4.6　一元二次方程根与系数的关系 导学案 2025-2026学年青岛版数学九年级上册

本文围绕一元二次方程根与系数的关系展开，承接一元二次方程一般形式、求根公式等知识背景，为后续方程相关问题的解决奠基。通过合作探究、典例分析等环节，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计创新点在于以问题链驱动探究，采用小组合作教法。从学生层面看，提升其批判性思维；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，增强互动性，有效突破根与系数关系应用这一教学难点。

第4章 　一元二次方程 学习目标 课题 *4.6　一元二次方程根与系数的关系 课时 *4.6　一元二次方程根与系数的关系 学习目标 1.了解一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数之间的关系. 2.经历实验、观察、猜想、交流、证明等推导根与系数关系的活动过程,丰富学生的数学活动经验,发展推理能力,进一步培养学生的符号意识与创新意识. 学习 重难点 重点:一元二次方程根与系数的关系. 难点:一元二次方程根与系数的关系的应用. 学习活动 [课前小测] 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.一元二次方程的求根公式是什么? 3.一元二次方程的根的情况怎样确定? [合作探究] 探究:一元二次方程根与系数的关系 问题1：根据情境导入中所求出的每个方程的根,分别计算两根之和与两根之积,并把结果填入下表: 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ①x2+3x+2=0 ②x2-5x+6=0 ③3x2+x-2=0 ④2x2-4x+1=0 问题2：观察上表,你发现在上面的四个方程中,两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系? 问题3：由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与方程的系数a,b,c之间有什么关系?能证明你的猜想是正确的吗?与同学交流. 典例分析: 【例1】 关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2,求另一个根及m的值. 对于例1,你还有其他的解法吗? 【例2】 设x1,x2是方程2x2+5x+1=0的两个根,求下列各式的值: (1)(x1+1)(x2+1);(2)+. 拓展： 对于例2,能求出+,(x1-x2)2的值吗? [随堂检测] 1.下列一元二次方程两实根的和为-4的是(　 　 ) A.x2+2x-4=0 B.x2+4x+10=0 C.x2-4x+4=0 D.x2+4x-5=0 2.不解方程,说出下列一元二次方程两个根的和与积: (1)x2-3x+1=0,x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.  (2)2x2+3x=0,x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.  3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,它的另一个根是　 　,m的值是　 　.  [课堂小结] 1.一元二次方程的根与系数有怎样的关系? 2.利用根与系数的关系解与字母系数有关的问题的前提是什么? [作业布置] 请完成教材习题P149T1-T4 学科网（北京）股份有限公司 $$