4.5 一元二次方程根的判别式 课件 2025—2026学年青岛版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，通过课前小测复习方程解法，情境引入以具体方程求解提问Δ作用，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解Δ=b²-4ac与根的关系。 亮点在于以问题驱动探究，通过配方推导培养推理能力，典例分析结合二次项系数条件，挑战自我融入等腰三角形分类讨论，体现数学思维与应用意识。学生能深化概念理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

第4章 一元二次方程 九年级上册 4.5 一元二次方程根的判别式 课前小测 1．一元二次方程的一般形式是什么？有哪些解法？ 如果方程有括号，先不要去括号，看能否用直接开平方法，不能用再看能否用因式分解法，再不能用就去掉括号整理成一般式，用公式法或配方法. ax2+bx+c = 0 (a≠0).直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法. 2.一元二次方程按照什么顺序来选择方法会更简便？ 课前小测 3.解方程x2＋21x－22＝0（用你认为最简便的方法）： 解：（x+22）（x-1）=0， x+22=0或x-1=0， x1=-22，x2=1. 情境引入 问题： 求出方程的解：2x2－6x－1＝0（公式法）． 我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？ 情境引入 b2-4ac值的正负与方程的根有什么关系呢？ 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 探究：一元二次方程根的判别式 问题1： 解方程x 2 + 2x + 5 = 0. 方法一：因为 22 - 4× 1× 5 < 0，所以无法用公式法解这个方程. 方法二：把方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)配方，得（x+1）2 = -4 . 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 问题2：b2 - 4ac的值的正负与一元二次方程的根有什么关系呢？ 我们知道,任何一个一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方法 ∵a≠0，∴ 4a2＞0 ， 合作探究 所以 （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根： （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根： （3）当b2-4ac<0时， 而 不可能是负数， 所以方程没有实数根. 探究：一元二次方程根的判别式 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式 b 2 - 4ac 的值的符号，因而把b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac . 归纳小结 一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 （1）当Δ > 0 时有两个不相等的实根； 一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 （1）如果有两个不相等的实根，那么Δ > 0； （2）如果有两个相等的实根，那么Δ = 0； （3）如果没有实根，那么Δ < 0 . 上面结论的逆命题也是正确的. 你能说出它的逆命题吗？ （3）当Δ < 0 时没有实根. （2）当Δ = 0 时有两个相等的实根； 典例分析 [例1] 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 2x 2 + x - 4 = 0； （2） 4y 2 + 9 = 12y； （3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 . 解 ：（1）这里 a = 2， b = 1， c = -4 . ∵Δ = b 2 - 4ac = 12 - 4× 2× -4） = 33 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实根. 典例分析 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 2x 2 + x - 4 = 0； （2） 4y 2 + 9 = 12y； （3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 . （2）把原方程化为一般形式，得 4y 2 - 12y + 9 = 0 . 这里 a = 4， b = -12， c = 9 . ∵Δ = b 2 - 4ac =（-12）2 - 4× 4× 9 = 0， ∴ 原方程有两个相等的实根. （3）把原方程化为一般形式，得 5t 2 - 6t + 5 = 0 . 这里 a = 5， b = -6， c = 5 . ∵Δ = b 2 - 4ac =（-6）2 - 4× 5× 5 = -64 < 0， ∴ 原方程没有实根. [例1] 典例分析 [例2] 已知关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根. （1）求 k 的取值范围； （2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根. 解 （1）∵ 关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根， ∴ Δ =（-3）2 - 4k > 0，即 9 - 4k > 0 . 解不等式，得k < ∵ kx 2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，∴ k≠ 0 . 故 k 的取值范围是 k < 且 k≠ 0 . 典例分析 [例2] 已知关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根. （1）求 k 的取值范围； （2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根. （2）取不等式 k < 的一个正整数解 k = 2，则方程为2x 2 - 3x + 1 = 0 . 解这个方程，得x1 = 1 ， x2= . 例2中k是 一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0的二次项系数，k的范围可以在数轴上表示出来，更加直观，范围内包含0，所以要强调不等于0. 挑战自我 有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程x 2 - 12x + k = 0的两根. 求 k 的值. （2）若边长3为底边，则方程有两个相等的实数根. 由Δ =0，求得k=36.这时方程x 2 - 12x + 36 = 0的解为6,6.符合题意，故k=36. （1）若边长3为等腰三角形的腰长，则3是方程x 2 - 12x + k = 0的一个根，代入求值得k=27.这时方程x 2 - 12x + k = 0的解为3和9，由于3,3,9不能构成三角形，所以舍去. 分析：分类讨论 随堂检测 一元二次方程根的判别式 课堂评价测试 同学们要认真答题哦！ 随堂检测 1.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 3.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则 a 的值是( ) A. a=0 B. a=2或a=-2 C. a=2 D. a=2或a=0 A B B 随堂检测 4.当 k为何值时，关于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3， （1）有两个不相等的实根； （2）有两个相等的实根； （3）没有实根. 解 ：把方程化为一般形式，得（k - 1）y 2 - 2ky + k - 3=0. 这里，a= k – 1，b= - 2k，c= k – 3， Δ = b 2 - 4ac=（-2k）2 – 4（k – 1）（k – 3）=16 k – 12. ∴当 时，方程有两个不相等的实数根； （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ =16 k – 12 > 0，解得 随堂检测 4.当 k为何值时，关于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3， （1）有两个不相等的实根； （2）有两个相等的实根； （3）没有实根. （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴ Δ =16 k – 12 =0 解得 ∴当 时，方程有两个不相等的实数根； （3）∵方程没有实数根， ∴ Δ =16 k – 12<0 解得 ∴当 时，方程没有实数根. 课堂小结 1. b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx+ c = 0 的根的判别式， 通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac . 2.一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) （1）当Δ > 0 时有两个不相等的实根； （2）当Δ = 0 时有两个相等的实根； （3）当Δ < 0 时没有实根. 反之，也成立. 作业布置 详见教材练习题 P145 T1-2 谢 谢 $$