1.2.1空间中的点、直线与空间向量 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 一、单选题 1．若直线l1和l2的方向向量分别是，， 则（    ） A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合 2．已知直线的方向向量为，若直线，则直线的一个方向向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和与底面所成角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 5．已知点，，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B．，则四点共面 C．四边形是矩形 D．若与分别是异面直线与的方向向量，则与所成角的余弦值为 7．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，=λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则异面直线A1F与BE所成角θ的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 9．已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论： ①在M，N两点的运动过程中，⊥平面； ②在平面上存在一点P，使得平面； ③三棱锥的体积为定值； ④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④ 二、多选题 11．如图，在正方体中，E为棱上不与，C重合的任意一点，则能作为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 14．如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C． D．RS与所成角为 三、解答题 15．如图所示，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M． (1)求证：AO、BO、CO两两垂直； (2)求异面直线DM与AO所成角的大小． 16．在正方体中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．D 解析因为，， 所以， 所以l1与l2平行或重合. 故选：D. 2．A 解析设直线的方向向量为，因为直线， 所以，即， 结合选项可知直线的一个方向向量的坐标是. 故选：A. 3．A 解析由题意，得,设，则， 以为原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 则有， 所以，， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：A.    4．C 解析以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 5．C 解析，. 设点，则，又， ， 解得，∴点C的坐标为. 故选：C. 6．B 解析对于A选项，，则有， 又，则为钝角，为等腰三角形，A错误； 对于B选项，若要四点共面，则存在，使得成立，且，又，， 则，解得，， 为的中点，则四点共面，B正确． 对于C选项，， ，，所以四边形是平行四边形． ，与不垂直． 四边形不是矩形，C不正确； 对于D选项，， 异面直线与所成角的余弦值为，故D不正确． 故选：B 7．C 解析解法一：    如图1，取中点，连接，为的中点，连接， 易知底面， 因为平面，所以平面底面. 又平面底面，， 所以平面. 因为平面，所以. 同理可得，. 设底面半径为，，. 因为分别为的中点，所以， 则在中，或其补角等于异面直线和所成的角. 所以. 解法二： 如图2，为的中点，连接， 易知底面， 因为平面，所以平面底面. 又平面底面，， 所以平面.    以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 所以，， 记所求角为，则. 故选：C. 8．B 解析如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）. 所以， 又 所以，整理得到，解得（舍去）, 所以，, 所以，故cos θ=， 故选：B. 9．C 解析记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 10．D 解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图1，对于①，当点移动到点时，此时， 则， 因为， 所以与不垂直，所以①错误； 对于②，平面与平面为同一个平面，而， 所以当点在上时，总有平面，从而有平面，所以②正确； 如图3，连接，交于点O，则⊥，故为三角形的高，且， 所以， 又⊥平面， 故，所以③正确； ， 以点D为球心作半径为的球面， 球面被正方体表面所截得的弧为以为圆心，个半径为的圆弧， 弧长和为，所以④正确， 故选：D． 11．ABD 解析因为，所以，，都可作为直线的方向向量. 故选：ABD. 12．ACD 解析由题意得：四面体为正四面体， 故， 故，A正确； 因为分别是的中点， 所以，，且，， 故，B错误； ，C正确； 取的中点，连接， 因为均为等边三角形， 所以⊥，且⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，⊥， 故，D正确. 故选：ACD 13．ABC 解析设，如图， 则，， 故， 对于A，， ，A正确； 对于B，连接，设，连接， 则由平行六面体可知，,， ∴四边形是平行四边形， 所以，∵平面，平面， ∴平面，故B正确﹔ 对于C， ， 故 ，C正确； 对于D，， 故 故不垂直，故D错误， 故选：． 14．AC 解析以D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 设正方体的棱长为2， 则， 因为分别为棱、的中点， 所以， 对于A，因为，所以， 所以，所以四点共面，正确； 对于B，因为，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，错误； 对于C，因为，所以， 所以，即，正确； 对于D，因为， 所以，， 所以， 设RS与所成角为，，则，所以， 即与所成角为，错误. 故选：AC 15．(1)证明见解析 (2) 解析（1） 如图，设，，，连接,延长交于点, 依题意，点为的中心，点为的中点，则, 不妨令正四面体的棱长为1，则有，． 因,则 ，即得， 则 同理可得，， 所以 ． ，即．同理，． 所以AO、BO、CO两两垂直． （2） 因， 故， ， 又． 所以． 故异面直线DM与AO所成角的大小为． 16．存在 解析解：以D为原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.    则 所以. 假设满足条件的M，N存在，而且，， 则. 因为，所以， 从而， 解得，. 因此，满足条件的M，N是存在的. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$