2.2二次函数的图象与性质同步练2025—2026学年北师大版数学九年级下册

2.2二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y＝ax2的图象与性质 1.二次函数y＝x2的图象的开口方向是（　A　） A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.二次函数y＝x2的图象的顶点坐标是（　B　） A.（1，0） B.（0，0） C.（－1，0） D.（0，） 3.下列关于抛物线y＝－36x2的性质叙述错误的是（　C　） A.对称轴是y轴 B.顶点是原点 C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.y有最大值 4.对于函数y＝2x2，下列说法正确的是（　B　） A.当x＞0时，y随x的增大而减小 B.当x＜0时， y随x的增大而减小 C.y随x的增大而增大 D.y随x的增大而减小 5.已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（　D　） A.y1＜y2＜y3 B.y1＞y2＞y3 C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1 6.抛物线y＝－x2上有两点（x1，y1），（x2，y2），若x1＞x2＞0，则（　B　） A.0＜y1＜y2 B.y1＜y2＜0 C.y1＞y2＞0 D.y2＜y1＜0 7.对于二次函数：①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是（　A　） A.②＞③＞① B.②＞①＞③ C.③＞①＞② D.③＞②＞① 8.若二次函数y＝m的图象开口向下，则m的值为（　A 　） A.－3 B.3 C.－9 D.±3 9.在二次函数y＝x2的图象上，与点A（－5，25）关于y轴对称的点的坐标是　（5，25）　. 10.点A（2，4）在二次函数y＝x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B，C，D在二次函数y＝x2的图象上吗？ 11.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能是（　C 　） A B C D 12.已知y＝（k＋2）是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大. （1）k的值为　　　　；对称轴为　　　　. （2）点A在该二次函数的图象上，若点A的坐标为（2，m），则点A关于对称轴对称的点的坐标为　　　　　　. （3）请画出该函数图象，并根据图象写出当－1≤x＜3时，y的取值范围为　　　　　　. 13.如图，点P是抛物线y＝x2上的一动点，直线m∥x轴，与y轴交于点N（0，－1），过点P作PM⊥直线m于点M. （1）如图1，请探究在y轴上是否存在定点F，使PM＝PF恒成立，并说明理由； （2）如图2，若C点坐标为（2，4），求CP＋PF的最小值. 答案 1.A　2.B　3.C　4.B　5.D　6.B　7.A　8.A 　9.（5，25） 10.解：点A（2，4）在二次函数y＝x2的图象上.点B的坐标为（2，－4），点C的坐标为（－2，4），点D的坐标为（－2，－4）.点C在二次函数y＝x2的图象上，点B，D不在二次函数y＝x2的图象上. 11.C 12.解：（1）根据题意，得k＋2≠0且k2＋k－4＝2，解得k1＝－3，k2＝2， ∵二次函数当x＜0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k＋2＜0， ∴k＝－3， ∴二次函数为y＝－x2， ∴对称轴为y轴. 故答案为－3，y轴. （2）把A（2，m）代入y＝－x2，得m＝－4， ∴A（2，－4）. ∵对称轴为y轴， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为（－2，－4）. 故答案为（－2，－4）. （3）如图所示. 当x＝－1时，y＝－（－1）2＝－1， 当x＝3时，y＝－32＝－9， ∴当－1≤x＜3时，－9＜y≤0，故答案为－9＜y≤0. 13.解：（1）存在，理由如下：设P，F（0，b），由PM＝PF，易有a2＋1＝，即＝a2＋， ∴a2－a2b＋b2－1＝0， ∴a2（1－b）＋b2－1＝0，由题意，方程与a无关， ∴1－b＝0， ∴b＝1， ∴定点F的坐标为（0，1）. （2）过点C作CQ⊥直线m于点Q，此时CQ＝5，连接CM，CP＋PF＝CP＋PM≥CM≥CQ＝5，即当C，P，M三点共线时，CP＋PF＝CQ＝5最小. 第2课时　二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 1.下列函数中，图象形状、大小及开口方向相同的是（　B　） ①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3. A.①④ B.②⑤ C.②③⑤ D.①②⑤ 2. 