22.1　一元二次方程 课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的定义，通过实际问题（如x(x－1)＝1560转化方程）导入，搭建从具体问题到抽象概念的桥梁，帮助学生衔接一元一次方程知识，逐步理解概念形成过程。 其亮点在于设计分层练习（基础辨析、变式训练、拓广探索）和直观列表对比方程一般形式，培养数学眼光（抽象系数）和数学思维（推理判断m值、从a+b+c=0得根）。学生能提升抽象能力与运算能力，教师可借助清晰小结和多样题型提高教学效率。

22．1 一元二次方程 1.理解一元二次方程的概念；(重点) 2.了解一元二次方程的一般形式； (重点) 3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点） 学习目标 A D B D 【变式】若方程(m－2)x|m|－3x－7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　 　) A．m＝2    B．m＝－2     C．m＝±2    D．m≠±2   3．(4分)一元二次方程x2＋5x－81＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　  　) A．1，5，81    B．x2，5x，－81 C．1，5，0    D．1，5，－81 D 5 一元二次方程的根 5．(4分)下列各数中是方程x2＋3x＋2＝0的根的是(　  　) A．1    B．2    C．0    D．－2   6．(4分)若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m的值为________． C x(x－1)＝1560 x2－x－1560＝0 D D －1 2 019 （1）列表填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 4x2=3x (x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2) 4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=0 4 -3 0 1 -2 -8 1 -1 -6 练一练 （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由. x+2=5x-3 x2=4 2x2-4=(x+2)2 (3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？ 不是 是 是 不是 当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程. 1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3) 2.构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为2. 当堂练习 当x1=1时，x2-3x+2=1-3+2=0,因而是该方程的解； 当x2=2时，x2-3x+2=4-6+2=0,因而是该方程的解； 当x3=3时，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，因而不是该方程的解. x2-2x=0 3.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 4. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根). 课堂小结 一元二次方程的定义以及一般形式 1．(4分)(河南省实验中学月考)下列方程是一元二次方程的是(　 　) A．x(x＋3)＝0 B．x2－4y＝0 C．x2－ eq \f(3,x) ＝5 D．ax2＋bx＋c＝0 2．(4分)要使方程(a－3)x2＋2x＋7＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值为(　 　) A．a＝3 B．a＝－3 C．a＝0 D．不等于3的任意实数 4．(6分)(教材P19练习变式)将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)x(2x－1)＝1; (2)5x(x＋2)＝3(x＋1)； (3)(x＋1)(x－1)＝2x－4. 解：(1)原方程化为一般式为2x2－x－1＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为－1； (2)原方程化为一般式为5x2＋7x－3＝0， ∴二次项系数为5，一次项系数为7，常数项为－3； (3)原方程化为一般式为x2－2x＋3＝0， ∴二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为3. 7．(6分)(连云港中考改)若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个根是x＝1，求m＋n的值． 解：∵x＝1是方程mx2＋nx－1＝0(m≠0)的一个根，把x＝1代入方程即可得m＋n－1＝0，即m＋n＝1. 根据实际问题列一元二次方程 8．(4分)(教材P18问题1变式)小希同学用一块长12 cm，宽10 cm的矩形卡纸制作一个无盖的小礼盒．如图，她将矩形卡纸的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为48 cm2的无盖长方体小礼盒．根据题意可列方程为(　 　) A.(12－x)(10－x)＝48 B．12×10－4x2＝48 C．(12－2x)(10－2x)＝48 D．12×10－4x2－(12＋10)x＝48 9．(4分)九年级某班的每位同学都向全班其他同学各赠送一张纪念卡作为留念，全班共送出1560张纪念卡，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程________________，化为一般形式为__________________． 一、选择题(每小题6分，共12分) 10．如表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　 　) x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1或x＝2 11．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后的一次项系数为－2，则m的值为(　 　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 二、填空题(每小题6分，共12分) 12．(教材P20习题T2变式)已知关于x的一元二次方程mx2－3x＝x2－m2＋1有一个根是0，则m＝________． 13．(枣庄中考改)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 023－6a＋2b的值为________． 三、解答题(共36分) 14．(12分)根据实际问题列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)依题意得4x2＝25， 化为一元二次方程的一般形式得4x2－25＝0； (2)依题意得x(x－2)＝100， 化为一元二次方程的一般形式得x2－2x－100＝0； (3)依题意得x2＋(x－2)2＝102， 化为一元二次方程的一般形式得x2－2x－48＝0. 15．(12分)已知关于x的方程(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0，求： (1)当m为何值时，原方程为一元二次方程？ (2)当m为何值时，原方程为一元一次方程？ 解：(1)当m2－1≠0时，(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0是一元二次方程，解得m≠±1； (2)当m2－1＝0，且m＋1≠0时，(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＝0是一元一次方程，解得m＝±1，且m≠－1，∴m＝1. 16．(12分)已知a是一元二次方程x2－2 023x＋1＝0的一个根，试求a2－2 022a－ eq \f(a2＋1,2 023) 的值． 解：把x＝a代入方程x2－2 023x＋1＝0中， 得a2－2 023a＋1＝0，∴a2＋1＝2 023a，a2－2 023a＝－1， ∴a2－2 022a－ eq \f(a2＋1,2 023) ＝a2－2 022a－ eq \f(2 023a,2 023) ＝a2－2 022a－a＝a2－2 023a＝－1， ∴a2－2 022a－ eq \f(a2＋1,2 023) 的值为－1. $$