1.2 直角三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固 一、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 3.下列命题中： （1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角； （3）同一个角的两个邻角是对顶角； （4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角； 其中，互为逆命题的是（　　） A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4） 4.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 5.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 6.（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 7.如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD=CA，②DE=AB，③DE∥AC，④∠ABC=∠E． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：_________，求证：______； （2）请对你写出的命题进行证明． 二、最短路径问题 1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　） A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 6.如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm． （1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？ （2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？ 7.如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 三、勾股数 1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 2.下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 4.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 5.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 四、勾股定理 1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　） A.4 B.16 C.36 D.64 2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 3.如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5） B.（4，5） C.（4，3） D.（3，4） 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长． 五、用HL判定三角形全等 1.如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 2.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 5.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 7.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？ 六、勾股定理的的逆定理 1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A.7，14，15 B.6，8，10 C.5，12，13 D.8，15，17 2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA等于（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 3.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　     　． 5.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 七、勾股定理的应用 1.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 2.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元 4.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 5.如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　     　． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 7.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 八、直角三角形的性质 1.如图，直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1=15°，∠2=25°，则∠ABC的大小为（　　） A.40° B.45° C.50° D.55° 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC=28°，则∠CBD为（　　） A.15° B.16° C.18° D.20° 3.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE=     ____. 5.如图，CD是△ABC的高，∠ACB=90°．若∠A=35°，则∠BCD的度数是        . 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 7.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC． 北师大版八年级下册 1.2 直角三角形 暑假巩固（参考答案） 一、互逆命题与互逆定理 1.下列正确叙述的个数是（　　） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题是假命题． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】把原命题的题设与结论交换得到它的逆命题，所以①正确； 原命题：若a=b,则|a|=|b|，其逆命题为：若|a|=|b|，则a=b,它是假命题，所以②错误； 原命题：若am＞bm,则a＞b,其逆命题：若a＞b,则am＞bm,它是假命题，所以③错误； 定理的逆命题不一定是真命题，所以每个定理不一定有逆定理，所以④错误； 每个定理一定有逆命题，所以⑤正确； 命题“若a=b,那么a3=b3”的逆命题为“若a3=b3，则a=b”，它是真命题，所以⑥错误． 故选：B． 2.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.同位角相等 B.直角三角形两锐角互余 C.若a=b,则|a|=|b| D.末位数是零的整数能被5整除 【答案】B 【解析】A．逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，是假命题，如：对顶角相等，但不是同位角； B．逆命题为“如果三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，是真命题，因为三角形的内角和为180°，当两个角的和为90°时，另一个角是直角； C．逆命题为“若|a|=|b|，则a=b”，是假命题，如：a=2，b=-2时便不成立； D．逆命题为“如果一个整数能被5整除，那么这个数的末位数是零”，是假命题，如：25便不成立． 故选：B． 3.下列命题中： （1）对顶角相等； （2）相等的角是对顶角； （3）同一个角的两个邻角是对顶角； （4）有公共顶点且相等的两个角是对顶角； 其中，互为逆命题的是（　　） A.（1）和（2） B.（2）和（3） C.（1）和（3） D.（1）和（4） 【答案】A 【解析】对顶角相等与相等的角是对顶角互为逆命题． 故选：A． 4.命题：“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是                ，该逆命题是      命题（填“真”或“假”）． 【答案】如果3a=3b,那么a=b 真 5.命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是             .这个逆命题是       命题．（填真或假） 【答案】三个角都相等的三角形是等边三角形 真 6.（1）已知，如图在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D，G在AB上，FG∥CD，∠BFG=∠CDE．求证：∠AED=∠ACB； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）证明 ∵FG∥CD， ∴∠BFG=∠BCD， ∵∠BFG=∠CDE， ∴∠BCD=∠CDE， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB． （2）解 在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 7.如图，在△ABC和△DEB中，点D在边AB上，下面有四个条件：①BD=CA，②DE=AB，③DE∥AC，④∠ABC=∠E． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：_________，求证：______； （2）请对你写出的命题进行证明． 【答案】（1）解 已知：①③④， 求证：②． （2）证明 ∵DE∥AC， ∴∠A=∠EDB， 在△ABC和△DEB中， ∴△ABC≌△DEB（AAS）， ∴DE=AB． 二、最短路径问题 1.如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（　　） A.70cm B.350cm C.280cm D.300cm 【答案】B 【解析】将圆柱表面切开展开呈长方形， 则求螺旋线长为七个长方形并排后的长方形的对角线长， 因为圆柱高2.1m，底面周长0.4m， x2＝（40×7）2+2102＝122500， 解得x＝350， 所以，彩带长至少是350cm． 故选：B． 2.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（　　） A.12 B.2 C.20cm D.6 【答案】C 【解析】将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C， ∵圆柱形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm， ∴AD＝A'D＝2cm，CD＝18﹣4＝14（cm）， ∴A'C＝AD+CD＝2+14＝16（cm）， ∵底面周长为24cm， ∴BC=， 根据勾股定理可得A'B=， 故选：C． 3.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m． A.8 B.5 C.20 D.10 【答案】C 【解析】如图，线段AB即为所需彩带最短， 由图可知AC＝3×4＝12，BC＝16， ∴由勾股定理得，AB=， 故选：C． 4.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为2cm，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底2cm点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为 　     　cm．（杯壁厚度不计） 【答案】 【解析】如图， 将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离， AC＝＝（cm）． 答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm． 故答案为：． 5.一圆柱形油罐如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，已知油罐底面周长为12m，高AB为5m，问所建的梯子最短需　     　米． 【答案】13 【解析】如图所示， ∵AC＝12m，BC＝5m， ∴AB＝（m） 答：梯子最短需要13m． 故答案为13． 6.如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高是6cm． （1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面围绕一圈到达点B．那么所用的细线最短长度是多少厘米？ （2）如果从A点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短长度是多少厘米？ 【答案】解 （1）如图1所示，连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长， AA′＝8cm，A′B′＝AB＝6cm， 由勾股定理得AB′2＝AA′2+A′B′2＝62+82＝100， 则AB′＝10cm， 答：所用的细线最短长度是10cm． （2）如图2所示，将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的中点C，取AB的中点C′，连接B′C′，AC， 则AC+B′C′为所求的最短细线长， AC2＝AA′2+A′C2，AC＝cm， B′C′2＝BB′2+C′B2＝73， B′C′＝（cm）， AC+B′C′＝2（cm）， 答：所用细线最短长度是2cm． 7.如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 【答案】解 （1）如图， 将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C，D，E，取AB的四等分点C′，D′，E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC， 则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长， ∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13， ∴4AC＝52， 答：彩带的长度是52cm． （2）如图， 将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程， 在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm， 由勾股定理得AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520， 则AC′＝2cm， 答：蚂蚁走的最短路程是2cm． 三、勾股数 1.下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3 B.1，，2 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13 【答案】D 【解析】A.22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意； B.不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； C.0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； D.52+122＝132，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 2.下列几组数中，是勾股数的有（　　） ①0.6，0.8，1 ②7，24，25 ③10，24，26 ④，， A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】B 【解析】①0.6，0.8，1中0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意； ②72+242＝252，且7，24，25都是正整数，是勾股数，符合题意； ③102+242＝262，且10，24，26都是正整数，是勾股数，符合题意； ④，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 3.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦（结果用含m的式子表示）是（　　） A.4m2﹣1 B.4m2+1 C.m2﹣1 D.m2+1 【答案】D 【解析】∵m为正整数， ∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2， 解得a＝m2﹣1， ∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1， 故选：D． 4.勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面规律，第7个勾股数组为 　          　． 【答案】（15，112，113） 【解析】由勾股数组（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中， 4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为5×（11+1）＝60，即（11，60，61）， 第6组勾股数中间的数为6×（13+1）＝84，即（13，84，61）， 第7组勾股数中间的数为7×（15+1）＝112，即（15，112，113）， 故答案为（15，112，113）． 5.有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　     　． 【答案】15 【解析】设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+82＝172， 解得x＝15， ②172+82＝x2， 解得x＝（不合题意，舍去）， 故答案为：15． 6.清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】解 （1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5． （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 7.材料阅读：给定三个数a，b，c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a，b，c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25，∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3，4，5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196，∵25+144+169，即52+122＝132，∴5，12，13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a，b，c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a，b分别为直角的两条邻边．（如题图所示） 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8，15，17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7，24，25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数， 故8，15，17是为勾股数． （2）∵72+242＝252， ∴该三角形是直角三角形， ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 四、勾股定理 1.如图，字母A所代表的正方形的面积为（　　） A.4 B.16 C.36 D.64 【答案】C 【解析】∵正方形PQED的面积等于64， ∴PQ2＝64， ∵正方形PRGF的面积为100， ∴PR2＝100， 又△PQR为直角三角形， 根据勾股定理得，PR2＝PQ2+QR2， ∴QR2＝PR2﹣PQ2＝100﹣64＝36， 则正方形QMNR的面积为36． 故选：C． 2.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】D 【解析】由题意得，MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB＝＝＝6， 故选：D． 3.如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是（　　） A.（8，5） B.（4，5） C.（4，3） D.（3，4） 【答案】C 【解析】如图，过点A作AD⊥OB于点D， ∵OA＝AB＝5，OB＝8， ∴OD＝OB＝4． 在直角△OAD中，由勾股定理得，AD＝＝＝3． 故点A的坐标是（4，3）． 故选：C． 4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝5，则AB2+CD2＝　      　． 【答案】29 【解析】由题意知BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 根据勾股定理得，OA2+OD2＝AD2＝22＝4，OB2+OC2＝BC2＝52＝25， ∴OA2+OD2+OB2+OC2＝4+25＝29， 根据勾股定理得，OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2， ∴AB2+CD2＝29， 故答案为：29． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3），以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为 　    　． 【答案】 【解析】∵点A，M的坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，3）， ∴AM=， ∵以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，∴AN=AM=， ∴则点N的坐标为． 故答案为：． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，﹣1），请写出顶点B，C的坐标，并求出△ABC中AC边上的高为多长． 【答案】解 由图可知，B的坐标为（2，﹣1），C的坐标为（4，3）， 又∵A的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴AC=，AB＝4， S△ABC=×AB×|yC-yB|=×4×4=8， 设△ABC中AC边上的高为h， 则有S△ABC=×AC×h=×2×h=h=8， ∴△ABC中AC边上的高为h=． 7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，求BE的长． 【答案】解 ∵AD平分∠CAB， 又∵DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵BD＝5， ∴BE＝＝4． 五、用HL判定三角形全等 1.如图，AB∥EF∥DC，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形共有( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 【答案】C 【解析】①△ABC≌△DCB ∵AB∥EF∥DC ∴∠ABC=∠DCB ∵AB=DC，BC=BC ∴△ABC≌△DCB； ②△ABE≌△CDE ∵∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，AB=DC，∴△ABE≌△CDE； ③△BFE≌△CFE，∵BE=EC，EF=EF，∠BEF=∠CEF，∴△BFE≌△CFE． ∴图中的全等三角形共有3对． 2.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（　　） A.AB=AC B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【解析】添加AB=AC，符合判定定理HL； 添加BD=DC，符合判定定理SAS； 添加∠B=∠C，符合判定定理AAS； 添加∠BAD=∠CAD，符合判定定理ASA； 选其中任何一个均可．故选A． 3.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′ C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′， Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C． 4.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，用HL判定△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是            . 【答案】AB=CD 【解析】要使△ABP≌△CDP，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，即一角一边，则我们增加斜边AB=CD，利用HL判定其全等． 5.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_________≌△_________． 【答案】AB DCF 【解析】∵在△ABE和△DCF中，AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，符合直角三角形全等条件HL，所以△ABE≌△DCF，故填ABE；DCF． 6.如图，∠B=∠ACD，∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD．你认为正确吗？为什么？ 【答案】解 不正确，因为AC不是△ABC和△ACD的对应边， 故不能判定△ABC≌△ACD． 7.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？ 【答案】解 根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°， 在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC，点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等． 六、勾股定理的的逆定理 1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（　　） A.7，14，15 B.6，8，10 C.5，12，13 D.8，15，17 【答案】A 【解析】A.∵72+142≠152，∴不能构成直角三角形； B.∵62+82＝102，∴能构成直角三角形； C.∵52+122＝132，∴能构成直角三角形； D.∵82+152＝172，∴能构成直角三角形． 故选：A． 2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA等于（　　） A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【解析】如图，延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10， ∴PD2+BD2＝PB2， ∴∠PDB＝90°，则△DPB为等腰直角三角形， ∴∠DPB＝45°， ∴∠PAB+∠PBA＝∠DPB＝45°， 故选：B． 3.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； B.三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意； C.三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意； D.三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意． 故选：C． 4.如图，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，则CE的长为 　     　． 【答案】8 【解析】过点A作AM⊥CD于点M，BN⊥CE于点N，如图所示， 则∠AMD＝∠AMC＝∠BNC＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠BCN＝∠BCN+∠CBN＝90°， ∴∠ACM＝∠CBN， ∵AC＝BC，∠AMC＝∠BNC＝90°， ∴△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN，BN＝CM， ∵AD＝AC，AM⊥CD， ∴DM=CM= =3， ∴AM=， ∴CN＝AM＝4， ∵BC＝BE，BN⊥CE， ∴EN=CN=， ∴CE＝2CN＝8， 故答案为：8． 5.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①AB＝；②∠ABC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　     　.（填序号） 【答案】①④ 【解析】①∵AB2＝22+42＝20， ∴AB＝2，故正确； ②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°，故错误； ③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误； ④设点A到直线BC的距离为h， ∵BC2＝32+42＝25， ∴BC＝5， 则×5×h＝5， 解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确； 故答案为：①④． 6.如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形； （2）求CE的长． 【答案】（1）证明 ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解 设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题． （1）线段AB的长为 　     　； （2）若△ABC是直角三角形，且边BC的长度为，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC． 【答案】解 （1）AB＝＝5． （2）如图所示． 七、勾股定理的应用 1.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】D 【解析】∵AB＝2.5米，AC＝0.7米， ∴BC＝＝2.4（米）， ∵梯子的顶部下滑0.4米， ∴BE＝0.4米， ∴EC＝BC﹣0.4＝2（米）， ∴DC＝＝1.5（米）． ∴梯子的底部向外滑出AD＝1.5﹣0.7＝0.8（米）． 故选：D． 2.如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（　　） A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 【答案】B 【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15﹣12＝3（cm）， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为15﹣13＝2（cm）， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm， 故选：B． 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20元 D.40元 【答案】C 【解析】∵∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝a米， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2a（米）， ∴BD＝＝a（米）， ∴BC＝BD+CD＝（+1）a米， ∴S△ABC＝＝（+1）a2（平方米）， ∵绿色植被每平方米造价40元， ∴铺满这块空地需要20（+1）a2元． 故选：C． 4.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间（kǔn）一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和AB为 　    　寸． 【答案】101 【解析】设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E， 则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1． 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101． 故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸． 故答案为：101． 5.如图，把长方形ABCD放在数轴上，BC＝4，CD＝1，以点B为圆心，BD长为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为 　     　． 【答案】﹣3 【解析】在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝1， ∴BD＝＝＝， ∵以B为圆心，BD为半径画弧交数轴于点E， ∴BE＝BD＝， ∴E点表示的数为﹣3， 故答案为：﹣3． 6.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】解 （1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米， ∴AC=（米）， ∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米）， ∴BC=（米）， ∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米， 答：此人需向右移动的距离为（）米． （2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米）， 且此人以0.5米每秒的速度收绳， ∴收绳时间， 答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 7.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】解 （1）如图，连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝＝15（m）， ∴AB+BC﹣AC＝9+12﹣15＝6（m）， 答：居民从点A到点C将少走6m路程． （2）∵CD＝17m，AD＝8m，AD2+AC2＝DC2， ∴△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2）， 答：这片绿地的面积是114m2． 八、直角三角形的性质 1.如图，直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1=15°，∠2=25°，则∠ABC的大小为（　　） A.40° B.45° C.50° D.55° 【答案】C 【解析】如图，作CK∥a. ∵a∥b,CK∥a, ∴CK∥b, ∴∠1=∠ACK=15°，∠BCK=∠2=25°， ∴∠ACB=∠1+∠2=15°+25°=40°， ∵∠CAB=90°， ∴∠ABC=90°-40°=50°， 故选：C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC=28°，则∠CBD为（　　） A.15° B.16° C.18° D.20° 【答案】B 【解析】∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∵∠A'BC=28°， ∴∠A'BA=60°+28°=88°， 由翻折得∠ABD=∠A′BD=∠A'BA=×88°=44°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-44°=16°， 故选：B． 3.如图所示，直线a∥b,直角△ABC的顶点C在直线b上．若∠1=33°，则∠2的度数为（　　） A.57° B.47° C.67° D.33° 【答案】A 【解析】在直角△ABC中，∠ACB=90°， ∵∠1=33°， ∴∠3=180°-90°-33°=57°， ∵a∥b, ∴∠2=∠3=57°， 故选：A． 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE=     ____. 【答案】25° 【解析】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE， ∴∠DBE=∠DAC， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠CAB=25°， 故答案为25°． 5.如图，CD是△ABC的高，∠ACB=90°．若∠A=35°，则∠BCD的度数是        . 【答案】35° 【解析】∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵在△ACD中，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∠A=35°，∠ACB=90°， ∴∠ACD=55° ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=35°． 故答案为：35°． 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE=∠CEF. 【答案】证明 ∵AE平分∠CAB（已知）， ∴∠CAE=∠FAB（角平分线的定义）， ∵∠ACE=90°（已知）， ∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∵CD是△ABC的高（已知）， ∴∠FDA=90°（三角形高的定义）， ∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余）， ∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）， ∵∠CFE=∠AFD（对顶角相等）， ∴∠CFE=∠CEF（等量代换）， 7.已知：如图，AD是△ABC的高，点E在AC上，G在AB上，∠2+∠C=90°，∠1=∠2．求证：GD∥AC． 【答案】证明 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC（三角形高线的定义）， ∴∠ADC=90°（垂直的定义）， ∴∠3+∠C=90°（直角三角形两个锐角互余）， 又∵∠2+∠C=90°（已知）， ∴∠2=∠3（同角的余角相等）， 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）， ∴GD∥AC（内错角相等，两直线平行）． 学科网（北京）股份有限公司 $$