已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（　C　） A.x＜2 B.x＞0 C.x＜0 D.x＞－2 3.关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法正确的是（　B　） A.它的图象的开口方向是向上的 B.当x＜－1时，y随x的增大而增大 C.它的图象的顶点坐标是（－2，3） D.当x＝0时，y有最小值3 4.抛物线y＝2x2－5的开口向　上　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，－5）　. 5.抛物线y＝x2－4的开口向　上　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，－4）　. 6.抛物线y＝ax2＋（a－2）的顶点在x轴的上方，则a的取值范围是　a＞2　. 7.抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为（0，1），则抛物线的表达式为　y＝－x2＋1　，当x　＞0　时，y随x的增大而减小. 8.将抛物线y＝3x2＋5向　下　平移　5　个单位长度，得到抛物线y＝3x2，将抛物线y＝－x2－1向下平移4个单位长度，得到的抛物线为　y＝－x2－5　. 9.如果将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度，那么所得图象的表达式为　y＝2x2＋1　. 10.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－1的图象. x … －4 －2 0 2 4 … y＝x2－1 … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出y＝x2－1的图象. 11.将抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后，它与x轴的两个交点之间的距离为（　B　） A.4 B.6 C.8 D.10 12. 如图，抛物线y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标； （2）CD⊥AC，CD＝AC，AD交抛物线于点P，求点P的坐标. 13.如图1，抛物线y＝ax2－1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且AB＝4OC. （1）求a的值； （2）在直线BC上方的抛物线上有一点P，使得点P到直线BC的距离为2，求P点的坐标； （3）如图2，过点O的直线交抛物线于点E，F（点F在点E的上方），以EF为斜边作Rt△EGF，且直角边与坐标轴平行，试求的值. 答案： 1.B　2.C　3.B　4.上　y轴　（0，－5）　5.上　y轴 （0，－4）　6.a＞2　7.y＝－x2＋1　＞0 8.下　5　y＝－x2－5　9.y＝2x2＋1 10.解：（1）当x＝－4时，y＝×（－4）2－1＝3； 当x＝－2时，y＝×（－2）2－1＝0； 当x＝0时，y＝×02－1＝－1； 当x＝2时，y＝×22－1＝0； 当x＝4时，y＝×42－1＝3. （2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图. 11.B 12.解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）；当y＝0时，－x2＋4＝0，解得x1＝2，x2＝－2， ∴A（－2，0），B（2，0）， ∴A（－2，0），B（2，0），C（0，4）. （2）过点D作DE⊥y轴，易得△AOC≌△CED ， ∴D（4，2），∵A（－2，0）， ∴直线AP的表达式为y＝x＋， 联立，得解得（舍）， ∴点P的坐标为. 13.解：（1）由题意得C（0，－1）， ∴OC＝1， ∴AB＝4OC＝4， ∴A（－2，0），B（2，0）.∴a＝. （2）延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE.过点B向上作BQ⊥BC，截取BQ＝2.过Q作QM⊥ x轴于点M，易得OC綊AE，BE＝2BC＝2＝BQ，AE⊥AB，AE＝2，△ABE≌△MQB，AB＝MQ＝4，AE＝BM＝2， ∴Q（0，4）.过Q作QP∥BC，交抛物线于点P，易得BC表达式为y＝x－1，PQ表达式为y＝x＋4，联立，得得P或. （3）作直线l：y＝－2，过点E作EM⊥l于点M，延长FG交直线l于点N，易得四边形EMNG是矩形，EM＝GN，FN－EM＝FG.设F，则FN＝＋1，OF＝＝＋1， ∴OF＝FN，同理OE＝EM.∴＝＝1. 第3课时　二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质 1.抛物线y＝－3（x＋1）2不经过的象限是（　A　） A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限 2. 二次函数y＝2（x＋1）2＋3的最小值是（　D　） A.－1 B.1 C.2 D.3 3.