21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕一元二次方程的根与系数的关系展开，从因式分解法展开方程入手引导学生观察根与系数的联系，衔接已学的因式分解和方程解法知识，以具体到一般的推导过程搭建学习支架。 其亮点在于通过问题驱动探究培养抽象能力，例题覆盖直接应用、代数式变形等发展推理意识，易错点强调根的存在性培养严谨思维，课堂小结分两种形式助力精确表达。学生能深化对关系本质的理解，教师可借助系统例题和分层练习高效开展教学。

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0 (x1, x2为已知数) 的两根为x1和x2, 将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是x1+x2=-p, x1x2=q. 知识点1 直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1＋x2的值为( ) A．－2 B．－3 C．2 D．3 C 2．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为( ) A．－2 B．1 C．2 D．0 D 3．(安阳期末)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为______． 2 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2＋2x＋1＝0； 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝1； (2)5x－5＝6x2－4. 解：x1＋x2＝－5，x1x2＝1. (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－5)2－2＝23； (2)x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1x2＋x2＝－5＋1＝－4； (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－5)2－4＝21； 知识点2 利用根与系数的关系求一元二次方程中字母的值及代数式的值 6．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－3＝0的两根，且x1x2＝－2，则k的值为( ) A．3 B．－3 C．－1 D．0 【变式】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 C A 7．已知关于x的一元二次方程 x2＋mx－2＝0的一个根为－1，则m的值为_________，另一个根为______． 8．思想方法　整体思想(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为_________． －1 2 7 易错点　忽略一元二次方程根的存在性而致错 9．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根，且x1＋x2－x1x2＝－5，则实数m＝_________． －2 10．已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝9，求m的值． 解：(1)∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0， a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， ∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋8. ∵m2≥0，∴Δ>0. ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∵x12＋x22－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，∴(m＋2)2－3(m－1)＝9. 整理，得m2＋m－2＝0. ∴(m＋2)(m－1)＝0， 解得m1＝－2，m2＝1. ∴m的值为－2或1. 1．设方程x2＋x－2＝0的两个根为α，β，那么α＋β－αβ的值等 于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．已知a，b是方程x2＋3x－1＝0的两根，则a2b＋ab2的值是____． 3 C 基础巩固 3．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为(　　) A．－1 B．4 C．－4 D．－5 4．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D C 5．已知Rt△ABC的两条直角边长为关于x的一元二次方程x2＋kx＋12＝0的两根． (1)当k＝－7时，求Rt△ABC的周长； (2)当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及Rt△ABC的周长． 综合应用 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则 若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则 x1+x2=-p, x1x2=q. 课堂小结 解：6x2－5x＋1＝0， x1＋x2＝ eq \f(5,6) ，x1x2＝ eq \f(1,6) . 5．已知x1，x2是方程x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)x12＋x22; (2)x1(1＋x2)＋x2； (3)(x1－x2)2; (4) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) . (4) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝ eq \f(－5,1) ＝－5. 解：(1)当k＝－7时，方程为x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，即此时直角三角形的两直角边长分别为3，4，∴斜边长为 eq \r(32＋42) ＝5，∴Rt△ABC的周长为3＋4＋5＝12　 (2)当Rt△ABC为等腰直角三角形时，关于x的一元二次方程x2＋kx＋12＝0的两根相等，则Δ＝k2－4×12＝0，解得k＝±4 eq \r(3) ，∵两直角边长的和为－k＞0，∴k＝－4 eq \r(3) ，∴两直角边长为2 eq \r(3) ，2 eq \r(3) ，∴斜边长为2 eq \r(3) × eq \r(2) ＝2 eq \r(6) ，∴Rt△ABC的周长为2 eq \r(3) ＋2 eq \r(3) ＋2 eq \r(6) ＝4 eq \r(3) ＋2 eq \r(6) $$