精品解析：湖北省宜昌市当阳市实验初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

实验中学教联体2025年3月学业质量监测 九年级数学试卷 本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项前面的字母填涂在答题卡上指定的位置． 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 3. 国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿人民币，将40亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、、都在反比例函数图象上，则、、的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若两个相似多边形面积之比为，则它们的周长之比为______ 13. 不等式组解集是___________． 14. 如图，圆锥母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示） 15. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤（m≠1的实数），其中结论正确的有______． 三、解答题（共9小题，75分） 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中. 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出的坐标． （2）以原点为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形．并写出的坐标． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10. （1）求证：∠BEC=90°； （2）求cos∠DAE. 20. 某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品． （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 　； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 21. 如图，为直径，D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 22. 为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求，已知米，米，设米，种花的面积为平方米，草坪面积为平方米． （1）分别求和与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当的长为多少米时，种花的面积为440平方米？ （3）若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用（元），求与之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值． 23. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上； （1）观察猜想：如图1，当a=b时，=______，∠ACG=______； （2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数； （3）拓展应用：如图3，当a=6，b=8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG长； 24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交BC于点H.当点P运动到何处时满足PC=CH？求出此时点P的坐标； （3）若m≤x≤m+1时，二次函数y=ax2+bx+3的最大值为m，求m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学教联体2025年3月学业质量监测 九年级数学试卷 本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项前面的字母填涂在答题卡上指定的位置． 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 3. 国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿人民币，将40亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：40亿用科学记数法表示为：， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 下列运算结果正确的是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得. 【详解】A、3x﹣2x＝x，故A选项错误； B、x3÷x2＝x，正确； C、x3•x2＝x5，故C选项错误； D、x2+2xy+y2＝(x+y)2，故D选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键. 5. 如图，四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400， ∴∠C＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为． 已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为， 故选：B． 7. 已知、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得出即可． 【详解】解：∵反比例函数y=中的k=5＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵A（1，）、B（2，）位于第一象限， ∴＞y2＞0， ∵C（-3，）位于第三象限， ∴＜0， ∴＞＞， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键． 8. 在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，班共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算得出答案． 【详解】共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，参赛同学抽到每一类别的可能性相同， 小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是：． 故选B． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 9. 一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进而判断，即可得出答案. 【详解】∵a＝1，b＝﹣2，c＝3， ∴b2﹣4ac＝4＝4﹣4×1×3＝﹣8＜0， ∴此方程没有实数根. 故选C. 【点睛】此题主要考查了根的判别式，当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根. 10. 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则它们的解析式可能分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】双曲线的两支分别位于二、四象限，即k＜0； A、当k＜0时，物线开口方向向下，对称轴x=-＜0，不符合题意，错误； B、当k＜0时，物线开口方向向下，对称轴x=-＞0，符合题意，正确； C、当-k＜0时，即k＞0，物线开口方向向上，不符合题意，错误； D、当-k＜0时，物线开口方向向下，但对称轴x=-＜0，不符合题意，错误． 