2.1 锐角三角比 课件 2025-2026学年青岛版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“锐角三角比”核心知识点，通过课前小测复习直角三角形两锐角互余及勾股定理，情境引入结合旗杆高度问题与相似三角形比值相等现象，搭建从旧知（勾股定理、相似）到新知（三角比）的学习支架，帮助学生自然衔接知识脉络。 其亮点是以合作探究为主线，通过平滑木板实测数据计算及几何作图实验，引导学生自主发现比值规律，体现数学眼光（抽象数量关系）与数学思维（推理运算）。典例分析如用勾股定理求斜边算三角比，结合随堂检测强化符号意识与模型观念，学生能提升探究能力，教师可依托清晰结构高效教学。

第2章 解直角三角形 九年级上册 2.1 锐角三角比 课前小测 1.直角三角形的三个角的关系是什么？ 2.直角三角形的三边关系是什么？Rt △ABC中，∠C=90°，AB=16，BC=7，求AC. 解：在Rt △ABC中 AB2=BC2+AC2. 即162=72+AC2 . ∴AC2=162-72=（16+7）（16-7）=21×9. ∴AC= . 两锐角互余. 当数字较大时用平方差 拆分让计算更简便！ 课前小测 3.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90° ， ∠P的对边是___ ，∠P的邻边是___， ∠M的对边是___，∠M的邻边是___. MN PN PN MN . 情境引入 问题： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道操场旗杆有多高？公园里笔直的水杉有多高？通过本章的学习，你会明白其中的道理并能够解决相关的问题,你准备好了吗？ 情境引入 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、G为边AB上的两点，DE⊥AC，GH⊥AC. （1） ， ， 的值相等吗？为什么？ = = 由于DE⊥AC，GH⊥AC，易得∆ADE、∆AGH、∆ABC两两相似可得： 由平行线分线段成比例也可以得出比值相等哦！ 情境引入 在BC上取一点B′，连接AB′，分别交DE、GH于D′、G′. (2) 的值什么关系？为什么？ (3)观察比较 大小关系？ (4)并思考它们的值与角的大小是否有关？ = = (2)同（1）可得： (3) . ≠ (4)它们的值与角的大小有关. ， ， 与 情境引入 在其他情况下，是不是也是这样呢？下面请同学们来动手实践，运用已学的知识来探究下列问题吧！ 合作探究 探究：边与角的关系 问题一：如图，有一块2.00米的平滑木板AB，小亮将它的一端B架高1米，另一端A放在平地上，分别量的木板上的点B1，B2，B3，B4到A点的距离AB1，AB2，AB3，AB4，与它们距地面的高度B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，数据如表所示： 木板上的点 到A点的距离／米 距地面的高度／米 B1 1.50 0.75 B2 1.20 0.60 B3 1.00 0.50 B4 0.80 0.40 交流：利用上面数据，计算 的值，你有什么发现？ 它们的比值相等. （1）比值 相等吗?为什么？ 合作探究 相等. ∵BC⊥AC，B′C′⊥AC， ∴B′C′//BC， ∴ . (平行线分线段成比例） 问题二：如图 ，作一个锐角A，在∠A的一边上任意取两个点B，B′，经过这两个点分别向∠A的另一边作垂线，垂足分别为C，C′. 合作探究 （2）如果设 ，那么对于确定的锐角A来说，比值K的大小与点B′在AB边上的位置有关吗？ 比值K的大小与点B′在AB边上的位置没有关系， 由平行线分线段成比例可以得出比值相等. 也可以根据相似得出所有对应边的比值相等哦！ （3） 如图，以点A为端点，在锐角A的内部作一条射线，在这条射线上取点B″，使AB″=AB′,这样又得到了一个锐角∠CAB″.过B″作B″C″⊥AC，垂足为C″， 与 的值相等吗？为什么？由此你得到怎样的结论？ 合作探究 从前面探究的几个问题中可以得出，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对比与邻边的比也随之确定. 不相等. ∵AB″=AB′ ，B″C″≠B′C′, ∴比值不相等. 归纳小结 三角比的定义 锐角A的正弦、余弦和正切统称锐角A的三角比. 正弦 ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即 余弦 ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即 正切 ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即 试一试 在Rt△ABC，∠C=90°，把∠A的对边记作a，把∠B的对边记作b,把∠C的对边记作c,你能分别用a，b，c表示∠A的正弦、余弦和正切吗？ A C B a c b 仿照如此，你能分别用a，b，c表示∠B的正弦、余弦和正切吗？ 注意： 1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体，余弦和正切同上； 2、sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写； 3、sinA、cosA、tanA是一个比值，没有单位. 典例分析 例1 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，a=4,b=2,求∠A的正弦,余弦和正切的值. 典例分析 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°，如果cosA=0.8，AB=15，求BC和tanB. A C B 拓展 在锐角三角比中，正弦、余弦的值能等于1吗？能大于1吗？正切呢？ A C B a b c 在任意直角三角形中，正弦和余弦是直角边与斜边的比，而直角边永远小于斜边，所以正弦值、余弦的值恒小于1； 正切是两条直角边的比值，而两条直角边有可能相等，也有可能不相等，所以正切值或等于1，或大于1，或小于1. 随堂检测 锐角三角比 课堂评价测试 同学们要认真答题哦！ 随堂检测 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大为原来的2倍,则锐角A的正弦值（ ） A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的 C.不变 D.无法确定 2.在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则SinB的值是（ ） A. B. C. D.2 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，作CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα 的值为（ ） B. C. D. 4.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为____________. C A A 1 随堂检测 5.在⊿ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.已知 AC=15，cosA= （1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值. 解：（1）在⊿ABC中，∠ACB=90° ， AC=15，cosA= = . ∴ AB=25. ∵ D是AB的中点, ∴ CD= AB= . （2）在Rt⊿ABC中，BC= =20. ∵ BD=CD= = , ∴ ∠DCB=∠DBC. ∴ cos∠ABC= = . 在Rt△CEB中，∠E=90°，CE=BC· cos∠BCE=BC· cos∠ABC=16. ∴ DE=CE-CD= ，而DB= , ∴sin∠DBE= = = . 课堂小结 一个锐角的三角比的值与边的长短无关，只与角的大小有关，锐角一旦确定，三角比的值随之确定. 锐角三角比是通过直角三角形的各边的比来定义的，求锐角α的三角比一定要把α放在直角三角形中，则 ∠α的正弦 ∠α的余弦 ∠α的正切 作业布置 详见教材习题 P41 T1-5 谢 谢 $$