5.1.1 数据的收集-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“数据的收集”核心内容，涵盖总体与样本、简单随机抽样、分层抽样等知识点，通过大学生生活情况调查、视力情况分析等生活实例导入，构建从概念辨析到方法应用的学习脉络，为学生搭建循序渐进的知识支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如分析春节联欢晚会收视率调查方案的合理性，引导学生发现现实问题中的数据关系。通过概念对比（如个体与具体人/物的区别）和逻辑推理（如分层抽样比例计算）发展数学思维，结合“神舟十九号”零部件检查等实例强化应用。对学生而言能提升数据分析能力，对教师可提供结构化题型与解析，助力高效教学。

数学 必修第二册 RJB 1 5.1.1 5.1.1 数据的收集 2 5.1.1 课时1 总体与样本 刷基础 3 1.［河南南阳2025高二月考］某大学学生管理处为了了解新入学的3 000名大学生的生活情况， 从中抽取了120名大学生进行调查研究.在这个问题中，被抽取的120名大学生的生活情况是 ( ) D A.总体 B.个体 C.样本量 D.样本 题型1 总体与样本 4 解析 根据定义,被抽取的120名大学生的生活情况是样本.故选D. 题型1 总体与样本 5 名师点拨 注意区分概念,个体是某一调查对象,而不是具体的人或物,总体是调查对象的全体,样本是从总体中 抽出的若干个体组成的集合,样本容量是样本中个体的数目.如在本题中,总体是新入学的3 000名 大学生的生活情况；个体是每一名新入学的大学生的生活情况；样本是被抽取的120名大学生的 生活情况；样本容量是120. 题型1 总体与样本 6 2.［安徽江淮十校2025高二联考］某中等职业学校为了了解高二年级1 200名学生的视力情况， 抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是( ) C A.样本容量指的是1 200名学生 B.每名学生是总体的一个个体 C.200名学生的视力是总体的一个样本 D.1 200名学生是总体 题型1 总体与样本 7 解析 样本容量是200,故A错误; 每名学生的视力是总体的一个个体,故B错误； 200名学生的视力是总体的一个样本,故C正确； 1 200名学生的视力是总体,故D错误.故选C. 题型1 总体与样本 8 3.下列各项调查中你认为合理的有( ) ①为了了解全校同学喜欢课程的情况，对某班男同学进行抽样调查； ②“神舟十九号”飞船发射前，采用抽样调查的方式检查其各零部件的合格情况； ③采用抽样调查的方式了解国内外观众对某电影的观影感受. B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 题型2 数据的收集 9 解析 ①要了解全校同学喜欢课程的情况，应在各班进行抽样，同时不能仅限男同学，不合理； ②“神舟十九号”飞船发射前，应采用全面调查检查其各零部件的合格情况，不合理； ③了解国内外观众对某电影的观影感受，采用抽样调查，合理.故选B. 题型2 数据的收集 10 4.［江西部分学校2025高二联考］在下列调查中，适合用普查的是( ) B A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 B.调查一个县各村的粮食播种面积 C.调查一批炮弹的杀伤半径 D.调查一批玉米种子的发芽率 题型2 数据的收集 11 解析 普查是对全体调查对象进行研究的一种调查方式. A.调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例,鱼的种类和数量较多,不适合普查； B.调查一个县各村的粮食播种面积适合普查； C.调查一批炮弹的杀伤半径,调查数目较多,且具有破坏性,可以使用抽查,不适合普查； D.调查一批玉米种子的发芽率,调查数目较多,且具有破坏性,不适合普查.故选B. 题型2 数据的收集 12 5.中央电视台希望在春节联欢晚会播出10天后获得当年春节联欢晚会的收视率.下面是两位同学为 电视台设计的调查方案: 同学甲:我把这一张“春节联欢晚会收视调查表”放在互联网上,只要上网登录该网站的人就可以 看到此调查表,他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中,这样我就可以很快地统计收视率了. 同学乙:根据各大手机业务公司发放的手机号码,随机抽取一定数量的手机号,然后逐个给他们打电 话,问一问他们是否收看了春节联欢晚会,我不出家门就可以很快地统计出春节联欢晚会的收视率. 请思考:两位同学的设计方案能获得比较准确的春节联欢晚会的收视率吗?为什么? 题型2 数据的收集 13 【解】两位同学的设计方案都不能获得比较准确的春节联欢晚会的收视率.这是因为他们的设计方 案中只局限于两个群体，即家中安装了互联网和有手机的人群,而实际生活中,虽然互联网在普及, 但在我国仍然有很多的家庭没有安装互联网,手机用户也有一定的局限性,这些因素都会影响到收 视率的准确性. 题型2 数据的收集 14 5.1.1 课时2 简单随机抽样 刷基础 15 1.对于简单随机抽样，下列说法正确的是( ) D ①它要求被抽取样本的总体的个体数有限； ②它是从总体中逐个进行抽取的，以便在抽样实践中进行操作； ③它是一种不放回抽样； ④它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样 方法的公平性. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 题型1 简单随机抽样 16 解析 由简单随机抽样的特点知，全部正确. 题型1 简单随机抽样 17 2.［黑龙江牡丹江2025高二月考］下列抽样方法是简单随机抽样的是( ) D A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验 B.网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的 C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个数分析奇偶性 D.某运动员从8条跑道中随机抽取1条跑道试跑 题型1 简单随机抽样 18 解析 选项A,一次性抽取不是逐个不放回地抽取，不符合简单随机抽样的要求，故A错误； 选项B,老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”，故B错误； 选项C,因为总体容量是无限的，不符合简单随机抽样的要求，故C错误； 选项D,8条跑道，抽取1条，总体有限，每个个体被抽到的机会均等，是简单随机抽样，故D正确. 故选D. 题型1 简单随机抽样 19 规律方法 简单随机抽样的特点 ①被抽取样本的总体的个体数有限； ②从总体中逐个地进行抽取； ③是一种不放回抽样； ④是一种等可能抽样. 题型1 简单随机抽样 20 3.若一个口袋中有20个大小、质地完全相同的小球，从中不放回地任取5个小球，则某一个特定 的小球被抽到的可能性是__；第三次抽取时，剩余的每个小球被抽到的可能性是___. 解析 因为简单随机抽样过程中,每个个体被抽到的可能性是相等的，均为 ,因此某一个特定 的小球被抽到的可能性是 .由于本题中的抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时每个个体被抽到的 可能性为,第二次抽取时还剩19个小球，每个个体被抽到的可能性为 ，第三次抽取时，还剩下 18 个小球，因此每个个体被抽到的可能性为 . 题型1 简单随机抽样 21 名师点拨 简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都是相等的，与抽取的顺序无关.本题第一问求解时应 明确是在整个的抽取过程中,某特定小球被抽到的可能性,而第二问强调的只是第三次抽取时剩余 的每个小球被抽到的可能性，应明确此时还剩下18个小球，此时抽取过程中每个个体被抽到的可 能性为 . 题型1 简单随机抽样 22 4.［陕西西安2024高一期中］下列抽样试验中，用抽签法方便的是( ) B A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验 题型2 抽签法和随机数表法 23 解析 A中总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B中总体容量较小，样本容量也较 小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中总体容量较 大，不适宜用抽签法. 题型2 抽签法和随机数表法 24 名师点拨 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地， 当总体容量和样本容量都较小时可采用抽签法． 题型2 抽签法和随机数表法 25 5.［辽宁多校2025期末联考］2024年10月1日是中华人民共和国成立75周年，为弘扬爱国主义精 神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国 在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表 的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 D A.14 B.02 C.43 D.07 题型2 抽签法和随机数表法 26 解析 由随机数法可知,前四名学生的编号依次为08,02,14,07,因此,选取的第四个编号为07.故选D. 题型2 抽签法和随机数表法 27 6.某班共有60名学生，现有10张学术报告的入场券，请用抽签法和随机数表法把10张入场券分 发下去，试写出过程. 题型2 抽签法和随机数表法 28 【解】（1）抽签法： ①先将60名学生随机编号为1，2， ，60； ②把号码写在形状、大小相同的号签上； ③将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀,抽签时每次从中抽出一个号签，不放回地连续 抽10次; ④根据抽到的10个号码对应10名同学，10张入场券就分发给这10名同学. （2）随机数表法： ①先将60名学生随机编号为01，02， ,60； ②在随机数表中任选一个数字作为起点，则选定的数字可向任意方向依次选取一个两位数,若取到 的数在01至60之间,则将它取出，否则舍去,依此下去，直到取满10个满足条件且不重复的数为止； ③根据号码对应的编号，再对应选出10名同学，10张入场券就分发给这10名同学. 题型2 抽签法和随机数表法 29 5.1.1 课时3 分层抽样 刷基础 30 1.［江西部分学校2025高一期末联考］为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学 生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) C A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.