为 ，则该地在节气夏至当日为晴天的概率为( ) C A.0.65 B.0.55 C.0.35 D.0.75 44 解析 某地在节气夏至当日下雨的概率为，阴天的概率为 ，则该地在节气夏至当日为晴 天的概率 .故选C. 45 6.（多选）［广东佛山2025高二质量检测］如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设 “甲元件故障”，“乙元件故障”， “丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是 ( ) ACD A. B. C. D. 46 解析 对于A,由题意得“甲元件正常”,“乙、丙元件同时故障”, “乙元件和丙元 件至少有一个正常”,故 表示电路是通路,A符合题意. 对于B,“甲、乙元件同时故障”,“甲元件和乙元件至少有一个正常”, “甲、丙 元件同时故障”,“甲元件和丙元件至少有一个正常”, 不能得到甲元件一定正常,故 不能表示电路是通路,B不符合题意. 对于C,“甲元件正常”,“乙元件正常”,“丙元件正常”, “乙元件和丙元件至 少有一个正常”,故 表示电路是通路,C符合题意. 对于D,“甲、乙元件均正常”,“甲、丙元件均正常”,故 表示电路是通路,D 符合题意.故选 . 47 7.某医院派出医生下乡医疗，一天内派出医生人数及其概率如下： 医生人数 0 1 2 3 4 5名及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 求： 【解】记事件为“不派出医生”，事件为“派出1名医生”，事件 为“派出2名医生”，事件 为“派出3名医生”，事件为“派出4名医生”，事件 为“派出不少于5名医生”． 事件，，，，，彼此互斥，且，，， ， ， . 48 （1）派出医生至多2名的概率； [答案] “派出医生至多2名”的概率为 . （2）派出医生至少2名的概率. [答案] “派出医生至少2名”的概率为 . 49 多种解法 （2） “派出医生至少2名”与“派出医生至多1名”是对立事件， “派出医生至多1名”的概率 ， “派出医生至少2名”的概率 . 50 规律方法 （1）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事 件的概率等于这些事件概率的和，并且互斥事件的概率加法推广公式 ，其使用的前提条件仍然是，， ， 彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥. （2）“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本题中的第（2）问，直接求 解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求. 51 $$