精品解析：山东省临沂市蒙阴县第三中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度下学期阶段性单元检测九年级数学试卷 一、选择题（30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数，根据绝对值的定义可知，根据相反数的定义可知，的相反数是，所以可得的相反数是. 【详解】解：，的相反数是， 的相反数是． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第三象限内的点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点位于第三象限， 故选：C． 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 8. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9. 《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题 11. 因式分解：_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解. 【详解】解：原式. 12. 若，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，将所给等式的左边展开，然后与等式右边比较，可得含有m和n的等式，求出m、n的值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 14. 将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质-平移，根据一次函数平移的特点求解即可，掌握一次函数平移的特点是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为： ， 故答案为：． 15. 对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，利用新定义法则将待求项转化为一般的一元一次方程，再利用去括号、移项、系数化为1，即可求得x的值． 【详解】解：∵， ∴可化为：， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， 点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点P运动半圆所需（秒）， 第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2024秒时，点P的坐标是； 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2）证明：四边形为平行四边形 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 19. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）75；60 （2）米 （3）110米 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【小问1详解】 过点A作于点E， 由题意得： ∴ 【小问2详解】 由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． 【小问3详解】 作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 20. 如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）如图1，直线经过线段的中点，试说明直线是点，的一条等距线． （2）如图2，，，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线，使直线过点且直线是“，两点的等距线”． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是理解两点的等距线的定义． （1）分别作 ， 垂足为E， F， 利用证明 得到，即可证明直线是点A、B的一条等距线； （2）根据两点等距线的定义直接作出图形． 【小问1详解】 解：证明：分别作垂足为，， ， ∵是中点， ， 在和， ， ， ，即直线是点、的一条等距线； 【小问2详解】 解：如图， 直线就是所求的直线． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 22. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： （1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； （2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 【答案】（1）日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 （2）每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为（）代入数据，利用待定系数法即可求解； （2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设（） 将，代入， 得 解得， ∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元， （） ， 当时，W最大，最大值为225 答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元． 23. 已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期阶段性单元检测九年级数学试卷 一、选择题（30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 9. 《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 因式分解：_____． 12. 若，则的值是______． 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 14. 将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为________． 15. 对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则x的值为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是________． 三、解答题（72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 19. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 20. 如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． （1）如图1，直线经过线段的中点，试说明直线是点，的一条等距线． （2）如图2，，，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线，使直线过点且直线是“，两点的等距线”． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 22. 随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： （1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； （2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 23. 已知二次函数（a为常数，． （1）若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． （2）若，求证：当时，． （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $