16.1 分式及其基本性质 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固 一、分式有（无）意义的条件 1.当x＝－1时，下列分式中有意义的是（　　） A. B. C. D. 2.要使分式有意义，则x需满足的条件是（　　） A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x＞1 D.x＞﹣1 3.当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A. B. C. D. 4.使式子有意义的x的取值范围是　　　　　. 5.已知x≠﹣5时，分式有意义，则m＝　  　． 6.当x取什么值时，分式无意义、有意义？ 7.已知分式，各字母满足什么条件时，分式有意义？ 二、约分与最简分式 1.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 3.，则？等于（　　） A.x＋1 B.x﹣1 C.x＋2 D.x﹣2 4.写出一个你喜欢的最简分式，你写的分式是　      　． 5.从3x、5、x2﹣9、3﹣x这四个整式中，选取两个分别作分子、分母并组成分式，这样的最简分式共有 　      　个． 6.同学们，还记得卡牌系列游戏吗？如图所示： 游戏二： （1）从中选择两张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成一个“分式”，要求这个“分式”可以约分，并将其化为最简分式或整式； （2）从中选择四张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成两个“分式”，并将这两个“分式”通分． 7.问题：当a为何值时，分式无意义？ 小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3＝0，得a＝3，所以当a＝3时，分式无意义． 你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因． 三、分式的基本性质 1.若k，则k的值为（　　） A. B.﹣1 C.或﹣1 D.无法确定 2.对于下列说法，错误的个数是（　　） ①是分式； ②16a8﹣b2分解因式为（4a4＋b）（2a2＋b）（2a2﹣b）； ③当x＝3时，分式的值是零； ④a÷b×a÷1＝a； ⑤； ⑥． A.6 B.5 C.4 D.3 3.把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的 4.填写下列分式中的分子分母：； 在空格内填上适当的正、负号　　． 5.等式成立的条件是　　． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 四、通分 1.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 4.若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x＋y），则分式的分子应变为 　     　． 5.将分式通分，分母所乘的单项式依次为 　                       　． 6.甲完成一项工作需要（2a﹣6）天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分． 7.小强昨天做了一道分式题“对下列分式通分：”． 他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：＝x﹣3． ＝3（x＋1）． 五、分式值为零的条件 1.当a＝2时，其值为零的分式是（　　） A. B. C. D. 2.当分式的值为0时，x的值为（　　） A.0 B.3 C.﹣3 D.±3 3.若分式的值为0，则（　　） A.x＝﹣2 B.x＝0 C.x＝1 D.x＝1或﹣2 4.若代数式的值为0，则x＝　  　；当b＝　  　时，分式无意义． 5.请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2；（3）当x＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为　　． 6.当m、x、a取什么数时，下列分式有意义？当m、x、a取什么数时，分式的值为零？ （1）；（2）；（3）． 7.小刚同学编了下面这样一道题：对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，求的值．请你帮小刚同学求出答案． 六、最简公分母 1.分式、、的最简公分母是（　　） A.（x﹣1）2 B.（x﹣1）3 C.（x﹣1） D.（x﹣1）2（1﹣x）3 2.下列说法中，正确的是（　　） A.与的最简公分母是5a2 B.与的最简公分母是3ab C.与的最简公分母是6x D.与的最简公分母是3a2b3c 3.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 4.分式，，的最简公分母为         . 5.分式，，的最简公分母是             . 6.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 7.写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a． 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假巩固（参考答案） 一、分式有（无）意义的条件 1.当x＝－1时，下列分式中有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当x＝－1时，x＋1＝0，A不正确； 当x＝－1时，|x|－1＝0，B不正确； 当x＝－1时，x－1≠0，C正确； 当x＝－1时，x2－1＝0，D不正确. 故选：C． 2.要使分式有意义，则x需满足的条件是（　　） A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x＞1 D.x＞﹣1 【答案】B 【解析】由题意得：x2＋2x＋1≠0，∴（x＋1）2≠0，解得：x≠﹣1. 故选：B． 3.当x＝1时，下列分式无意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意； B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意； C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意； D、当x＝1时，x＋1≠0，分式有意义，不符合题意. 故选：C． 4.使式子有意义的x的取值范围是　　　　　. 【答案】x≠ 【解析】有意义的条件是2x－1≠0，即x≠. 5.已知x≠﹣5时，分式有意义，则m＝　  　． 【答案】﹣5 【解析】由题意得：x﹣m≠0，解得：x≠m， ∵x≠﹣5时，分式有意义，∴m＝﹣5. 6.当x取什么值时，分式无意义、有意义？ 【答案】解：当x﹣1＝0，即x＝1时，分式无意义； 当x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义． 7.已知分式，各字母满足什么条件时，分式有意义？ 【答案】解：由题意得：3a＋2b≠0，解得：a≠﹣b， 故当a≠﹣b时，分式有意义． 二、约分与最简分式 1.如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵＝x＋y，故选项A不符合题意； 的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意. 故选：C． 2.下列说法正确的是（　　） A.分式的值为零，则x的值为±1 B.根据分式的基本性质，等式 C.把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D.分式是最简分式 【答案】D 【解析】A、分式的值为零，则x的值为﹣1，选项错误，不符合题意； B、当x＝0时，没有意义，≠，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意. 故选：D． 3.，则？等于（　　） A.x＋1 B.x﹣1 C.x＋2 D.x﹣2 【答案】B 【解析】∵，∴？等于x﹣1. 故选：B． 4.写出一个你喜欢的最简分式，你写的分式是　      　． 【答案】 【解析】根据最简分式的定义如：． 5.从3x、5、x2﹣9、3﹣x这四个整式中，选取两个分别作分子、分母并组成分式，这样的最简分式共有 　      　个． 【答案】7 【解析】选取两个分别作分子、分母并组成分式，组成的最简分式有：，，，，，，，共7个． 6.同学们，还记得卡牌系列游戏吗？如图所示： 游戏二： （1）从中选择两张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成一个“分式”，要求这个“分式”可以约分，并将其化为最简分式或整式； （2）从中选择四张卡牌分别放在分子和分母的位置上，拼成两个“分式”，并将这两个“分式”通分． 【答案】解：（1）（答案不唯一）如：＝x＋2. （2）（答案不唯一）如：和， ， ． 7.问题：当a为何值时，分式无意义？ 小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3＝0，得a＝3，所以当a＝3时，分式无意义． 你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因． 【答案】解：不正确，理由如下： ∵a2﹣9＝0，即a＝±3时，分式无意义，∴小明的解答错误． 三、分式的基本性质 1.若k，则k的值为（　　） A. B.﹣1 C.或﹣1 D.无法确定 【答案】C 【解析】分为两种情况：①当a＋b＋c≠0时， ∵k，∴k，解得：k＝； ②当a＋b＋c＝0时，a＝﹣（b＋c）， ∵k，∴k﹣1， 即k＝或﹣1. 故选：C． 2.对于下列说法，错误的个数是（　　） ①是分式； ②16a8﹣b2分解因式为（4a4＋b）（2a2＋b）（2a2﹣b）； ③当x＝3时，分式的值是零； ④a÷b×a÷1＝a； ⑤； ⑥． A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【解析】分母中的π是常数，不是字母，不是分式，故①错误； 16a8﹣b2分解因式为16a8﹣b2＝（4a4＋b）（4a4﹣b），故②错误； 当x＝3时，分式有意义，且值是零，故③正确； a÷b×a×，故④错误； ，分子、分母同时乘以10，值不变，故⑤正确； ，故⑥错误，综上所述，错误的有①②④⑥. 故选：C． 3.把分式的a、b、c的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A.不变 B.变为原来的3倍 C.变为原来的 D.变为原来的 【答案】A 【解析】根据分式的基本性质，分式的分子扩大3倍，分母也扩大3倍，分式的值不变. 故选：A． 4.填写下列分式中的分子分母：； 在空格内填上适当的正、负号　　． 【答案】x3y＋x2y2 y ﹣ 【解析】， 将分式和分母同时变号，分式值不变；﹣． 5.等式成立的条件是　　． 【答案】x≠2且x≠3 【解析】等式成立的条件是：x≠2且x≠3． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 【答案】解：材料一：一个人实际才能为n，自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值，他自己对自己的估计越大，那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下，分母越大，分数值越小．人越高估自己，就是越自负，即使才能再高，也会因为分母大而使自己的总体分数下降． 简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高，就越容易产生自满的心理，就越不容易取得进步，做出成绩． 材料二：人数变少了，减少了得分中较小的数字，但平均分增大了． 7.已知a，b，c，d都不等于0，并且，根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则，探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． （1）和；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）． （提示：可以先用具体数字试验，再对发现的规律进行证明．） 【答案】解：例如：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6，有， 则（1）； （2）； （3）， 观察发现各组中的两个分式相等． 现选择第（2）组进行说明证明． 已知a，b，c，d都不等于0，并且，所以有：11，所以有：． 四、通分 1.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两分式的最简公分母为3a2b2， A、通分后分母不相同，不符合题意； B、符合题意； C、通分后分母不相同，不符合题意； D、通分后分母不相同，不符合题意. 故选：B． 2.分式通分的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】的最简公分母为12a2b2c， ∴分式通分的结果为． 故选：A． 3.把通分过程中，不正确的是（　　） A.最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2 B. C. D. 