关于抛物线y＝3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　D　） A.开口方向向上 B.对称轴是直线x＝1 C.顶点坐标为（1，2） D.当x＞1时，y随x的增大而减小 4.把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　C　） A.y＝－2（x＋1）2＋2 B.y＝－2（x＋1）2－2 C.y＝－2（x－1）2＋2 D.y＝－2（x－1）2－2 5.将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　（1，2）　. 6.抛物线y＝（x－1）2＋c经过（－2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　D　） A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2 D.y1＞y3＞y2 7.在抛物线y＝－（x＋h）2＋k中，若当x＞1时，y随x的增大而减小，则h的范围是　h≥－1　；若当x＜－3时，y随x的增大而增大，则h的范围是　h≤3　. 8.抛物线y＝－（x＋2）2－6的开口　向下　，顶点坐标是　（－2，－6）　，对称轴是　直线x＝－2　，当x＜－2时，y随x的增大而增大，当　x＝－2　时，y有最　大　值，这个值是　－6　. 9.已知函数y＝－（x＋2）2－3. （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x取何值时该函数有最值，并求出最值. 10. 若抛物线y＝－（x＋1）2向右平移m个单位长度后经过点（2，－2），则m＝　1或5　. 11. 如图，抛物线C1：y＝（x＋1）2，将C1绕顶点P旋转180°得C2. （1）求C2的表达式； （2）直线x＝t交C1，C2于A，B两点，若△PAB为直角三角形，求t的值. 12.在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究. 把“T”形尺按图1摆放，水平宽AB的中点为C，图象的顶点为D，测得AB为m厘米时，CD为n厘米. 【猜想】 （1）探究小组先对y＝x2的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表： m 0 2 3 4 5 6 … n 0 1 2.25 4 6.25 9 … 描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点. 连线：用光滑的曲线顺次连接各点. 解：（1）描点、连线绘制函数图象如下： 猜想：n与m的关系式是　n＝m2　. 【验证】 （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数y＝a（x－h）2＋k（a＞0）的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程.（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案） □方法1 □方法2 如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则A'B'＝AB＝m，C'O＝CD＝n， C'B＝＝，所以点B'的坐标为　 　； 将点B'坐标代入y＝ax2， 得到n与m的关系式是　 　. 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B的坐标为　（h＋m，k＋n）　； 将点B坐标代入y＝a（x－h）2＋k， 得到n与m的关系式是　nam2　. 答案 1.A　2.D　3.D　4.C　5.（1，2）　6.D　7.h≥－1　h≤3 8.向下　（－2，－6）　直线x＝－2　x＝－2　大　－6 9.解：（1）∵a＝－1＜0， ∴抛物线开口向下. 顶点坐标为（－2，－3），对称轴为直线x＝－2. （2）∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值. ∵顶点坐标为（－2，－3）， ∴当x＝－2时，函数有最大值－3. 10.1或5 11.解：（1）易得C2表达式为y＝－（x＋1）2. （2）由题得A，B. 设直线AB交x轴于点E，AE＝PE，AE＝（t＋1）2，PE＝｜－1－t｜；①当t＜－1时，（t＋1）2＝－（t＋1），t1＝－1（舍），t2＝－3；②当t＞－1时，（t＋1）2＝t＋1，t1＝－1（舍），t2＝1.∴t＝1或t＝－3. 12.解：（1）描点、连线绘制函数图象如下： n＝m2　解析：由题意得，点B（m，n）， 将点B的坐标代入函数表达式得n＝（m）2＝m2. 故答案为n＝m2. （2）方法1：（m，n）　n＝am2 方法2：（h＋m，k＋n）　n＝am2 解析：点B（h＋m，k＋n），将点B的坐标代入抛物线表达式得k＋n＝a（h＋m－h）2＋k，解得n＝am2，故答案为（h＋m，k＋n），n＝am2. 第4课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 1. 将二次函数y＝x2－4x＋5化为y＝（x－h）2＋k的形式，结果为（　D　） A.y＝（x＋2）2＋2 B.y＝（x＋2）2＋1 C.y＝（x－2）2＋2 D.y＝（x－2）2＋1 2. 在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　A　） A.x＜1 B.x＞1 C.x＞－1 D.x＜－1 3.关于x的二次函数y＝x2－2mx＋m2－1（m＞1）的图象可能是（　C　） A B C D 4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为（－1，4），则下列说法正确的是（　D　） A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜－1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 5.抛物线y＝x2－2x－3的对称轴是　直线x＝1　，顶点坐标为　（1，－4）　. 6.抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为（1，－4）， 则b＝　－2　，c＝　－3　. 7.将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位长度后，经过点（－2，4），则6a－3b－7＝　2　. 8.求下列函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. （1）y＝x2－6x－3； （2）y＝－x2＋2x－1； （3）y＝－3x2－4x＋2； （4）y＝－2x2－7x＋1； （5）y＝2x2＋8x； （6）y＝－x2－2x＋3. 9.已知抛物线y＝x2＋（m－2）x的对称轴是直线x＝－1，求m的值以及顶点坐标. 10.已知二次函数y＝ax2－4ax＋4a＋1（a≠0），则此函数的顶点坐标是　（2，1）　. 11. 如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上一点，满足∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标. 12.如图，二次函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D（－2，－3）在抛物线上. （1）求A，B，C三点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点M，求出MA＋MD的最小值； （3）若抛物线上有一动点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标. 答案： 1.D　2.A　3.C　4.D　5.直线x＝1　（1，－4） 6.－2　－3　7.2 8.解：（1）开口向上，直线x＝3，顶点坐标为（3，－12）. （2）开口向下，直线x＝1，顶点坐标为（1，0）. （3）开口向下，直线x＝－，顶点坐标为. （4）开口向下，直线x＝－，顶点坐标为（－，）. （5）开口向上，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，－8）. （6）开口向下，直线x＝－2，顶点坐标为（－2，5）. 9.解：∵对称轴是直线x＝－1， ∴－＝－1，解得m＝4. 把x＝－1，m＝4代入y＝x2＋（m－2）x，得y＝－1. ∴该抛物线的顶点坐标是（－1，－1）. 10.（2，1） 11.解：设顶点为D，易得A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（2，－1），△CBO为等腰直角三角形，∠BCO＝45°.①当P在BC右边时，由∠PCB＝∠ACO有∠BCO＝∠PCA＝45°.过A作AQ⊥AC，交直线PC于点Q，过Q作QH⊥x轴于H，易得△ACO≌△QAH， ∴CO＝AH＝3，AO＝QH＝1， ∴Q（4，1），易得CQ为y＝－＋3，联立易得P（，）；②易得CD＝2，CQ＝2，BD＝，BQ＝， ∴CD＝CQ，BD＝BQ.∴△CBD≌△CBQ， ∴∠BCQ＝∠BCD＝∠ACO，即当P与顶点D（2，－1）重合时，∠PCB＝∠ACO，此时P（2，－1）.综上，P点坐标是（，）或（2，－1）. 12.解：（1）A（－3，0），B（1，0），C（0，－3）. （2）如图，∵抛物线对称轴为x＝－1，D（－2，－3），C（0，－3）， ∴C，D关于对称轴对称，连接AC，它与对称轴的交点就是点M，此时MA＋MD＝MA＋MC＝AC＝＝＝3. （3）设点P的坐标为（m，m2＋2m－3），∵△ABP的面积为6，AB＝4， ∴P点到AB的距离为3，故当P点纵坐标为3时，3＝m2＋2m－3，解得m＝－1±，此时符合题意的P点坐标为（－1＋，3），（－1－，3）；当P点纵坐标为－3时，－3＝x2＋2x－3，解得x＝0或x＝－2，此时符合题意的P点坐标为（0，－3），（－2，－3）.综上所述，符合题意的P点坐标为（－1＋，3），（－1－，3），（0，－3），（－2，－3）. 学科网（北京）股份有限公司 $$