【第二十二章 二次函数 02讲 二次函数与一元二次方程】【三大知识点+十大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十二章 二次函数 02讲 二次函数与一元二次方程 题型归纳 【题型1. 求抛物线与轴的交点坐标】………………………………………………… 4 【题型2. 求抛物线与轴的交点坐标】………………………………………………… 8 【题型3. 已知二次函数的函数值求自变量的值】……………………………………… 12 【题型4. 求抛物线与轴的交点问题】………………………………………………… 15 【题型5. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】……………………………… 21 【题型6. 求轴与抛物线的截线长】…………………………………………………… 26 【题型7. 图像法确定一元二次方程的近似根】……………………………………… 29 【题型8. 图像法解一元二次不等式】………………………………………………… 32 【题型9. 利用不等式求自变量或函数值的范围】…………………………………… 36 【题型10. 根据交点确定不等式的解集】……………………………………………… 41 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 48 知识清单 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 1.利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【提示】 ① 由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与轴的交点； ② 图像在轴上方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集； ③ 图像在轴下方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集. 题型专练 题型1. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 【例2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知在抛物线上． (1)求的值，并直接写出抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点坐标或． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．题目中已给出交点坐标为和，因此方程的解可直接得出． 【详解】解：二次函数的图象与x轴的交点坐标为和，说明当时，对应的值为2和． 因此，方程的解为和． 故选D． 【变式2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知二次函数的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标． 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键． （1）依据题意，将代入解析式进行计算可以得解； （2）由（1）再令和，从而计算可以得解． 【详解】（1）解：点代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， 令，得， 解得，，． ∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 令，得， 二次函数的图象与轴的交点坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点A在直线上 ， (1)抛物线的顶点坐标． (2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求的面积． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握运算法则、正确运用数形结合是解本题的关键． （1）由抛物线解析式求出顶点横坐标，代入直线中求出纵坐标，即可确定出顶点坐标； （2）由顶点坐标确定出c的值，进而确定出抛物线解析式，求出B、C坐标，画出函数图像，连接， ，得到，求出面积即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为：， 将代入中， 得， 则顶点坐标为：； （2）解：将代入， 得， ， 抛物线的表达式为∶ ， 令，得， 解得， ， ， 连接， ，如图： ， 的高为9， ． 【变式4】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； (2)当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟知二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次项系数和对称轴公式求解即可； （2）将已知点代入函数解析式中求得m值，再令，然后解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数中，，， ∴该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线； （2）解：∵该二次函数的图象经过点， ∴， 解得； ∴， 令，由得，， ∴此二次函数与轴的交点坐标为，． 题型2. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的坐标求法，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，轴上的点横坐标都为0． 要求抛物线与轴交点的坐标，根据轴上点的坐标特征，令抛物线方程中，求出对应的值，即可得到交点坐标． 【详解】将代入抛物线方程中，可得． 抛物线与轴交点的坐标为， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知二次函数． (1)请直接写出抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与坐标轴交点的坐标． 【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，求二次函数与坐标轴的交点坐标： （1）根据解析式为顶点式即可得到答案； （2）分别求出自变量为0时的函数值和函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时，或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【分析】本题考查了抛物线和x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，把时，；当时，代入，求得a、c的值即可求得； （2）令，解方程求得A、B点的坐标，令，解方程求得C点的坐标即可． 【详解】（1）解：把时，；当时，代入， 得，解得， ∴二次函数表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令，则， 解得，， ∵在的左边， ∴，， 令，则， ∴． 【变式3】（2025·广东广州·三模）已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，绝对值，二次根式的性质化简，由二次函数的图象与轴的交点在轴的下方可知，然后化简代数式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式4】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)求的面积． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得A，B，C的坐标，求出，长，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， 令，则， ∴， ∵，， ∴． 题型3. 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例1】（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 【分析】本题考查二次函数的点的坐标特征，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意表示出，，根据，求出的值，结合点与点不重合，进行判断即可． 【详解】解：已知二次函数（为常数）的图象经过点和点． ， ， ， ， 解得， 当时，，不合题意， ． 故选：B． 【例2】（2025·山东聊城·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）二次函数的经过点、． (1)求该函数的表达式； (2)若点，也在函数的图象上，求、的值． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式； （2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值． 【详解】（1）将点、代入得： ， 解得：， 则二次函数解析式为； （2）将，代入二次函数解析式得：， 将，代入二次函数解析式得：，即． 题型4. 求抛物线与轴的交点问题 【例1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 【例2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 【例3】（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线， 且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 【变式1】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 【变式2】（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 【分析】本题主要考查了定义新运算，求一次函数关系式，二次函数与一元二次方程， 对于（1），根据平衡点的定义逐个判断即可； 对于（2），将点代入关系式，求出k，再根据平衡点的定义得出方程，求出解即可； 对于（3），根据平衡点的定义得，再分两种情况求出解即可. 【详解】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点不是“平衡点”； 点，因为，所以点是“平衡点”． 故答案为：①④； （2）解：将点代入关系式， 得， 解得， ∴一次函数的关系式为. ∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”， ∴， 即或， 解得或， 则， 所以另一个“平衡点”的坐标是； （3）解：或． ∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”， ∴， ∴或， 即或 当，且时， 解得； 当，且时， 解得． 