1.3.1 用平方差公式分解因式 同步练习2025-2026学年湘教版数学八年级上册

1.3.1 用平方差公式分解因式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列因式分解中正确的个数为（   ） ①；②；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 3．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．若x，y满足，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 7．可以被和之间某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．两个三位数相乘，百位数字都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于，则下列选项中乘积最小的是（   ） A． B． C． D． 9．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 二、填空题 11．因式分解： ． 12．把多项式分解因式的结果是 ． 13．若，且，则的值为 ． 14．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 15．已知，均为正整数，且，．若，则的值为 ． 16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时， ； （2）不超过1010的所有“和谐数”之和为 ． 三、解答题 17．因式分解： (1) (2) 18．若多项式（其中，且为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则的值可能有几种． 19．在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解；②求的最值．”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程： 小明的解答： 小丽的解答： 无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为 (1)根据小明的解答，将因式分解； (2)根据小丽的解答，求代数式的最小值． 20．整式、、、如表所示． 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)化简整式，当，时，求和的值． 21．通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 22．观察下列各式：；；，不难发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的__________倍； (2)设偶数为，请证明：比大5的数与的平方差能被5整除． 23．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 练习第1页，共3页 练习第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D C B A D A C 1．B 【分析】本题主要考查了因式分解的相关知识，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．对每个式子进行因式分解，然后判断其正确性． 【详解】解：① 原式子变形错误． ② 该式子正确． ③ 该式子正确． 综上，正确的式子有②和③，共个． 故选：B． 2．D 【分析】根据因式分解的方法，判断即可． 本题考查了因式分解，正确进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵，因式分解正确， ∴A不合题意， ∵，因式分解正确， ∴B不合题意， ∵，因式分解正确， ∴C不合题意， ∵， ∴D选项因式分解错误，符合题意， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，熟练掌握平方差公式和整体代入法是解题的关键．将两个等式相减，整理得到，结合，得到，再利用整体法代入求值即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 7．A 【分析】本题考查因式分解的应用，先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．解题的关键是熟练运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， ∴这两个数是和． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了运用平方差公式进行简便计算，解决本题的关键是把两个数的乘积都写成平方差的形式，根据当被减数相同时，减数越大差越小判断即可． 【详解】解：A、， B、， C、， D、， ， ， 乘积最小的是． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：爱，我，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：A． 10．C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了用提公因式法因式分解，平方差公式，根据多项式的特点选择适合的因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解，先根据完全平方公式得出，根据题意得出，进而根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，代数式求值，由题意得，则有，然后通过的正整数因数对为和，列出方程组，然后解方程组，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的正整数因数对为：和， ∴或， 解得：或， 综上所述，或， 故答案为：或． 16． 14 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，正确理解“和谐数”的定义是解题的关键． （1）由题意可得，再由“和谐数”的定义得到，据此可得答案； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数），则可得，则“和谐数”一定是4的奇数倍，进而可得到不超过1010的所有“和谐数”一共有个，据此求和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：14； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数）， ∴ ， ∵k为自然数， ∴一定时大于0的奇数， ∴“和谐数”一定是4的奇数倍， ∵， ∴不超过1010的所有“和谐数”一共有个， ∴不超过1010的所有“和谐数”之和为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式 3 ，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．a的值可能有3种 【分析】本题考查了公式法分解因式．根据平方差公式的公式结构求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，多项式不能利用平方差公式进行因式分解， 所以a的值可能有3种． 19．(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）仿照小明的解答把原式化为：，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照小丽的思考把原式化为，再利用偶次方的非负性解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵无论a为何值， ∴ 即， 则的最小值为. 20．(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解、整式的除法、二元一次方程组，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用平方差公式分解因式即可得； （2）根据（1）的结果，计算整式的除法即可得；然后利用平方差公式和提取公因式法分解，最后根据建立关于的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）解：由表可知， ． （2）解：由表可知，，，，， ∴ ， ， ∵， ∴，， ∴， 即， 联立， 解得． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 因为， 所以； （3）解： 22．(1) (2)见详解 【分析】本题考查了规律探究，找出规律是解题的关键． （1）由已知式子得，即可求解； （2）由题意得 ，即可得证． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为：； （2）证明： ， 能被5整除， 能被5整除， 故：比大5的数与的平方差能被5整除． 23．(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$