16.1 分式及其基本性质 暑假题型专练2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假题型专练 一、分式有（无）意义的条件 1.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A.﹣3 B. C. D.3 2.使分式有意义的条件是（　　） A.x≠0 B.x≠－2 C.x≠2 D.x可取任意实数 3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 4.当x＝________时，分式没有意义． 5.若＝﹣1，则x的取值范围是　　． 6.当x为何值时，分式有意义？ 7.x取何值时，下列分式有意义： （1）； （2）； （3）． 二、分式值为零的条件 1.对于分式，下列说法正确的是（　　） A.当x＝0时分式无意义 B.当x＝±2时分式有意义 C.当x＝±2时分式值为0 D.当x＝﹣2时原分式值为0 2.如果分式的值为零，那么x等于（　　） A.1 B.﹣1 C.0 D.±1 3.若分式的值为零，则x的值为（ ） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 4.当x＝　  　时，分式的值为零． 5.若＝0，则ab的平方根为________． 6.已知分式，求满足下列条件的x的值： （1）分式无意义； （2）分式有意义； （3）分式的值为零． 7.x取何值时，分式. （1）无意义； （2）值为零． 三、分式的基本性质 1.下列各式错误的有（　　） ①；②；③；④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 3.已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　） A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为﹣1 4.使从左到右仍成立的条件是               ． 5.若，则　　；若，则　　． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 7.已知分式A． （1）当a＞2时，把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B，分式B的值较原来的分式A的值是变大了还是变小了，试说明理由； （2）若A的值是整数，且a也是整数，求出符合条件的所有a的值． 四、约分与最简分式 1.若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A.2x B.x C.4x﹣x2 D.x2 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 3.，则？等于（　　） A.x＋1 B.x﹣1 C.x＋2 D.x﹣2 4.写出一个你喜欢的最简分式，你写的分式是　      　． 5.下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”． ①　  　（ ）；②　  　（ ）；③　  　（ ）；④　  　（ ）；⑤　  　（ ）． 6.阅读理解“约去”指数：如，，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝　　.（供参考：x3＋y3＝（x＋y）（x2﹣xy＋y2）） （1）完成猜想＝　　． （2）试证明此猜想的正确性． 7.先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 五、最简公分母 1.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 2.下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.与的最简公分母是6x B.与最简公分母是3a2b3c C.与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D.与的最简公分母是m2﹣n2 3.下列三个分式、、的最简公分母是（　　） A.4（m﹣n）x B.2（m﹣n）x2 C. D.4（m﹣n）x2 4.对分式，和的最简公分母为　       　． 5.分式、、的最简公分母为                . 6.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题．中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数的最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术．术曰：“置全步及分母子，以最小分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法、置所求步数．以全步积分乘之为实，实如法而一，得从步，”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分：再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数，其实，我们还可以用“少广术”，求一组分式的最简公分母． 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，；第二步：xy2，，3；第三步：x2y2，2y，3x． 所以，与的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求的最简公分母； （2）求的最简公分母． 7.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 2.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 3.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4.