所以a的取值范围是或． 题型5. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【分析】本题考查函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意； 故选B． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与轴交于点，， ∴对称轴为直线，则， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故①不正确； ②∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，抛物线与轴交于点，且， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故③正确； ④∵，， ∴方程可化为， ∴， 解得，；故④不正确． 故选：B． 【变式3】（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系即可解答，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据函数的特征可知图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由函数图象可知，当时，函数的值随值的增大而减小．故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 【变式4】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线与直线． (1)当取何值时，抛物线与直线有公共点； (2)当取何值时，抛物线与直线没有公共点． 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根据题意转化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答是解题的关键． （1）根据题意可得：，即，然后根据一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据题意可得：，即，然后根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：联立，即， 整理得：， 抛物线与直线有公共点， ， 解得：， 当时，抛物线与直线有公共点； （2）联立，即， 整理得：， 抛物线与直线没有公共点， ， 解得：， 当时，抛物线与直线没有公共点． 题型6. 求轴与抛物线的截线长 【例1】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 【变式2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 题型7. 图像法确定一元二次方程的近似根 【例1】（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 【变式3】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 题型8. 图像法解一元二次不等式 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等； （1）将点和代入一次函数解析式，即可求解； （2）将点、的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解； （3）根据图象求解即可； 掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：∵点和在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线； （3）解：由图象得： 当时，． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 【详解】（1）解：由图象看， ∵二次函数与x轴交于点， ∴方程的两个根是，； （2）解：从图象看， 当时，y随x的增大而增大； （3）解：从图象看， ∵当或时，二次函数的图象在x轴 ∴不等式的解集是：或． 【变式4】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以方法：方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 【分析】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集； （1）根据题意画出，观察函数图象可得的解集． （2）根据题意可得此方法为数形结合的数学思想； （3）仿照小丽的方法，画出的函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：方程的两根为，， 画出的图象如图所示， ∴的解集为； （2）小丽的方法运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D． （3）解： 解得：， 画出函数图象如图所示， ∴的解集为． 题型9. 利用不等式求自变量或函数值的范围 【例1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）令，求解出的的值即点和点的横坐标； （2）化为顶点式即可求解； （3）先求出点的坐标，利用当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方，结合图象即可求解； （4）求出函数的最小值，及和时，的值，再结合函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：令中， 得， ∴， ∵当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴根据图象可得或， 故答案为：或； （4）解：∵，， ∴当时，取最小值， 又∵当时，，当时，， ∴结合图象可得当时，的取值范围为， ∴的取值范围为． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意．根据和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 【变式3】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知二次函数. (1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； (2)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围. 【分析】（1）先解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）当时，函数有最大值为4；当时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 根据对称轴为直线，得抛物线必过点， 当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，； 过以上五点描点、连线作出抛物线，如图，    （2）解： 抛物线的顶点坐标为，且， 当时，y有最大值为4； 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 题型10. 根据交点确定不等式的解集 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 【例2】（24-25九年级下·全国·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据当时，，可得函数的对称轴为，且开口向下，据此可得答案． 【详解】解：当时，， 可得函数的对称轴为，且开口向下， 所以二次函数的图象的对称轴为，且开口向下， 故B、C、D选项错误； 故选：A． 【变式2】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求b和m的值及点B的坐标； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【分析】对于（1），将点代入，可得b，再将点代入，可得m，然后将两个函数关系式联立得到方程组，求出解即可； 对于（2），根据交点坐标，观察图象，再根据抛物线在直线上方求出自变量取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）∵点代在二次函数的图象上， ∴， 解得； ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，一次函数的关系式为. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； （2）当或时，． 【点睛】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题，会根据图象求不等式的解集是解题的关键． 【变式4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图 ，直线和抛物线 都经过点， (1)求抛物线的解析式； (2)当时时，的取值范围是 ; (3)当为何值时不等式． ，请你直接写出的取值范围． 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，图象法求不等式的解集等知识是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线为，分别把当，，代入计算即可求解； （3）根据一次函数与二次函数图象法求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的解析式为：， ∴对称轴直线为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵直线 与抛物线 都经过点， ∴当或时 ， ∴的取值范围为或． 【变式5】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【分析】本题考查了求二次函数解析，根据图象的交点坐标求不等式的解集，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）根据抛物线的顶点坐标，得出时，抛物线有最大值0； （3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：当 时，， 解得，则， 当时，， 则， 设抛物线解析式为 ， 把代入得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为 ． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，， ∴当时，抛物线有最大值0； （3）解：根据函数图象可知： 或时，一次函数图象在二次函数图象上方， ∴不等式的解集是 或． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（  ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【分析】此题考查二次函数的图象与性质．观察图象得：抛物线的对称轴为直线，可得到，从而得到抛物线解析式，再逐项判断即可得答案． 【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为直线， ∵图象与轴交于、两点， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：，故A选项错误； ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，故B选项错误； 观察图象得：当时，函数值，故C选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故D选项正确； 故选：D 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3．（2025·四川德阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及，当时，，由此可得，然后由图象与x轴有两个交点确定，由此即可求得答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故A选项不符合题意； ∵当时，， ∴，故B选项不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C选项不符合题意； 对称轴为直线， ， ， 将代入， 得：，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】此题考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，也考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及二次函数与一元二次方程的关系等相关知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键． 4．（24-25九年级下·山东淄博·期中）根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算．根据表格中函数值的符号变化，确定方程根所在的范围．当函数值由正变负或由负变正时，对应的区间内存在一个根． 【详解】解：观察表格数据： 当x在与之间或4到5之间时，的值由正到负， ∴x的取值范围是或． 故选：D． 5．（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与轴皎点问题，理解二次的图象和性质是解答关键． 先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令时，求出的坐标，进而求出两点之间的距离即可求解④． 【详解】解：将和代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式为， 二次函数的最小值是，故①正确， ， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴为， 当，随的增大而减小，故②正确； 顶点坐标是，故③错误． 令时，， 解得，， ， 两点之间的距离是，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 7．（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，根据所给二次函数解析式可知，二次函数的图象过定点，据此可解决问题． 【详解】解：因为二次函数解析式为， 所以当时，， 则此二次函数的图象过定点， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 8．（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与系数的关系及二次函数的性质依次判断即可． 【详解】解：由图象得， 对称轴在y轴的左侧， ， ，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 当时，，即， ，即， ∴， ， ，故C错误，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间， 抛物线与x轴有两个不同的交点， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9．（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（   ） ①； ②若时，则； ③若点在抛物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上， ∴， ∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①正确； 若，则， ∴， 把代入抛物线解析式得，， ∴， ∴，故②错误； ∵对称轴直线为，且， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③正确； 已知抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 10．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 二、填空题 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”即可得到平移后的解析式，在根据抛物线与坐标轴的交点的计算即可求解． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析式为， 当时，， ∴平移后的解析式与轴的交点坐标为， 故答案为： ． 12．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 13．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了抛物线和直线的交点问题，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得交点坐标为：和，然后分和进行讨论，然后即可求解； 【详解】解：已知点，点， ∴线段在直线上面， 联立方程组：， 解得：，， ∴交点为和， 由于线段 的 范围为：， ∵， ∴， 当时，，，均在之间，且，保证两点不同， 当时，，在之间，但是不在之间，仅有一个交点， 综上所述：抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是：； 故答案为：； 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 16．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 17．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 18．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线． （1）的值为 ． （2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可知，求出的值即可； （）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解． 【详解】（）由题意可知， 解得， 故答案为：； （）由题意可知平移后函数解析式为， 当顶点在轴上时，， 解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件； 由于抛物线关于对称， ∴抛物线在内对称， 若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在， 故当时，，解得， 当时，，解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为直线，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时，． 其中错误的结论是 ．（填序号） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键，①根据对称轴得出，将代入表达式求出，再根据当时，对应的函数值得出，进而判断；②根据对称轴为，且当时，对应的函数值判断即可；③根据点和关于对称轴对称进行判断即可；④利用在该二次函数的图象上，且，得出时，进而判断． 【详解】解：①对称轴为， ， ， 将代入，得， ， 时，， ， ，故①错误，符合题意； ②对称轴为，且当时，对应的函数值，， 时，对应的函数值， 抛物线是常数与x轴的另一个交点在和之间， 关于x的方程的正实数根在1和之间，故②正确，不符合题意； ③抛物线经过点和，且， 点和关于对称轴对称， ， 点在直线轴上， 当点在第一象限时，点在直线的上方，故③错误，符合题意； ④和在该二次函数的图象上，且， 时，，故④错误，符合题意． 故答案为：①③④． 20．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 21．（24-25八年级下·北京·期末）二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论②，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，得出m的取值范围，进而判断结论④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 即， ∴， ∴，故①结论正确； ∵，， 故抛物线的解析式为， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为； 当时，， 故当时，；即③结论不正确； 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为， 故抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∴，故②结论正确； ∵抛物线的对称轴为， 故点关于对称轴的对称点坐标为， ∵抛物线的开口向下， 故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， 若， 则或，故④结论错误； 综上，结论正确的有①②． 故答案为：①②． 三、解答题 22．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 23．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； （2）解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， （3）解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 26．