5.1.2 数据的数字特征-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

数学 必修第二册 RJB 1 5.1 5.1 统计 2 5.1 5.1.2 数据的数字特征 刷基础 3 1.［甘肃兰州2025高一段考］某赛季篮球运动员甲参加了13场比赛，每场比赛个人得分分别为12， 15，24，25，31，31，35，36，36，39，41，44，50，则该组数据的四分位数分别为( ) A A.25，35，39 B.24，35，41 C.28，31，39 D.，35， 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 4 解析 已知该组数据是按从小到大的顺序排列,由, , , 得该组数据的四分位数分别为第4,7,10个数据,即25,35,39.故选A. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 5 归纳总结 计算一组个数据的 分位数的一般步骤 第1步,按照从小到大排列原始数据. 第2步,计算 . 第3步,若不是整数,大于的最小整数为,则分位数为第项数据；若是整数,则分位数为第 项与第 项数据的平均数. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 6 2.［重庆巴蜀中学2025月考］某地某年调研了十万名城镇居民的税后年收入（单位：千元）情况， 统计数据如下： 收入范围 占比 则该地人均税后年收入的中位数大约是( ) D A.46 B.48 C.56 D.58 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 7 解析 由统计图表可知 , , 所以中位数在之间,中位数大约是 .故选D. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 8 3.（多选）［四川绵阳中学2025高二期末］已知一组数据1,2,1,3,, ,1,3，则下列结论正确的有 ( ) AC A.若 ，则这组数据的众数为1 B.若 ，则这组数据的中位数为3 C.若，则这组数据的平均数的最小值为 D.若 ，则这组数据的平均数的最小值为2 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 9 解析 对于A,数据中1出现次数最多,则众数为1,故A正确； 对于B,数据从小到大排序为1,1,1,2,3,3,4,4,则中位数为 ,故B错误； 对于C,D,由,可得,当且仅当 时取等号, 则平均数最小值为,故C正确,D错误.故选 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 10 4.［江西抚州临川一中2024高一月考］已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据 （单位：分）从小到大排列后，得到甲队：7，12，12，20，，31；乙队：8，9， , 19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均数也相等，则和 的值分别为( ) C A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 11 解析 由题意得甲队的平均数为 ， 乙队的平均数为 ， 又甲队的中位数为，所以乙队的中位数为，即 ， 故,得 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 12 5.在从小到大排列的数据：20,21,25,31,31,|,34,42,43,45,47,48中,有一个数字被污染而模糊不清, 但曾计算得该组数据的最小值与中位数之和为53,则被污染的数字为( ) C A.31 B.33 C.32 D.34 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 13 解析 设被污染的数字为，又该组数据的最小值为20，则中位数为 ，所以 ,解得 .则被污染的数字为32.故选C. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 14 6.对共有10人的一个数学小组做一次数学测试,测试题由10道单项选择题构成,每答对1题得5分,答 错或不答得0分,批阅后的统计得分情况如表所示: 得分 50分 分 分 分 人数 2 4 8 10 则这次测试的平均成绩为____分. 42 解析 由题意，得50分的有2人,得45分的有2人,得40分的有4人,得35分的有2人,则平均成绩为 （分）. 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 15 7.根据所给的以下数据：,,，，，,,,,,求这组数的 分 位数, 分位数. 【解】把这组数据从小到大排序，得,，，,,,,, , ，，所以分位数为，,所以 分位数为 . 题型1 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 16 8.下列对一组数据的分析，说法不正确的是( ) B A.数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C.数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 题型2 极差、方差与标准差 17 解析 极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中.方差、标准差是用来衡量一 组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越 不稳定.方差、标准差较小的数据波动较小，稳定程度较高.平均数越小，说明数据整体上偏小， 不能反映数据稳定与否.故选B. 题型2 极差、方差与标准差 18 9.［山东济宁2025高一开学考］体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发 展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛. 甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人7次机会，每次投篮投中个数记录如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 甲投中个数 6 7 5 6 4 3 8 乙投中个数 8 4 6 7 6 5 7 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为，，方差分别为， .则下列结论正 确的是( ) D A. B. C. D. 题型2 极差、方差与标准差 19 解析 依题意, , ,所以 . , , 所以 .故选D. 题型2 极差、方差与标准差 20 10.（多选）［辽宁丹东2025期末］有一组原样本数据,, , ，由这组数据得到新样本数据 ,, ,，其中, 为非零常数，则( ) CD A.新样本数据的平均数是原样本数据的平均数的2倍 B.新样本数据的中位数是原样本数据的中位数的2倍 C.新样本数据的标准差是原样本数据的标准差的2倍 D.新样本数据的极差是原样本数据的极差的2倍 题型2 极差、方差与标准差 21 解析 对于A,设 , 则,且 ,A错误； 对于B,设原样本数据的中位数为,则新样本数据的中位数为,且 ,B错误； 对于C,设原样本数据的标准差为,则新样本数据的标准差为 ,C正确； 对于D,设原样本数据的极差为 ,则新样本数据的极差为 ,D正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 22 二级结论 若,,, ,的平均数为,方差为,则,,, ,的平均数为 , 方差为 题型2 极差、方差与标准差 23 11.（多选）小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15,16,18,20,20,22,24,25.按比赛规则， 计算选手最后得分时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉这组得分中的最高分和最低 分后，下列数字特征的值不会发生变化的是( ) ACD A.平均数 B.极差 C.中位数 D.众数 题型2 极差、方差与标准差 24 解析 对于A，去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均数为 ， 去掉最高分和最低分之后，个数据的平均分为 ，A正确； 对于B，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 极差为8，B错误； 对于C，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据 的中位数为20，C正确； 对于D，去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的 众数为20，D正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 25 12.（多选）［河南南阳六校2024高一期末］某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的 环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地 区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征 推断，环境治理一定达标的地区是( ) AD A.甲地区：平均数为90，方差为10 B.乙地区：平均数为60，众数为50 C.丙地区：中位数为50，极差为70 D.丁地区：中位数为80，极差为20 题型2 极差、方差与标准差 26 解析 设每天的空气质量指数为，平均数为,则方差为 . 对于A，由，得 ，若这10天中有1天的空气质量指数大于 或等于100，则必有 ，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都小于100，故 A正确； 对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的 环境治理不达标，故B错误； 对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不 达标，故C错误； 对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与中位数为80矛盾，故最大 值不大于100，故D正确.故选 . 题型2 极差、方差与标准差 27 13.已知一组样本数据,, ，,且，平均数 ，则该组数据 的方差为______． 58.2 解析 因为一组样本数据,, ,，且，平均数 ， 所以该组数据的方差为 . 题型2 极差、方差与标准差 28 14.［辽宁锦州2025高一期末］甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如表所示. 甲 9 10 6 9 6 8 乙 5 10 10 7 10 6 （1）分别求出甲、乙运动员6次射击得到的环数的平均数； 【解】由题中甲、乙运动员的6次射击成绩可得甲6次射击得到的环数的平均数为 ; 乙6次射击得到的环数的平均数为 . 题型2 极差、方差与标准差 29 （2）分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的 发挥更稳定. [答案] 甲射击环数的方差为 ； 乙射击环数的方差为 . 由于 ，因此甲运动员的发挥更加稳定. 题型2 极差、方差与标准差 30 链接教材 本题与教材第131页复习题A组第5题类似，考查平均数与方差在实际生活中的应用.方差刻画的是 数据的离散程度，在平均数相等的情况下，方差越小，数据越稳定. 题型2 极差、方差与标准差 31 15.下列说法不正确的是( ) D A.方差是标准差的平方 B.标准差的大小不会超过极差 C.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0 D.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在 样本平均数周围越分散 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 32 解析 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数 据在样本平均数的周围越分散.因此不正确的是D. 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 33 易错警示 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大； 标准差、方差越小，数据的离散程度越小. 易错点1 对方差、标准差的含义理解不透而致误 34 16.某班有48名学生，在一次考试中统计出成绩的平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学 的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是 ( ) B A.70，25 B.70，50 C.70， D.65，25 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 35 解析 甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，因此平均分不发生变化. 设除甲、乙外的其余46名学生的分数（单位：分）分别为,, , ，则原方差为 , 更正后方差为 ,故选B. 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 36 易错警示 方差的简化计算公式：或写成 ， 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方. 易错点2 平均数与方差因计算不准致错 37 $$