3.1　圆的对称性 第1课时　垂径定理 课件- 2025—2026学年青岛版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“垂径定理”，以圆的对称性为核心，通过天坛圜丘坛情境导入，结合课前小测复习弦、弧等概念，搭建新旧知识支架，引导学生从直观感知到逻辑推理学习。 其亮点在于采用合作探究（折叠操作、推理证明）培养数学眼光与思维，赵州桥实例渗透模型意识，“知二推三”口诀简化知识，随堂检测巩固应用。助力学生提升几何直观与问题解决能力，教师可高效开展教学。

第3章 对圆的进一步认识 九年级上册 3.1 圆的对称性 第1课时 垂径定理 课前小测 1.圆是平面内到__________距离等于________的点的集合. 2.弦：圆上任意两点之间所连接的线段叫作_______,圆中最长的弦是______. 3.弧：圆上任意两点间的部分叫作______,简称弧.用符号“______”表示. 半圆：一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆. 弧的分类 优弧：___________________叫做优弧. 劣弧：___________________叫做劣弧. B 如图，以A、B为端点的弧有________条，分别是_________和_________. 定点的 定长 弦 直径 圆弧 大于半圆的弧 小于半圆的弧 2 情境引入 问题：同学们知道北京天坛公园的圜丘坛吗？ 情境引入 这是北京天坛公园内圜丘坛的照片. 圜丘坛,俗称祭天台，高5米，直径23米，是一座由白玉石雕栏围绕的三层石造圆台. 观察这幅图片，思考下面的问题： 圆是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 是轴对称图形，也是中心对称图形. 2. 如果站在圜丘坛最上一层，你能准确找到它的圆心吗？ 怎么能准确找到圆心呢，等学完这一章，同学们就会有各种办法. 情境引入 圆是轴对称图形吗？ 你能找到它的对称轴吗？ 合作探究 探究一：圆是轴对称图形吗？ 思考下面的问题，动手操作并与同学交流： （1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径 AB.将⊙O沿直径AB折叠，你发现了什么？ 折叠后两边完全重合. （2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？ 折叠后还是两边完全重合. 归纳总结： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. 合作探究 探究二：垂径定理和推论 如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E . 将⊙O沿直径AB折叠. 1.垂径定理 合作探究 探究二：垂径定理和推论 (2)能不能通过推理得到结论呢？ 证明：连接OC，OD.∵OC = OD， OE⊥CD， OE = OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE，∴ CE = DE . ∴点C与点D关于直线 AB 对称. ∵直线 AB 是⊙O 的对称轴， ∴当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D重合， 与 重合， 与 重合， ∴ 归纳小结 垂径定理  垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 归纳小结 “垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径（如图），甚至还可以是过圆心的直线或线段. 合作探究 探究二：垂径定理和推论 由折叠或如垂径定理的证明可知，下列推论成立. 推论1: 平分弦(不是直径)的直径，垂直这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. C D 如图,两条直径一定互相平分，但不一定垂直，所以被平分的弦如果是直径，结论不一定成立. 2.垂径定理的推论 合作探究 推论2: 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧. 推论3: 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧. 归纳小结 一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三. 典例分析 [例1] 如图，以△OAB 的顶点O为圆心的⊙O 交AB 于点C，D，且AC = BD . 求证：OA = OB . E 证明：作 OE⊥ AB，垂足为点 E. 由垂径定理，得 CE = DE . ∵ AC = BD， ∴ AC + CE = BD + DE，即 AE = BE . ∴ OE 为线段 AB 的垂直平分线. ∴ OA = OB . 圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距.例如：OE是CD的弦心距. 归纳总结：在圆中，作弦心距是常用的辅助线，可以利用垂径定理产生的结论来推理. [例2] 典例分析 1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.23 m .求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）. 归纳小结 作弦心距和连半径是圆中常见的辅助线，应用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理来解决的. a 拓展： 设半径OC=r，弦心距OE=d，弦CD的一半CE（半弦）为a，拱高AE为m，在这四个量r，d，a，m中，知二推二. 随堂检测 垂径定理 课堂评价测试 同学们要认真答题哦！ 随堂检测 C B 随堂检测 3.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知AB=16，CM=4，求OA. └ 课堂小结 圆具有怎样的对称性？ 垂径定理及其推论的内容是什么？ 一条线，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦(不是直径)，④平分优弧，⑤平分劣弧，知二推三. 在圆中，经常作弦心距、连半径、和半弦构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度.弦心距、半径、半弦、拱高知二推二. 3.在圆中,通常怎样构造直角三角形解决问题? 作业布置 详见教材练习题 P70 T1-2 谢 谢 $$