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象； （3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图象与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图象顶点坐标为； （2）解：列表： 描点，连线，如图： （3）解：由图象可知，当时，． 27．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若该抛物线与x轴交于点，抛物线与y轴交于点C，求的面积． 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，抛物线与轴，轴的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，理解抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （１）将和代入到函数解析式，解方程组即可； （2）求出长和长，直接利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得或， ∴点A，点B的坐标为或， ∴． 当时，， ∴点C的坐标为， ∴的面积． 28．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）不等式，表示抛物线图象在直线上方，结合图象，直接写出解集即可； 【详解】（1）将代入得， ， 解得， ， 将代入得， ， 将和分别代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由图可知：当或时抛物线在直线上方， 所以不等式的解集为或． 29．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． （1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； 【详解】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； （2）解：①令，则， ， 一定存在两个“点”． ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 30．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，和时，y值相等，即可求解； （3），可得，而时，，则时，，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：在函数的图象上， ， ， 对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：由（1）得，， 当时，；当时，． 根据对称性，和时，值相等， ． （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，，即， 解得：． 31．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移性质求解即可； （3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 平移后抛物线与轴有且只有一个交点， ； （3）点，在原抛物线上， ，， ， ， ，即， 当，时， 解得：， 当，时，无解， 综上的取值范围是． 32．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 33．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． (2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 【分析】（1）①由，可得，即可得抛物线的顶点坐标为． ②平移后所得抛物线为，将代入，得，即，可得．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，可得，，进而可得，求出a的值，从而可得答案． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，将，代入，得，可得，进而可得，结合，从而可得n的取值范围． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． ②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为， 将代入，得， ∴， ∴． 设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∴，． ∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． （2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 将，代入， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴n的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 34．（2025·浙江宁波·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别将代入即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设，可知，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：分别将代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵点满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点在对称轴上，设， ∴点向右平移个单位后的坐标为， ∴， 解得（舍去），； （3）解：当时，，即， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为4， 此时， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为5， 此时， 解得（舍去），， 点的坐标为； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为，不符合题意，舍去； ∴综上所述，点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 二次函数 02讲 二次函数与一元二次方程 题型归纳 【题型1. 求抛物线与轴的交点坐标】………………………………………………… 4 【题型2. 求抛物线与轴的交点坐标】………………………………………………… 5 【题型3. 已知二次函数的函数值求自变量的值】……………………………………… 7 【题型4. 求抛物线与轴的交点问题】………………………………………………… 8 【题型5. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况】……………………………… 10 【题型6. 求轴与抛物线的截线长】…………………………………………………… 12 【题型7. 图像法确定一元二次方程的近似根】……………………………………… 13 【题型8. 图像法解一元二次不等式】………………………………………………… 14 【题型9. 利用不等式求自变量或函数值的范围】…………………………………… 16 【题型10. 根据交点确定不等式的解集】……………………………………………… 18 【巩固练习】……………………………………………………………………………… 21 知识清单 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 2.通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置； 也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根； 比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根； 从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系 1.利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 【提示】 ① 由二次函数的图像确定一元二次不等式解集的关键是找出二次函数图像与轴的交点； ② 图像在轴上方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集； ③ 图像在轴下方的部分，所对应的自变量的取值范围就是一元二次不等式 的解集. 题型专练 题型1. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】（2025·河北保定·二模）已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（    ） A．－5 B．－1 C．3 D．7 【例2】（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知在抛物线上． (1)求的值，并直接写出抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【变式1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为和，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知二次函数的图象与轴交于点． (1)求的值； (2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点A在直线上 ， (1)抛物线的顶点坐标． (2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求的面积． 【变式4】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数． (1)写出该二次函数图象的开口方向及对称轴； (2)当该二次函数的图象经过点时，确定的值，并求出此二次函数与轴的交点坐标． 题型2. 求抛物线与轴的交点坐标 【例1】（2025·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知二次函数． (1)请直接写出抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与坐标轴交点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，；当时，． (1)求这个二次函数表达式及该函数顶点坐标； (2)此函数图象与轴交于点，（在的左边），与轴交于点，求点，，的坐标． 【变式3】（2025·广东广州·三模）已知二次函数的图象与轴的交点在轴的下方，化简：． 【变式4】（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求a，b的值； (2)求的面积． 题型3. 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例1】（2025·陕西咸阳·三模）已知二次函数（为常数）的图象经过点和点．点与点不重合，若，则的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．4 【例2】（2025·山东聊城·二模）对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为 ． 【变式1】（24-25九年级上·山西临汾·期末）点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）二次函数的经过点、． (1)求该函数的表达式； (2)若点，也在函数的图象上，求、的值． 题型4. 求抛物线与轴的交点问题 【例1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【例2】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线， 且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【变式1】（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【变式3】（2025·江苏常州·一模）对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”． (1)下列是平衡点的是______；(填序号) ①，      ②         ③      ④ (2)已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标； (3)已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围． 题型5. 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 【例1】（2025·河南周口·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（    ） A．0，4 B．2，9 C．0 D．4 【例2】（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·江苏淮安·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【变式4】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知抛物线与直线． (1)当取何值时，抛物线与直线有公共点； (2)当取何值时，抛物线与直线没有公共点． 题型6. 求轴与抛物线的截线长 【例1】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离 ． 【变式2】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 题型7. 图像法确定一元二次方程的近似根 【例1】（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 题型8. 图像法解一元二次不等式 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（2025·广东惠州·一模）如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）二次函数的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)直接写出方程的两个根； (2)直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围； (3)直接写出关于x的不等式的解集． 【变式4】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以方法：方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 任务： （1）不等式的解集为_____________； （2）小丽的方法运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 （3）请你根据小丽的方法，直接写出不等式的解集． 题型9. 利用不等式求自变量或函数值的范围 【例1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，当时，y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式3】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知二次函数. (1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； (2)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围. 题型10. 根据交点确定不等式的解集 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25九年级下·全国·期中）如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式3】（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线与直线交于点和点B． (1)求b和m的值及点B的坐标； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【变式4】（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图 ，直线和抛物线 都经过点， (1)求抛物线的解析式； (2)当时时，的取值范围是 ; (3)当为何值时不等式． ，请你直接写出的取值范围． 【变式5】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（  ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根； ③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川德阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·山东淄博·期中）根据方程可列表如下（　　） x … 4 5 6 13 5 … 5 13 则x的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 6．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 7．（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·一模）抛物线 的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（   ） ①； ②若时，则； ③若点在抛物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 10．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后，所得到新的抛物线与轴的交点坐标为 ． 12．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 13．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 15．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 16．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 17．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 18．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线． （1）的值为 ． （2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ． 19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（是常数）经过点，其对称轴为直线，且当时，对应的函数值．下列结论： ①； ②关于的方程的正实数根在1和之间； ③若抛物线经过点和，则点在直线的下方； ④和在该二次函数的图象上，则仅当实数时，． 其中错误的结论是 ．（填序号） 20．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 21．（24-25八年级下·北京·期末）二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，且满足．根据以上信息，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 22．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 23．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 24．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 26．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________． 27．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线经过点和． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若该抛物线与x轴交于点，抛物线与y轴交于点C，求的面积． 28．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，抛物线与直线相交于和，    (1)求和的值，及抛物线的解析式： (2)结合图象直接写出不等式的解集． 29．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 30．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 31．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 32．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 33．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． (2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 34．（2025·浙江宁波·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$