故选B． 【点睛】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其对称轴是否符合要求． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 13. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出各不等式的解集，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式， 得：， 解不等式， 得：， 所以，不等式组的解集为：． 故答案为：． 14. 如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为_____cm．（结果用π表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式进行求解即可． 【详解】设底面圆的半径为rcm， 由勾股定理得：r==6， ∴2πr=2π×6=12π， 故答案为12π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系． 15. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤（m≠1的实数），其中结论正确的有______． 【答案】②③⑤##②⑤③##⑤③②##⑤②③##③②⑤##③⑤② 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象的特点可知， ∵a<0，b>0，c>0 ∴abc<0 ∴①错误，不符合题意 当 时， 由题可知，当时， ∴ ∴ ∴②正确，符合题意 当 时， 由题可知，当时， ∴ ∴③正确，符合题意 ∵a<0，c>0 ∴3a<c, ∴④错误，不符合题意 当 时， 当 时， ∵由题可知当x=1时，y最大， ∴ ∴ ∴⑤正确，符合题意 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，掌握开口方向、对称轴、与y轴交点坐标位置、特殊值与系数关系是解题关键．总结：a，b看轴，a，b，c看特殊值，a，c或b，c对称轴加特殊值． 三、解答题（共9小题，75分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将方程进行整理，再根据因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：将方程整理可得：， ∴， ∴或， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中. 【答案】；. 【解析】 【分析】括号内先进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】原式 =， 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出的坐标． （2）以原点为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形．并写出的坐标． 【答案】（1）见解析；的坐标为 （2）见解析；的坐标为 【解析】 【分析】此题考查中心对称与旋转变换作图． （1）根据中心对称的性质求解即可； （2）根据旋转的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求， 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求， 的坐标为． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10. （1）求证：∠BEC=90°； （2）求cos∠DAE. 【答案】（1）见解析；（2）cos∠DAE= 【解析】 【分析】(1)先求出BC的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得； (2)根据平行四边形的性质可求得AB=16，∠ABE=90°，继而根据勾股定理求出AE的长，然后利用余弦的定义求出cos∠EAB的值，再根据∠DAE=∠EAB即可求得答案. 【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC ， ∴∠AED=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠AED=∠DAE， ∴AD=DE=10， ∴BC=10， 又∵BE=8，CE=6， ∴BE2+CE2=BC2， ∴△BEC为直角三角形， ∴∠BEC=90°； (2)∵ DE=10，CE=6， ∴CD=DE+CE=16， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD=16， ∴∠ABE=∠BEC=90°， ∴AE=， ∴cos∠EAB=， ∵∠DAE=∠EAB， ∴cos∠DAE==. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余弦等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 20. 某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品． （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为 　； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2）概率P= 【解析】 【分析】(1)共有4个球，其中红球有2个，直接根据概率公式进行计算即可得； (2)首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可． 【详解】(1)共有4个球，其中有2个红球，摸到红球可以获得奖品， 所以小芳获得奖品的概率为， 故答案为； (2)画树状图如下： 共有等可能事件12种 其中符合题目要求获得2份奖品的事件有2种， 所以概率P=. 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 21. 如图，为直径，D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）证明见解析；（2），． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，过点作于点，先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得，再根据角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长；先根据圆周角定理可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后在中，可得，最后在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】证明：（1）如图，连接，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）如图，连接，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， （角平分线的性质）， 在和中，， ， ， ， 在中，， ， 由圆周角定理得：，即， ， ， ， 解得， 在中，， ， 在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题关键． 22. 为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求，已知米，米，设米，种花的面积为平方米，草坪面积为平方米． （1）分别求和与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当的长为多少米时，种花的面积为440平方米？ （3）若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用（元），求与之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值． 【答案】（1）， （2）的长为10米或22米 （3），最大值为140000元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据三角形面积公式可得的解析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得的函数解析式； （2）根据题意知，即可得关于x的方程，解方程即可得； （3）列出总费用的函数解析式，将其配方成顶点式，根据花的面积不大于440平方米可得x的范围，结合此范围根据二次函数性质即可得函数的最大值，从而得解． 【小问1详解】 解：根据题意，，； 【小问2详解】 解：根据题意，知，即， 解得：，， 故当的长为10米或22米时种花的面积为440平方米； 【小问3详解】 解：设总费用为W元， 则 ， 由（2）知当或时，， 在中，当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值， 当时，W取得最大值，最大值， ∴学校所需费用的最大值为140000元． 23. 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点E为对角线AC上一点，连接DE，以DE为边，作矩形DEFG，点F在边BC上； （1）观察猜想：如图1，当a=b时，=______，∠ACG=______； （2）类比探究：如图2，当a≠b时，求的值（用含a、b的式子表示）及∠ACG的度数； （3）拓展应用：如图3，当a=6，b=8，且DF⊥AC，垂足为H，求CG的长； 【答案】（1）1，90°；（2）∠ACG =90°，；（3）CG=. 【解析】 【分析】（1）利用SAS可证，由全等三角形的性质知，所以，结合可得； （2）方法一：过点E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分别为M和N，连接EG,FD交于点O,连接OC，利用矩形的性质及三角形内角和定理可得∠ACG =90°，可证△DAE∽△DCG，由相似三角形的对应线段成比例可得的值；方法二：结合垂直与矩形的性质由两组对应角分别相等的两个三角形相似可得△CEN∽△CAD，△END∽△EMF，由相似三角形的性质可得，，由两组对应线段成比例及其夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△CDG，根据其性质可得结论； （3）由勾股定理得AC长，由相似三角形的判定可得△ CDH∽△CAD，△DEF∽△ADC，由相似三角形的性质可得CH的长及∠EDH=∠CAD，利用AAS得 △DHE≌△DHC，根据全等的性质可得EH的长，进一步可知AE长，结合即知CG的值. 【详解】解：（1）根据题意，易知矩形ABCD与矩形DEFG为正方形 （2）方法一：连接EG,FD交于点O,连接OC. ∵四边形EDGF和ABCD是矩形 ∴∠ADC=∠EDG=90° 即∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC ∴∠ADE =∠CDG ∵∠ BCD=90°OF=OD ∴OC= 在矩形DEFG中，EG=DF ∴ OC= ∵OE=OG ∴OE=OC=OG ∴∠OEC=∠OCE ∠OCF=∠OFC 又∵∠OEC+∠ECG+∠EGC=180° ∴2∠OCE+2∠OCG =180° ∴∠OCE+∠OCG =90°即∠ACG =90° ∴∠ECD+∠DCG =90° 在Rt△ADC中，∠ECD+∠DAC =90°∴∠DAE=∠DCG ∴△DAE∽△DCG ∴ 方法二：过点E作EM⊥BC,EN⊥DC,垂足分别为M和N. ∵∠EMC=∠MCN=∠ENC=90° ∴四边形EMCN是矩形 ∴EM=NC,∠MEN=90°. ∵∠ ENC =∠ADC=90°∴EN∥AD ∴△CEN∽△CAD ∴即 ∵∠MEN=90°∠FED=90° ∴∠MEF=∠NED 又∵∠END =∠EMF =90° ∴△END∽△EMF ∴ 又∵EF=DG∴ ∵∠ADC=∠EDG=90° ∴△ADE∽△CDG ∴ , ∠DAE=∠DCG ∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90° ∴∠ACG=∠DCG+∠ACD=90° (3) ∵AD=8,DC=6 ∴AC==10 ∵DF⊥AC∴，∠CDH +∠ACD=90° ∵∠DAC+∠ACD=90° ∴∠CDH=∠DAC ∴△ CDH∽△CAD ∴CD2=CH·CA ,∠CDH=∠CAD ∵CD=6,AC=10 ∴CH= ∵ 由（2）知 ∠DEF =∠ADC =90° ∴△DEF∽△ADC ∴∠EDH=∠CAD ∴∠CDH=∠EDH ∵∠DHE=∠DHC=90°DH=DH ∴△DHE≌△DHC ∴EH=CH= ∴AE=AC-EH-HC= ∵∴CG= 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，涉及了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，是矩形与三角形的综合题，难度较大，灵活应用相似三角形的判定与性质进行证明是解题的关键. 24. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C。 （1）求抛物线解析式； （2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交BC于点H.当点P运动到何处时满足PC=CH？求出此时点P的坐标； （3）若m≤x≤m+1时，二次函数y=ax2+bx+3的最大值为m，求m的值. 【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，4）；（3）m的值为或． 【解析】 【分析】（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求出a，b值即可； （2）求出直线BC的解析式，因点P在抛物线上，点H在直线上，故可设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3），可得CM、PH的长，过点C作CM⊥PH于M，由等腰三角形的性质可得CM与PH间的数量关系，列出等式，求解即可； （3）分类讨论，若m+1≤1时函数在x=m+1处有最大值为m，若m＜1＜m+1，函数在x=1处有最大值，若m＞1，函数在x=m处有最大值，再分别求解即可. 【详解】解：（1）由题意得 解得 ∴抛物线解析式为 （2）设直线BC的解析式为y=kx+b 由题意得∴直线BC的解析式为y= -x+3. 设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3）. 由此可得，CM=x，PH= 过点C作CM⊥PH于M ∵CP=CH ∴PM=MH， ∠MCH=∠MCP ∵OB=OC ∴∠OBC=45° ∵CM∥OB ∴∠MCH=∠OBC=45°∴∠PCH=90° ∴MC=即 解得x1=0(舍) x2=1 ∴当x=1时，y=4即点P的坐标为（1，4） (3)若m+1≤1，即m≤0时， 当x=m+1时，函数有最大值为-（m+1）2+2（m+1）+3＝m， 解得（舍） ； 若m＜1＜m+1，即0＜m＜1， 当x=1时，函数有最大值为m=4（舍）； 若m＞1， 当x=m时，函数有最大值为-m2+2m+3＝m， 解得 （舍）； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式与图像，涉及了直线的表达式与图像，一元二次方程的应用，属于函数的综合题，灵活的运用数形结合思想是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $