专题1.1 集合的概念 分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.1 集合的概念 高中数学辅导资料 专题1.1 集合的概念 一、知识归纳： 1．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 2．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 自查自纠：1．确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N 2．自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 2．关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B. 3．已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由方程，解得或，所以，所以，，. 故选：A. 4．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合则集合中元素的个数是个.故选：C 5．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 【答案】B 【详解】由题意，当时，，令替换中的a，则，则，则，即，所以，故选B. 6．设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是（    ） A． B．，则， C． D．，，则 【答案】B 【详解】A.，所以，正确；B.若，则，或或或，故B不正确；C.，所以，故C正确；D.，，，则，故，故D正确.故选：B 7．下面有五个命题：①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为中的最小数为0，故①错误；不大于3的自然数有0,1,2,3，故②错误；若，则，此时，故③错误；而，则成立，故④正确；集合中有元素0，故⑤错误.故选B. 8．已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由题意，设，，，，，，则，令，则，且，，则，故选B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD 10．若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ABD 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．当时，，此时，，故符合题意；当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，经检验符合题意．综上可知，或．故选：ABD 11．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，对于，因为，所以，因为，所以，故正确，对于，若，则，故错误，故选：. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合有且只有一个元素，则 . 【答案】或 【详解】由题意得，当时，即时，此时，解得，此时满足题意；当，即，要使得集合只有一个元素，则，解得，所以实数的值为或. 13．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则实数 . 【答案】 【详解】由题意，∵集合，∴由集合中元素的互异性可知：，可得：且. 又∵，∴或，解得：或（舍去）.综上知，实数.故答案为：. 14．若是集合A中的元素，且集合A中只含有一个元素2，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意得，解得.故答案为： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（    ） A．∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 【答案】D 【详解】因为集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．故选：D 2．已知集合，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得.故选：D. 3．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【详解】因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11． 即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．故选D． 4．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【答案】D 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​.故选: D. 5．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】当集合为单元素集时，可取，此时可取； 当集合为双元素集时，可取，此时可取； 当集合为三元素集时，可取，此时可取， 当集合为四元素集时，可取，此时可取， 综上可知可取，共个值，所以的元素个数为， 故选：B. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确.故选：B. 7．（21-22高一上·北京·阶段）若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 【答案】B 【详解】由题意，.若n为偶数，为奇数，若，以此类推，，共2022个n，每个n对应一个；同理，若n为奇数，为偶数，此时，共2022个n，每个n对应一个.于是，共有4044个n，每一个n对应一个m满足题意.故选：B. 8．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为(　　) A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1.故k＝0或k＝1.选C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·广西百色·阶段）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，故，，，.故选：ABC 10．（20-21高一上·江苏苏州·开学考试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论正确的是（    ） A．2 020∈[0] B．－3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； D．“整数a，b属于同一‘类’”，则“a－b∈[0]”． 【答案】ACD 【详解】A、，，故A正确； B、，，故B错误； C、因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故，故C正确； D、整数，属于同一“类”， 整数，被5除的余数相同，从而被5除的余数为0， 反之也成立，故“整数，属于同一“类”的充要条件是“”．故D正确． 正确的结论为ACD．故选：ACD． 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 ， .故答案为： . 13．已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M= . 【答案】 【详解】当a=2时，因为2∈M，所以=-3∈M；因为-3∈M，所以=∈M； 因为∈M，所以∈M；因为∈M，所以=2∈M，所以M=. 故答案为：. 14．如果具有下述性质的都是集合中的元素,其中(),那么下列元素不属于集合的个数是 . ①;②;③;④. 【答案】1 【详解】①当时,,①符合;②当时,,②符合;③当时,,③不符合;④当时,,④符合. 故不属于集合的个数是1.故答案为：1 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$专题1.1 集合的概念 高中数学辅导资料 专题1.1 集合的概念 一、知识归纳： 1．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 2．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 自查自纠：1．确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N 2．自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 2．关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 3．已知集合，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 6．设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是（    ） A． B．，则， C． D．，，则 7．下面有五个命题：①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知集合，，，且，，，若，则． A． B． C． D．且 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 11．已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知集合有且只有一个元素，则 . 13．（23-24高一上·辽宁·阶段）已知集合，若，则实数 . 14．若是集合A中的元素，且集合A中只含有一个元素2，则的值为 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（    ） A．∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 2．已知集合，且，则 A． B． C． D． 3．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 4．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 5．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 6．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·北京·阶段）若集合，则集合A的元素个数为（    ） A．4042 B．4044 C．20212 D．20222 8．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为(　　) A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·广西百色·阶段）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21高一上·江苏苏州·开学考试）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论正确的是（    ） A．2 020∈[0] B．－3∈[3] C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； D．“整数a，b属于同一‘类’”，则“a－b∈[0]”． 11．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若，则实数a的取值范围是 ． 13．已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M= . 14．如果具有下述性质的都是集合中的元素,其中(),那么下列元素不属于集合的个数是 . ①;②;③;④. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$