抽签法 题型1 分层随机抽样 31 解析 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视 力情况差异不大.为了解该地区中小学生的视力情况,应按学段分层随机抽样,这种抽样方式抽出的 样本具有代表性,比较合理.故选C. 题型1 分层随机抽样 32 规律方法 分层随机抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况,在每一层抽样时可采用简单随机抽样方法． 题型1 分层随机抽样 33 2.［辽宁朝阳2025高一期末］为庆祝中国共产党成立103周年，某市举办“红歌大传唱”主题活 动，以传承红色革命精神.某高中学校分别有高一、高二、高三学生1 200人、1 000人、800人， 现欲采用分层随机抽样的方法组建一个30人的高一、高二、高三学生红歌传唱队，则应抽取高三 学生( ) B A.6人 B.8人 C.10人 D.12人 题型1 分层随机抽样 34 解析 依题意,设应抽取高三学生人,则,解得 , 所以应抽取高三学生8人.故选B. 题型1 分层随机抽样 35 链接教材 本题是教材第62页例题的变式,考查分层随机抽样中每层样本容量的计算.基本解题思路是先求出 抽样比 ,然后将各层的数量和抽样比相乘即可得到各层所抽取的样本容量. 题型1 分层随机抽样 36 3.［黑龙江齐齐哈尔2025高一期中］某工厂生产,, 三种不同型号的产品，对应产品数量之比为 .现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中 种型号的产品共有16件，那么 此样本的容量为( ) C A.60 B.70 C.80 D.90 题型1 分层随机抽样 37 解析 由题意知,总体中种型号产品所占的比例是,则样本中 种型号产品所占的比例也 是.又样本中种型号产品有16件,设样本量为,则,解得 .故选C. 题型1 分层随机抽样 38 4.某工厂一、二、三、四4个车间共有职工1 500人，为了了解职工对工厂某项改革措施的意见， 计划从这1 500名职工中抽取一个容量为30的样本，考虑采取分层随机抽样的方法.若从一、二、 三、四4个车间抽取的人数恰好为4个按照从小到大的顺序排列的连续正整数，则该工厂第四车间 的人数为_____. 450 题型1 分层随机抽样 39 解析 设从一、二、三、四4个车间抽取的人数依次为,,, ,则 , 解得 ,所以从第四车间抽取9人. 根据分层随机抽样的概念可知,第四车间人数占4个车间总人数的比例为 ,所以该工厂第四车 间有 （人）. 题型1 分层随机抽样 40 5.简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是( ) C A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 C.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D.将总体分成几层，分层进行抽取 题型2 两种抽样方法的比较 41 解析 两种抽样方法的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同.故选C. 题型2 两种抽样方法的比较 42 6.［四川绵阳2025高二期末］①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人 的成绩在 分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一 彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事， 恰当的抽样方法分别为( ) A A.分层随机抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，简单随机抽样 C.简单随机抽样，分层随机抽样 D.分层随机抽样，分层随机抽样 题型2 两种抽样方法的比较 43 解析 对于①：考试成绩在不同分数段的同学对题目难度的认知有明显的差异,用分层随机抽样比 较恰当. 对于②：总体中包含的个体数目较少,用简单随机抽样比较恰当.故选A. 题型2 两种抽样方法的比较 44 7.中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一 册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94 册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本 《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用分层随机抽样的方法从中抽取47册， 则要从《毛诗》中抽取的册数为( ) D A.12 B.14 C.18 D.20 易错点 分层随机抽样不理解抽样比造成错误 45 解析 设《毛诗》有册,《春秋》有册,《周易》有册,学生人数为 . 则解得 因此,用分层随机抽样的方法从中抽取47册,则要从《毛诗》中 抽取的册数为 .故选D. 易错点 分层随机抽样不理解抽样比造成错误 46 8.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取____名学生. 15 易错点 分层随机抽样不理解抽样比造成错误 47 解析 设应从高二年级抽取名学生,则,解得 . 易错点 分层随机抽样不理解抽样比造成错误 48 易错警示 一定要牢记分层随机抽样就是按比例抽样,因此列出比例式即可.易错点是所列比例式中“ ”两边 标准不同. 易错点 分层随机抽样不理解抽样比造成错误 49 5.1.1 课时3 分层抽样 刷提升 50 1.［河南南阳2025高一月考］关于中小学生是否应该带手机进校园，有人做了一项相关的调查： 调查中有1 000人认为中小学生不应该带手机进校园，因为中小学生大多数自控力比较差，带手 机进校园会影响学生的正常学习；有950人认为这只是一个相对辩证的问题，带手机进校园便于 学生利用现代科技手段促进学习，只要家庭、学校、社会正确引导，可以给学生的学习带来事半 功倍的效果；有50人没有发表自己的看法.现要从这2 000人中随机抽取40人做进一步的调查， 最适宜采用的抽样方法是( ) C A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.以上都可以 51 解析 因为总体由差异比较明显的几部分组成,故从总体的2 000人中随机抽取40人做进一步调查, 最适宜采用分层随机抽样.故选C. 52 2.［广西南宁三中、钦州二中2024高二期中］为了研究某种疾病与血型之间的关系，决定从被感 染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、A型血、B型血的人数比为 ，现用 按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本.已知样本中 型血的人数为100，则样 本中B型血的人数为( ) D A.10 B.20 C.30 D.40 53 解析 设样本中B型血的人数为,由题意可得,解得 .故选D. 54 3.［山东烟台2025高一月考］唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.已知 根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花 朵，千瓣类比单瓣类多 30朵，采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2 朵，千瓣类有6朵，则 ( ) D A.360 B.270 C.240 D.180 55 解析 根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的牡丹朵数分别为,, , 由题意可得,解得,所以 .故选D. 56 4.（多选）在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百 五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为： “今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三人一起出关，关税共计100钱，要按 照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？”则( ) AD A.甲应付钱 B.乙应付 钱 C.丙应付 钱 D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 57 解析 由题设条件知,,则甲应付 （钱）,乙应付 （钱）,丙应付 （钱）,由此可知,甲付的钱最多,丙付的钱最少. 故选 ． 58 5.［安徽合肥一中等校2025高二联考］为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，某乡政府采 用分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村的人数之比是 ，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村比乙村多7人，则参加调研的总人数是( ) A A.133 B.170 C.70 D.63 59 解析 已知甲村和乙村的人数之比是 ,根据分层随机抽样,可设甲村被抽到的参与调研的村民 有 人, 则乙村被抽到的参与调研的村民有人,则,解得 . 所以参加调研的总人数为 .故选A. 60 6.某校推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼.现为了了解学生 的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间 （单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表所示. 分组 男生人数 2 16 19 18 5 3 女生人数 3 20 10 2 1 1 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”. （1）估计该校7 000名学生中“锻炼达人”有多少名； 【解】由表可知,100名学生中“锻炼达人”的人数为10,则估计该校7 000名学生中“锻炼达人” 有 （人）. 61 （2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动，求男生和女生各 抽取了多少人. [答案] 由（1）知,100名学生中“锻炼达人”有10人,其中男生8人,女生2人,从10人中按性别分 层抽取5人参加某项体育活动,则男生抽取4人,女生抽取1人. 62 $$