【答案】D 【解析】A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x＋3）2，正确； B、通分正确； C、通分正确； D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4. 故选：D． 4.若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x＋y），则分式的分子应变为 　     　． 【答案】6x2 【解析】因为分与分式的公分母是2（x＋y）（x﹣y）， 所以分式的分母变为2（x﹣y）（x＋y），则分式的分子应变为3x2×2＝6x2． 5.将分式通分，分母所乘的单项式依次为 　                       　． 【答案】6y2，4x，3y 【解析】分式最简公分母为12xy2，∴各分母所乘单项式依次为6y2，4x，3y． 6.甲完成一项工作需要（2a﹣6）天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分． 【答案】解：甲队每天完成的工作量为 乙队每天完成的工作量． 7.小强昨天做了一道分式题“对下列分式通分：”． 他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：＝x﹣3． ＝3（x＋1）． 【答案】解：＝x﹣3，不能进行去分母， ＝3（x＋1），不能进行去分母， 改正如下： ， ． 五、分式值为零的条件 1.当a＝2时，其值为零的分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A. a＝2分式无意义，故A错误； B. a＝2，分式的值为零，故B正确； C. a＝2分式无意义，故C错误； D. a＝2分式的值不为零，故D错误. 故选：B． 2.当分式的值为0时，x的值为（　　） A.0 B.3 C.﹣3 D.±3 【答案】B 【解析】，解得，x＝3. 故选：B． 3.若分式的值为0，则（　　） A.x＝﹣2 B.x＝0 C.x＝1 D.x＝1或﹣2 【答案】C 【解析】∵分式的值为0，∴，解得x＝1． 故选：C． 4.若代数式的值为0，则x＝　  　；当b＝　  　时，分式无意义． 【答案】﹣2 ﹣4 【解析】∵代数式的值为0，∴，解得：x＝﹣2， 要使分式无意义，则分母为0，即4＋b＝0，∴b＝﹣4． 5.请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2；（3）当x＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为　　． 【答案】 【解析】（1）分式的分子不等于零； （2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2，即当x＝2时，分式的分母等于零； （3）当x＝0时，分式的值为﹣1，即把x＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数． 所以满足条件的分式可以是：. 6.当m、x、a取什么数时，下列分式有意义？当m、x、a取什么数时，分式的值为零？ （1）；（2）；（3）． 【答案】解：（1）当m2≠0，即m≠0时，分式有意义； 当，即m＝2时，分式值为0. （2）当x2＋3≠0，即x2≠﹣3时，分式有意义，但x2≥0，不可能等于﹣3，所以对于任意x，分式都有意义； 当4x＝0即x＝0时，分式值为0. （3）当a﹣2≠0，即a≠2时，分式有意义； 当2a﹣4＝0，即a＝2时，但a＝2时分式无意义，故无论什么时候，原分式值不可能为0. 7.小刚同学编了下面这样一道题：对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0，求的值．请你帮小刚同学求出答案． 【答案】解：∵对于分式，当x＝﹣1时，分式无意义， ∴﹣3＋b＝0，解得b＝3； ∵当x＝4时，分式的值为0，∴8﹣a＝0，解得a＝8， ∴＝． 六、最简公分母 1.分式、、的最简公分母是（　　） A.（x﹣1）2 B.（x﹣1）3 C.（x﹣1） D.（x﹣1）2（1﹣x）3 【答案】B 【解析】可以化为， ∴分式、、的最简公分母是（x﹣1）3． 故选：B． 2.下列说法中，正确的是（　　） A.与的最简公分母是5a2 B.与的最简公分母是3ab C.与的最简公分母是6x D.与的最简公分母是3a2b3c 【答案】D 【解析】A. 与的最简公分母是6a2，故本选项错误； B. 与的最简公分母是3a2b2，故本选项错误； C．与的最简公分母是6x2，故本选项错误； D．与的最简公分母是3a2b3c，故本选项正确. 故选：D. 3.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 【答案】B 【解析】分式的分母分别是（a﹣2b）2、（a﹣2b）、（a＋2b）， 所以其最简公分母是（a﹣2b）2（a＋2b）． 故选：B． 4.分式，，的最简公分母为         . 【答案】36m2n（m＋n）（m－n）2 【解析】分式，，的分母分别是36m2n，4mn（m－n）2，6mn（m＋n）（m－n）， 故最简公分母是36m2n（m＋n）（m－n）2. 5.分式，，的最简公分母是             . 【答案】24a3b2c3 【解析】3，2，8的最小公倍数为24， a2b，ab2，a3bc3的最小公倍数为a3b2c3， ∴分式的最简公分母为24a3b2c3. 6.（1）通分：①； ②； ③． （2）3，2，5的最小公倍数是　  　，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为　    　． （3）分母若是多项式，先　      　，再　     　． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是　                  　，分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是　                      　． 【答案】解：（1）①； 由题意可得：最简公分母为：30a2b3c2， 则. ② 由题意可得：最简公分母为：3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 则， ， . ③， 由题意可得：最简公分母为：a（a﹣b）（a＋b）， 则， . （2）3，2，5的最小公倍数是30，（1）中各分母相同字母的最高次幂的积为a2b3c2． （3）分母若是多项式，先分解因式，再通分． （4）分母9﹣3a，a2﹣3﹣2a，a2﹣5a＋6的最简公分母是3（a﹣3）（a﹣2）（a＋1）， 分母a2﹣ab，a2＋ab的最简公分母是a（a﹣b）（a＋b）． 7.写出两个分式，使得它们的最简公分母为6a2b，且其中一个分式的分母不含字母a． 【答案】解：根据题意，两个分式可以为：和．本题答案不唯一． 学科网（北京）股份有限公司 $$