2.1.1 等式的性质与方程的解集 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.1 等式的性质与方程的解集 同步练习 一、单选题 1．一元二次方程的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是（    ） A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1 C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay 3．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组． A．1 B．2 C．3 D．4 7．若，，b，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（    ） A．－ B．－ C． D． 9．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若关于的方程的解集为，则实数的值为 ． 11．已知等式恒成立，其中为实数，则 ． 12．关于的方程的解集为 ． 四、解答题 13．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定，如＝1×4－2×3.若，求x的值. 14．已知关于的方程. （1）求证：不论为何值，方程必有实数根； （2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 解析：可化为，解得或 所以一元二次方程的解集为 故选：B 2．A 解析：A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意； B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意； C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意； D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意. 故选：A. 3．B 解析：如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误. 故选：B. 4．D 解析：由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 5．B 解析：根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9. 故选：B. 6．D 解析：设此方程的解为有序数对， 因为 所以 当或时，等号是不能成立的， 所以即， （1）当时，即 （2）当时，即或 （3）当时，即 综上所述，共有四组解 故选：D 7．B 解析：解：因为，，b，， 所以联立方程组，求得，，，从而，，， 所以当a，b异号时，取最小值为． 故选：B． 8．BD 解析：由x2＋xy－2y2＝0得，得或， 当时，； 当时，. 故选：BD. 9．AC 解析：由得|． 其几何意义为平面内一点与两定点距离之差的绝对值为2． 平面内与两定点距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线． 设该双曲线的方程为，则解得，． 所以该双曲线的方程是．联立方程组解得． 故选：AC 10． 解析：关于的方程，可化为， 因为方程的解集为， 所以和时方程两个实数根， 可得，解得. 故答案为：. 11． 解析：法一：， 所以； 法二：在中，令得. 故答案为： 12． 解析：可化为 ，，解得，， 所以方程的解集为 故答案为： 13． 解析：∵， ∴， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类型得：， 系数化为 得：. 所以x的值为 . 14．（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析. 解析：（1）证明：当，即时，原方程为， 此方程为一元一次方程，其根为； 当，即时， ∴当时，原方程必有两个不相等的实数根， 综上所述，不论为何值，方程必有实数根； （2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由如下： ①当时，（不合题意舍去）； ②当且为整数时，假设关于的方程有有理根. 则要为完全平方数，设（为整数）， 即（为整数），所以有， ∵与的奇偶性相同，并且、都是整数， ∴或， 解得（不合题意舍去）. 综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$