精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级练习（五） 数学 说明： 1．范围：下册第一章第一节至第二章第三节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：“”、“”、“”、“”、“”．根据不等式的定义，进行判断即可． 【详解】解：①；②；③；④；⑤，是不等式的有①，②，④，⑤；共4个； 故选：C． 2. 如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ） 日期：2024年6月1日 星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，据此写出即可． 【详解】解：最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，当天某一时刻的气温为，则的变化范围是 故选：D． 3. 如图，和5分别表示天平上两边的砝码质量，则______．下列答案正确的是（ ） A. > B. < C. = D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意，得，进而根据不等式的性质变形，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ∴ ∴ 故选：B． 4. 如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据题意可得，进而求得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵等腰的周长为，底边， ∴ ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 5. 下列不等式的解集中，不包括的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】先由，得，结合角平分线的定义，得，则由等角对等边，得①；因为，所以②；因为③的周长，所以得③；因为，,则④，结合三角形的内角和，列式化简，得⑤．即可作答． 【详解】解：如图： ∵ ∴ ∵与的平分线交于点F， ∴ ∴ ∴ ∴，故①是正确的； ∵， ∴ ∴，故②是错误的； ∵的周长 ∴的周长，故③是正确的； ∵ ∴ ∴，故④是错误的； ∵， ∴， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，综合性适中，难度适中，常考题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在等腰三角形中，有一个角为，则底角为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是判断已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为排除不可能的情况． 在等腰三角形中，已知一个角为，需判断该角是顶角还是底角；若为底角，则两个底角之和为，超过三角形内角和，故只能是顶角；因此底角和为，又因等腰三角形底角相等，所以底角为． 【详解】在等腰三角形中，设底角为． ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， 若为底角，则两底角之和为，这与三角形内角和为矛盾，故只能是顶角． ∴两底角之和为， 又∵两底角相等， ∴底角． 故答案为：． 8. 如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 9. 如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、折叠的性质及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到线段相等和垂直关系，结合直角三角形边角关系求解． 先由直角三角形角的性质得结合勾股定理求出的长；根据折叠性质知且在中，利用角的性质得设在中用勾股定理求出进而得的长． 【详解】解：在中，，，， ∴． 由勾股定理得． ∵沿折叠后点A与点B重合， ∴垂直平分且． ∴是直角三角形，． ∵在中，， 设则． 在中，由勾股定理得 即， 解得即． ． 故答案为：2． 10. 用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设______． 【答案】这三个数是非正数 【解析】 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是明确原命题结论的否定形式，从而正确作出假设． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题结论为“三个数中至少有一个正数”，“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即需假设这三个数中没有正数（都是非正数）． 【详解】要证明 “三个不相等的数的和等于 0，那么这三个数中至少有一个正数”，用反证法时，应先假设原命题的结论不成立． “三个数中至少有一个正数” 的否定是 “三个数中没有正数”，即 “这三个数都是非正数（0 或负数）”． 故答案为：这三个数是非正数． 11. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式解集的方向判断未知数系数的符号． 已知不等式的解集为，观察可知不等号方向发生了改变，根据不等式的基本性质（不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变），可判断未知数的系数为负数，进而求解m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， 又∵不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变， ∴， 解得 ． 故答案为：． 12. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____． 【答案】40°或100°或140° 【解析】 【分析】根据△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，可知DP＝ DE，所以可以分两种情况考虑: ①点P在AB上；②点P在AC上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝70°， ∴∠EDB＝20°， ∵当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形， ∴DP＝ DE， ①如图，当点P在AB上时，记为P1， ∵DE＝DP1， ∴∠DP1E＝∠AED＝70°， ∴∠EDP1＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ②如图，当点P在AC上时，有两个点P2、 P3符合条件， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， 过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H， ∴DG＝DH， 在Rt△DEG与Rt△DP2H中， ， ∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL）， ∴∠AP2D＝∠AED＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣50°﹣50°=80°， ∴∠EDP2＝140°， 同理证得Rt△DEG≌Rt△D P3H（HL）， ∴∠EDG＝∠P3DH， ∴∠EDP3＝∠GDH＝100°， 故答案为：40°或100°或140°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 利用不等式的基本性质将不等式化成“或”的形式，并将解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1）， 在数轴上表示为： （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数，不等号方向改变）进行变形． （1）通过两边同时减去消去常数项，得到不等式的解集； （2）先两边减1消去常数项，再两边乘 （注意改变不等号方向）得到解集． 最后分别在数轴上表示解集（空心圆圈表示不包含该点，方向对应不等号方向）． 【小问1详解】 根据不等式的基本性质1，两边都减，得． 【小问2详解】 根据不等式的基本性质1和3，先减1，再两边都乘以，得． 14. 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． （1）两个全等的三角形的周长相等； （2）如果，，那么． 【答案】（1）逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．判断：逆命题是假命题 （2）逆命题：如果，那么，．判断：逆命题是假命题． 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，全等三角形的判定，有理数的乘法，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． 根据题意写出逆命题，然后判断真假即可． 【小问1详解】 逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等． ∵周长相等的两个三角形不一定全等， ∴逆命题是假命题； 【小问2详解】 逆命题：如果，那么，． ∵如果，则，或，． ∴逆命题是假命题． 15. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为12． 16. 如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，求的度数； （2）当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 【答案】（1） （2）时，， 证明：当时， 在中，． ∵， ∴． 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差运算，内角和定理的应用，全等三角形的判定； （1）直接利用平角的定义求解即可； （2）先证明，再结合即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 【答案】（1）如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，直线即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，交于，再连接，并延长交于F，利用垂心的性质从而可得答案； （2）如图所示，在（1）的基础上，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：连接，交于，再连接，并延长交于F， ∵，点D是边的中点， ∴， 又∵， ∴点为三角形三条高的交点， ∴， 【小问2详解】 解： ∵，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵分别是的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． （1）求证：平分； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴． ∵于点，于点． ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． （2）7cm 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的判定定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过证明直角三角形全等得到，进而利用角平分线判定定理完成证明，再结合面积关系求解线段长度． （1）由D是中点得，结合、及，用证，得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上，证平分； （2）利用的面积等于与的面积之和，结合及的长，列关于的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，则, ∴为等腰三角形，且． ∵，， ∴． 由（1）得， ∴， 解得， ∴的长为． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形 ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形． （2）6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线性质得到角的关系以判定等边三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一建立线段间的等量关系． （1）由等边三角形的各角为，结合利用平行线的同位角相等可得，再结合即可证明是等边三角形； （2）设由是等边三角形得结合可得过E作利用得，进而得由和得再通过建立关于x的方程，求解即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，解得， ∴线段的长为6． 20. 【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）已知，试比较，的大小； （2）若，，，求和的取值范围． 【答案】（1） （2）a为任意实数， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小、解不等式，整式的混合运算． （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把，代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， 又∵， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∵的值与的取值无关， ∴a为任意实数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 （1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． （2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【答案】（1）不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变 （2） ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变）， 合并同类项，得， 即：，得证． 【解析】 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可； （2）仿照（1）的方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变）， 合并同类项可得：， 即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质． 22. 如图所示，D、E分别是的边、上的点，且，． （1）若，则_______． （2）若，则_______． （3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、间所满足的关系吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解； （2）由（1）中结论，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：由（1）得，当时，； 故答案为： 【小问3详解】 解：，理由如下： ∵，，∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 即． 六．解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 初步分析 （1）①智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． ②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作交于点M，作，垂足为P，求证：． 操作探究 （2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现与恒相等，请你思考此问题，并说明理由． 【答案】 解：（1）①证明：平分， ∴. ∵，， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. ②证明：如图，连接. ∵，， ∴， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴. （2）如图，过点F作，垂足为N. 平分，且， ∴. 由（1）②可知，， ∴. ∵，， ∴. 又∵，， ∴， ∴. 由（1）①可知，， ∴. 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的性质，平行线的性质性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）①由角平分线的性质和余角的性质可得，可得，可得结论； ②连接.证明即可得结论； （2）过点F作，垂足为NFN⊥AC，证明，即可得结论． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级练习（五） 数学 说明： 1．范围：下册第一章第一节至第二章第三节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ） 日期：2024年6月1日 星期六 天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级 A. B. C. D. 3. 如图，和5分别表示天平上两边的砝码质量，则______．下列答案正确的是（ ） A. > B. < C. = D. 不能确定 4. 如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 下列不等式的解集中，不包括的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在等腰三角形中，有一个角为，则底角为______． 8. 如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义________． 9. 如图，在中，，，，沿折叠，使得点A与点重合，则折痕的长为______． 10. 用反证法证明“三个不相等的数的和等于0，那么这三个数中至少有一个正数”时，应首先假设______． 11. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______． 12. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝70°，若点P是等腰三角形ABC的腰上的一点，则当是以∠EDP为顶角的等腰三角形时，∠EDP的度数是_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 利用不等式的基本性质将不等式化成“或”的形式，并将解集在数轴上表示出来． （1） （2） 14. 写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． （1）两个全等的三角形的周长相等； （2）如果，，那么． 15. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 16. 如图，在中，，，点在线段上运动（点与点B，C不重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，求的度数； （2）当线段的长度是多少时，？请写出证明过程． 17. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，过点C作边上的高线； （2）在图②中，过点E作的平行线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． （1）求证：平分； （2）若的面积为，，求的长． 19. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 20. 【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差，变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差：若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 （1）已知，试比较，的大小； （2）若，，，求和的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 （1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． （2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 22. 如图所示，D、E分别是的边、上的点，且，． （1）若，则_______． （2）若，则_______． （3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、间所满足的关系吗？请说明理由． 六．解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 初步分析 （1）①智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． ②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作交于点M，作，垂足为P，求证：． 操作探究 （2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现与恒相等，请你思考此问题，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $