专题1.2 集合间的基本关系 分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.2 集合间的基本关系 高中数学辅导资料 专题1.2 集合间的基本关系 一、知识归纳： 1．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 （或___________），读作“A B”（或“B___________A”） 一般地，如果集合A的任何一个元素 集合B的元素，同时集合B的任何一个元素 集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 ．也就是说，若，且，则_______ 如果集合，但存在元素 ，且___________，就称集合A是集合B的真子集，记作（或） 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即___________ （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么 若且，则 （1）若且，则A C （2）若且，则A___________B 2．如果一个集合不含任何元素，则该集合称为 ； 如果一个集合有无限个元素，则该集合可称为 ． 3．子集的有关结论 （1）任何一个集合是它本身的 ，即 ． （2）对于集合、、，如果，且，那么 ． 自查自纠：1． 所有 包含于 包含 都是 都是 ，，，，，， 2．空集 无限集 3．子集 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．集合的真子集的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】真子集的个数为，故选：C 2．已知集合，则（    ） A． B． C．BA D． 【答案】C 【详解】根据集合真子集的定义得：对任意的，均有，存在，使得，故BA. 故选：C. 3．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．B∈A D．A＝B 【答案】C 【详解】由题意可知集合A中的元素为集合的子集，据此可得：.本题选择C选项. 4．设集合，，已知，且B中含有3个元素，则集合B有（    ） A．个 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意∵，且中只有3个元素，，∴集合的个数是．故选：B. 5．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【详解】由得且，又，则，其子集个数共有，除去集合本身，则其真子集个数为，故选：D. 6．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，,，故.故选：B. 7．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选B. 8．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.所以集合的真子集如下：∴集合的真子集个数7个.故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．集合，，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题：，当时，符合题意；当时，，或 所以，或1，所以实数的取值为，0或1.故选：ABC. 10．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由空集的定义知：，A正确.,B正确.，C错误.,D正确.故选：ABD. 11．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ； 当时，有 ，解得，故, 则M的一个真子集可以是或，故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．集合的子集共有 个. 【答案】 【详解】集合，0，的子集有：，，，，，，，，，， ，0，共8个.故答案为：． 13．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 【答案】 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ，， 所以有.故答案为：289 14．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为 . 【答案】14 【详解】因为{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5}，所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设是全集的子集,,则满足的的个数是 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． 2．已知集合，则下列式子表示正确的有（    ） ①②③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】因为，则，所以①正确；，所以②不正确；，所以③不正确；，所以④正确，因此，正确的式子有2个.故选：B. 3．下列关系中，正确的个数是（    ）. ①；②，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误. 故选：B 4．设集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．3 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由题,集合中的元素的个数为,则其真子集的个数为,故选：B 5．满足条件的所有集合A的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】满足题意的集合A可以为，共4个. 6．已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，集合，即 （1）若，则，此时，成立；故 （2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立； （3）若，即或 当时，，此时两个集合不可能相等，不成立； 当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立 综上：，，.故选：A 7．已知集合，,若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ,又，所以，因此 ，选C. 8．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊕Q的真子集个数 A．23﹣1 B．27﹣1 C．212 D．212﹣1 【答案】D 【详解】由所定义的运算可知，集合P⊕Q中元素（x，y）中的x取自3，4，5三个的一个，y取自4，5，6，7四个的一个，故根据乘法原理，P⊕Q中实数对的个数是：3×4=12，∴P⊕Q的所有真子集的个数为212﹣1．故选D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．如果集合，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，，，故选项AD正确，，即BC错误.故选：AD. 10．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 11．对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】AC 【详解】对于A：因为，，所以，故，故A正确；对于B：因为，，所以c为偶数，且不能被4整除，若，则存在，使得，，，因为和同奇或同偶，若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，所以，故B不正确；对于C：因为，，所以存在，使得，，所以，因为，，所以，故C正确．对于D，，故D不正确.故选：AC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若集合，实数的值为 . 【答案】 【详解】令,,，,,，,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为.故答案为： 13．集合满足，则集合的个数有 个. 【答案】3 【详解】因为，即，所以，，，即集合的个数有3个.故答案为：3. 14．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是.故答案为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.2 集合间的基本关系 高中数学辅导资料 专题1.2 集合间的基本关系 一、知识归纳： 1．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 （或___________），读作“A B”（或“B___________A”） 一般地，如果集合A的任何一个元素 集合B的元素，同时集合B的任何一个元素 集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 ．也就是说，若，且，则_______ 如果集合，但存在元素 ，且___________，就称集合A是集合B的真子集，记作（或） 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即___________ （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么 若且，则 （1）若且，则A C （2）若且，则A___________B 2．如果一个集合不含任何元素，则该集合称为 ； 如果一个集合有无限个元素，则该集合可称为 ． 3．子集的有关结论 （1）任何一个集合是它本身的 ，即 ． （2）对于集合、、，如果，且，那么 ． 自查自纠：1． 所有 包含于 包含 都是 都是 ，，，，，， 2．空集 无限集 3．子集 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．集合的真子集的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，则（    ） A． B． C．BA D． 3．设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．B∈A D．A＝B 4．设集合，，已知，且B中含有3个元素，则集合B有（    ） A．个 B． C． D． 5．集合，且的真子集的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 6．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 7．能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 8．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．集合，，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 11．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．集合的子集共有 个. 13．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 14．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设是全集的子集,,则满足的的个数是 A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知集合，则下列式子表示正确的有（    ） ①②③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列关系中，正确的个数是（    ）. ①；②，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 4．设集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．3 B．7 C．8 D．16 5．满足条件的所有集合A的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，,若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P⊕Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊕Q的真子集个数 A．23﹣1 B．27﹣1 C．212 D．212﹣1 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．如果集合，那么（    ） A． B． C． D． 10．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 11．对于集合，则下面结论正确有（   ） A．如果，那么； B．如果，，那么； C．如果，，那么 D．如果，，那么 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若集合，实数的值为 . 13．集合满足，则集合的个数有 个. 14．若集合，则实数的取值范围是 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$