通分要先确定 　     　，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的_____________与字母因式的 　     　的积作公分母，这样的公分母叫作 　      　． 5.根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为 　       　，这一过程称为分式的通分．通分的根据是 　                　，通分后的分式与原来的分式相等，通分一般要伴随着对分母的因式分解． 6.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 7.通分：（n≠0）；（x≠﹣5） 华东师大版八年级下册 16.1 分式及其基本性质 暑假题型专练（参考答案） 一、分式有（无）意义的条件 1.当x＝3时，分式没有意义，则b的值为（　　） A.﹣3 B. C. D.3 【答案】B 【解析】∵当x＝3时，分式没有意义，∴x＝3时，x＋2b＝0，∴b＝﹣． 故选：B． 2.使分式有意义的条件是（　　） A.x≠0 B.x≠－2 C.x≠2 D.x可取任意实数 【答案】B 【解析】依题意得：x＋2≠0，解得x≠－2． 故选：B． 3.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、x＝0时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误； B、x＝0时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误； C、∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴x为任意实数，分式一定有意义，故本选项正确； D、x＝±2时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误． 故选：C． 4.当x＝________时，分式没有意义． 【答案】±1 【解析】当x＝±1时，分式没有意义． 5.若＝﹣1，则x的取值范围是　　． 【答案】x<1 【解析】由题意得x﹣1≤0且x﹣1≠0，即x≤1，且x≠1，所以x＜1． 6.当x为何值时，分式有意义？ 【答案】解：由分式有意义可得：1≠0且1＋x≠0， 因为＞0，故1＞0，只需要满足1＋x≠0即可，所以求得x≠﹣1， 即当x≠﹣1时，该分式有意义． 7.x取何值时，下列分式有意义： （1）； （2）； （3）． 【答案】解：（1）要使有意义，得2x﹣3≠0． 解得x≠， 当x≠时，有意义. （2）要使有意义，得|x|﹣12≠0． 解得x≠±12， 当x≠±12时，有意义. （3）要使有意义，得x2＋1≠0． x为任意实数，有意义． 二、分式值为零的条件 1.对于分式，下列说法正确的是（　　） A.当x＝0时分式无意义 B.当x＝±2时分式有意义 C.当x＝±2时分式值为0 D.当x＝﹣2时原分式值为0 【答案】D 【解析】∵对于分式， 当x﹣2＝0，即x＝2时无意义， 当x﹣2≠0，即x≠2是有意义， 当|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，即x＝﹣2时值为零． 故选：D． 2.如果分式的值为零，那么x等于（　　） A.1 B.﹣1 C.0 D.±1 【答案】B 【解析】∵分式的值为零，∴，解得x＝﹣1． 故选：B． 3.若分式的值为零，则x的值为（ ） A.0 B.1 C.﹣1 D.±1 【答案】C 【解析】由x2﹣1＝0，得x＝±1． 当x＝1时，x﹣1＝0，故x＝1不合题意； 当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以x＝﹣1时分式的值为0． 故选：C． 4.当x＝　  　时，分式的值为零． 【答案】﹣1 【解析】由分式的值为零的条件得|x|﹣1＝0，x﹣1≠0，解得x＝﹣1． 5.若＝0，则ab的平方根为________． 【答案】± 【解析】由题可得，|16﹣a2|＋＝0，且a＋4≠0， 即16﹣a2＝0，a＋4b＝0，a≠﹣4，解得a＝4，b＝﹣1， ∴ab＝，∴ab的平方根为±． 6.已知分式，求满足下列条件的x的值： （1）分式无意义； （2）分式有意义； （3）分式的值为零． 【答案】解：（1）当分母（x﹣2）（x＋3）＝0时，x2＋x﹣6＝0， 即x＝2或x＝﹣3时，分式无意义. （2）当分母（x﹣2）（x＋3）≠0时，x2＋x﹣6≠0， 即x≠2且x≠﹣3时，分式有意义. （3）当分子x﹣5＝0时，即x＝5时，分式的值为零． 7.x取何值时，分式. （1）无意义； （2）值为零． 【答案】解：（1）∵分式无意义， ∴（x﹣3）（x＋1）＝0，解得x＝3或x＝﹣1. （2）∵分式的值为0，∴，解得x＝1． 三、分式的基本性质 1.下列各式错误的有（　　） ①；②；③；④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】①改变了分子、分母和本身的符号，错误； ②改变了分子的符号，错误； ③改变了分子和分母中一个字母的符号，错误； ④改变了分数本身和分母中一个字母的符号，错误． 故选：D． 2.若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍， A.＝＝； B.≠； C.； D.. 故选：A． 3.已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　） A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.乘积为﹣1 【答案】B 【解析】根据题意：用x、y的相反数代入这个分式b﹣a， 所以a、b关系是互为相反数. 故选：B． 4.使从左到右仍成立的条件是               ． 【答案】x≠3且x≠0 【解析】从左到右仍成立的条件是：x≠3且x≠0． 5.若，则　　；若，则　　． 【答案】 【解析】可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：； 由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以． 6.材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的“一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估计好比分母．分母越大，则分数的值越小．” 材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的张凯同学失学了．班长说：“唉，分母变小了，分数值增大了”． 请你针对上述两个材料就“分子与分母”这个话题，结合你身边的实例，谈谈你对分母变大，分数值变小的理解． 【答案】解：材料一：一个人实际才能为n，自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值，他自己对自己的估计越大，那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下，分母越大，分数值越小．人越高估自己，就是越自负，即使才能再高，也会因为分母大而使自己的总体分数下降． 简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高，就越容易产生自满的心理，就越不容易取得进步，做出成绩． 材料二：人数变少了，减少了得分中较小的数字，但平均分增大了． 7.已知分式A． （1）当a＞2时，把分式A的分子、分母同时加上3后得到分式B，分式B的值较原来的分式A的值是变大了还是变小了，试说明理由； （2）若A的值是整数，且a也是整数，求出符合条件的所有a的值． 【答案】解：（1）A，A的分子与分母同时加上3后得到分式B， ∴B， ∴A－B， ∵a＞2， ∴a﹣2＞0，a＋1＞0， ∴A﹣B＞0， ∴A＞B． 答：分式B的值较原来分式A的值是变小了. （2）A＝1是整数，a也是整数， 所以a﹣2是4的因数， 所以a﹣2＝±1，±2，±4， ∴a＝3，1，4，0，6，﹣2， 所以所有符合条件的a的值为3，1，4，0，6，﹣2． 四、约分与最简分式 1.若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A.2x B.x C.4x﹣x2 D.x2 【答案】B 【解析】A、原式＝﹣2，不符合题意； B、原式＝，符合题意； C、原式＝＝x﹣2，不符合题意； D、原式＝＝﹣＝﹣（x＋2）＝﹣x﹣2，不符合题意． 故选：B． 2.下面是马小虎的答卷，他的得分应是（　　） A.40分 B.60分 C.80分 D.100分 【答案】B 【解析】（1）代数式和的分母中都含有字母，都是分式，正确； （2）当x＝﹣1时，分式无意义，错误； （3）是最简分式，正确； （4）当x＝2时，分式的值为0，错误； （5），分式的值是原来的2倍，正确，所以他的得分是60分． 故选：B． 3.，则？等于（　　） A.x＋1 B.x﹣1 C.x＋2 D.x﹣2 【答案】B 【解析】∵，∴？等于x﹣1. 故选：B． 4.写出一个你喜欢的最简分式，你写的分式是　      　． 【答案】 【解析】根据最简分式的定义如：． 5.下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”． ①　  　（ ）；②　  　（ ）；③　  　（ ）；④　  　（ ）；⑤　  　（ ）． 【答案】；√；；﹣1；√ 【解析】①； ②是最简分式； ③； ④＝﹣1； ⑤是最简分式. 6.阅读理解“约去”指数：如，，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：＝　　.（供参考：x3＋y3＝（x＋y）（x2﹣xy＋y2）） （1）完成猜想＝　　． （2）试证明此猜想的正确性． 【答案】解：（1）. （2）证明： ＝ ＝ ＝ ＝． 7.先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 【答案】解：， 当x＝2时，原式＝＝3， 当x＝4时，原式＝＝1， ∴当x＝2或4时，分式的值是正整数． 五、最简公分母 1.分式的最简公分母是（　　） A.（a2﹣4ab＋4b2）（a﹣2b）（a＋2b） B.（a﹣2b）2（a＋2b） C.（a﹣2b）2（a2﹣4b2） D.（a﹣2b）2（a＋2b）2 【答案】B 【解析】分式的分母分别是（a﹣2b）2、（a﹣2b）、（a＋2b）， 所以其最简公分母是（a﹣2b）2（a＋2b）． 故选：B． 2.下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（　　） A.与的最简公分母是6x B.与最简公分母是3a2b3c C.与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） D.与的最简公分母是m2﹣n2 【答案】C 【解析】A、与的最简公分母是6x，此选项正确； B、与最简公分母是3a2b3c，此选项正确； C、与的最简公分母是ab（x﹣y）或ab（y﹣x），此选项错误； D、与的最简公分母是m2﹣n2，此选项正确. 故选：C． 3.下列三个分式、、的最简公分母是（　　） A.4（m﹣n）x B.2（m﹣n）x2 C. D.4（m﹣n）x2 【答案】D 【解析】分式、、分母分别是2x2、4（m﹣n）、x， 故最简公分母是4（m﹣n）x2． 故选：D． 4.对分式，和的最简公分母为　       　． 【答案】12a3b3c3 【解析】2a2bc3、3ab3、4a3bc中，2、3、4的最小公倍数为12， 字母a、b、c的最高次幂均为3，所以它们的最简公分母为：12a3b3c3. 5.分式、、的最简公分母为                . 【答案】－3x（x－2）2（x＋2） 【解析】∵x2－4＝（x＋2）（x－2），6x－3x2＝3x（2－x）＝－6x（x－2），（x－2）2， ∴系数为：1、3的最小公倍数3， 字母为分母各因式的最高次幂的乘积为：x（x－2）2（x＋2）， ∴各项的最简公分母为：－3x（x－2）2（x＋2）. 6.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题．中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数的最小公倍数的一种方法﹣﹣少广术．术曰：“置全步及分母子，以最小分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法、置所求步数．以全步积分乘之为实，实如法而一，得从步，”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分：再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数，其实，我们还可以用“少广术”，求一组分式的最简公分母． 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，；第二步：xy2，，3；第三步：x2y2，2y，3x． 所以，与的最简公分母是x2y2． 请用以上方法解决下列问题： （1）求的最简公分母； （2）求的最简公分母． 【答案】解：（1）第一步：1，； 第二步：ac，，b； 第三步：abc，c2，a2，b2． 所以，求的最简公分母是abc. （2）第一步：1，； 第二步：4x3z2，，5； 第三步：12x3y2z2，，2x2z2，15y2 第四步，12x3y2z3，18xy，2x2z3，15y2z， 所以，的最简公分母是12x3y2z3． 7.已知分式，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且＝3，试求这两个分式的值． 【答案】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x＋1）（x﹣1）， ∴＝3（x＋1）＝3，即x＝0， 则＝﹣，＝＝﹣2． 六、通分 1.对分式通分以后的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分式的最简公分母是（a＋b）（a﹣b）， 所以通分以后的结果是． 故选：B． 2.把通分后，各分式的分子之和为（　　） A.2a2＋7a＋11 B.a2＋8a＋10 C.2a2＋4a＋4 D.4a2＋11a＋13 【答案】A 【解析】 ， ， 所以把通分后， 各分式的分子之和为﹣（a＋1）2＋6（a＋2）＋3a（a＋1）＝2a2＋7a＋11. 故选：A． 3.把通分，下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两分式的最简公分母为3a2b2， A、通分后分母不相同，不符合题意； B、符合题意； C、通分后分母不相同，不符合题意； D、通分后分母不相同，不符合题意. 故选：B． 4.通分要先确定 　     　，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的_____________与字母因式的 　     　的积作公分母，这样的公分母叫作 　      　． 【答案】最简公分母 最小公倍数 最高次幂 通分 【解析】通分要先确定最简公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作通分． 5.根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为 　       　，这一过程称为分式的通分．通分的根据是 　                　，通分后的分式与原来的分式相等，通分一般要伴随着对分母的因式分解． 【答案】与原来的分式相等的同分母的分式 分式的基本性质 【解析】根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分的根据是分式的基本性质，通分后的分式与原来的分式相等，通分一般要伴随着对分母的因式分解， 6.阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）；（2）和；（3）和（a≠b，c≠d）. “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：a＝2，b＝3，c＝4，d＝6．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时． 猜想：若则． 证明：∵∴（依据1），∴. （2）计算：当a＝2，b＝3，c＝4，d＝6时. 猜想：若则； 证明：方法一：∵∴（依据2），∴. 方法二（作差法）：∵∴ad＝bc， ∴（依据3） ＝， ∴. 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据1：　        　；依据2：　          　；依据3：　           　； 任务二：请你对材料中的（3）和（a≠b，c≠d）进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　， ②计算：＝　  　＝　 　； ③猜想：若____________，则_____________； ④证明： 【答案】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质2） 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.（或等式的性质1） 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质） 任务二：①a＝2，b＝5，c＝4，d＝10；（答案不唯一）． ②计算：，；（答案不唯一）． ③猜想：若则． ④证明：∵ ∴ad＝bc， ∵ ＝ ＝ ∴． 7.通分：（n≠0）；（x≠﹣5） 【答案】解：将的分子分母同时乘以x得到：． 将的分子分母同时乘以n（n≠0）得到：. 将的分子分母同时乘以（x＋5）得到：． 学科网（北京）股份有限公司 $$