2.5二次函数与一元二次方程同步练2025—2026学年北师大版数学九年级下册

2.5二次函数与一元二次方程 第1课时　二次函数与一元二次方程的关系（1） 1.已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为 （1，0），则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两个实数根是（　B　） A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝3 2.若抛物线y＝x2－x＋c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是　c＞　. 3.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是（　D　） A.无解 B.x＝1 C.x＝－4 D.x＝－1或x＝4 第3题图　　　 4.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的顶点坐标为（1，5），那么关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（　A　） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为　4　. 第5题图 6.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为　＝3　. 第6题图 7.抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（　A　） A.b＋c＞1 B.b＝2 C.b2＋4c＜0 D.c＜0 8.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为x＝4，求另一个根的值. 9.已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为　1或－. 10.已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 11.已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为2. （1）求q关于p的表达式； （2）求证：抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点； （3）设抛物线y＝x2＋px＋q的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线对应的函数表达式. 答案 1.B　2.c＞　3.D　4.A　5.4 6.x1＝－1，x2＝3　7.A 8.解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴－＝1，即b＝－2a. 根据根与系数的关系，得4＋x＝－ ＝－＝2， 解得x＝－2， 即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的另一个根为x＝－2. 9.1或－ 10.（1）证明：∵Δ＝（－2m）2－4×1×（m2＋3）＝4m2－4m2－12＝－12＜0， ∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象都与x轴没有公共点. （2）解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝（x－m）2＋3，把函数y＝（x－m）2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝（x－m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点. 11.（1）解：由题意，得22＋2p＋q＋1＝0，即q＝－2p－5. （2）证明：∵一元二次方程x2＋px＋q＝0的根的判别式Δ＝p2－4q＝p2＋4（2p＋5）＝p2＋8p＋20＝（p＋4）2＋4＞0， ∴一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根， ∴抛物线y＝x2＋px＋q与x轴有两个交点. （3）解：抛物线顶点M的坐标为.由题意，得x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两个根， ∴x1＋x2＝－p，x1x2＝q， ∴AB＝｜x1－x2｜＝＝， ∴S△AMB＝AB·＝（p2－4q），要使S△AMB最小，只需使p2－4q最小.而由（2）得p2－4q＝（p＋4）2＋4， ∴当p＝－4时，p2－4q有最小值4，此时S△AMB＝1，q＝3.故抛物线对应的函数表达式为y＝x2－4x＋3. 第2课时　二次函数与一元二次方程的关系（2） 1. 若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为（　D　） A.x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5 C.x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5 2.若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围是（　B　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 … A.1＜x＜1.1 B.1.1＜x＜1.2 C.1.2＜x＜1.3 D.1.3＜x＜1.4 3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，－0.51），B（2.68，0.54），则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解有可能是（　D　） A.2.18 B.2.68 C.－0.51 D.2.45 第3题图　　 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②－＞0；③当－1＜x＜3时，y＜0.其中所有正确结论的序号是（　D　） 第4题图　　 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.根据表格，求方程x2＋2x＝6的一个解大约是　1.65　.（精确到0.01） x 1.63 1.64 1.65 1.66 … x2＋2x 5.916 9 5.969 6 6.022 5 6.075 6 … 6.根据下表判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是　0.5＜x＜0.6　. x 0.4 0.5 0.6 0.7 ax2＋bx＋c －0.64 －0.25 0.16 0.59 7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A（－3，－1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集是　－3＜x＜0　. 第7题图 8.如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）. （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. 9.请阅读下列解题过程： 解一元二次不等式：x2－2x－3＜0. 解：设x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3， 则抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为（－1，0）和（3，0）. 画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示）. 由图象可知：当－1＜x＜3时函数图象位于x轴下方， 此时y＜0，即x2－2x－3＜0. 所以一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集为－1＜x＜3. 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　①　和　③　.（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想. （2）用类似的方法解一元二次不等式：－x2＋2x＞0. （3）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝－（x－1）（｜x｜－3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量x的取值范围是　全体实数　，x与y的几组对应值如表，其中m＝　－4　； x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 －3 m －3 0 1 0 －3 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整； ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：－3≤－（x－1）（｜x｜－3）≤0. 答案： 1.D　2.B　3.D　4.D　5.1.65　6.0.5＜x＜0.6 7.－3＜x＜0　 8.解：（1）由题意，将A（－2，0），C（0，－2）代入y＝x2＋bx＋c得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2. （2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0）， ∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴＝2，即＝2.∴＝2. 又CO＝2， ∴n＝2CO＝4. 由m2＋m－2＝4， ∴m1＝－3，m2＝2（舍去）. ∴点P的坐标为（－3，4）. 9.解：（1）①　③ （2）－x2＋2x＞0，设－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则抛物线y＝－x2＋2x与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）. 画出二次函数y＝－x2＋2x的大致图象（如图所示）. 由图象可知，当0＜x＜2时，函数图象位于x轴上方， 此时y＞0，即－x2＋2x＞0. 所以一元二次不等式－x2＋2x＞0的解集为0＜x＜2. （3）①全体实数　－4 ②描点，连线，函数y＝－（x－1）（｜x｜－3）的图象如图. ③由图象可知：当－3≤x≤－2或0≤x≤1或3≤x≤4时，函数y＝－（x－1）（｜x｜－3）的图象位于－3与0之间，此时－3≤y≤0，即－3≤－（x－1）（｜x｜－3）≤0.∴不等式－3≤－（x－1）（｜x｜－3）≤0的解集为－3≤x≤－2或0≤x≤1或3≤x≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $$