精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级下学期数学月考试题（2025.03） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，已知直线，直线分别交，，于点A、B、C，过点B的直线分别交，于点D，E．如果，，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 525 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 5. 若关于x一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是( ) A. B. C. D. 9. 如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，点、在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：；；；．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 12. 若，则___________． 13. 一个等腰三角形的三边均满足方程x2 -9x+18=0，那么这个三角形的周长为______． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________． 15. 若，则____． 16. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 17. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当____时，与相似． 18. 关于的方程有实数根，则m的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求解方程 （1）．（配方法） （2） （3） （4） 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 21. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22. 学校打算用长米的篱笆围城一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为米的墙上（如图）． （1）若生物园的面积为平方米，求生物园的长和宽； （2）能否围城面积为平方米生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由． 23. 如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点． 求证：． 24. 如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°． （1）若将△DEP顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP； （2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期数学月考试题（2025.03） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 2. 如图，已知直线，直线分别交，，于点A、B、C，过点B的直线分别交，于点D，E．如果，，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得，再代入数据进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴， 故选：D． 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解． 【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75， 当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据得出，即可作答． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该款燃油汽车今年4月份的售价该款燃油汽车今年2月份的售价（该款汽车这两个月售价的月平均降价率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 7. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8. 如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是( ) A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应边成比例，根据相似矩形得到，推出，由此得到答案，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵对折后的矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，中，，点、在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：；；；．其中正确个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，并灵活运用等量代换求出角相等是解本题的关键． ①利用等边三角形“三个角相等”性质即可得出； ②利用，等量代换即可得出； ③利用“两组角对应相等”得出，进而推出结论； ④利用“两组角对应相等”得出，进而推出结论． 【详解】是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故①②③正确； 是公共角， ， ， ． 故④正确． 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 用配方法将方程变形为，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-4x-1=0， 移项得：x2-4x=1， 配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5， 所以m=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可； （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 12. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简等知识点，设，则，然后整体代入即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， 设，则， ∴ ， 故答案为：． 13. 一个等腰三角形的三边均满足方程x2 -9x+18=0，那么这个三角形的周长为______． 【答案】9或15或18 【解析】 【分析】先解方程求出x的值，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：用因式分解法解方程x2 -9x+18=0， 解得：， 当3为等腰三角形的腰，6为底边时，3+3=6，不能构成三角形； 当6为等腰三角形的腰，3为底边时，三角形的周长为：6+6+3=15； 当三角形三边都为3时，三角形周长为：3+3+3=9； 当三角形三边都为6时，三角形周长为：6+6+6=18． 故答案为：9或15或18． 【点睛】本题考查了用分式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系和等腰三角形的性质，本题的难点在于利用分类讨论的数学思想，考虑满足题意的四种情况，注意不要漏解． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求得a+b和ab的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为a和b， ∴a+b＝，ab＝﹣3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 15. 若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 设， 则原式整理为， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∵, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，根据题意将原式整理为是解本题的关键． 16. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 17. 如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当____时，与相似． 【答案】1或4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 18. 关于的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意； 当，即时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得且； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 三、解答题：本大题共6小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 按要求解方程 （1）．（配方法） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法为解题关键． （1）先移项，再利用配方法求解方程的解即可； （2）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可； （3）利用十字相乘的方法求解方程的解即可； （4）先移项再利用因式分解的方法求解方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 ， ， ， 即， ，， 解得：，； 【小问3详解】 ， ， ， ，， 解得：，； 【小问4详解】 ， ， ， ，， 解得：，． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】 【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10， ∴m2﹣2m﹣3=0， ∴m=﹣1或m=3 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型． 21. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 22. 学校打算用长米的篱笆围城一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为米的墙上（如图）． （1）若生物园的面积为平方米，求生物园的长和宽； （2）能否围城面积为平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）生物园的宽为米，长为米；（2）不能围成面积为平方米的生物园，见解析 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（16-2x）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（16-2y）米，根据长方形的面积公式结合生物园的面积为35平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＜0可得出该方程无解，进而可得出不能围成面积为35平方米的生物园． 【详解】解：（1）设生物园宽为米，那么长为米，依题意得： ，解得，， 当时，，不符合题意，舍去 ∴， 答：生物园的宽为米，长为米． （2）设生物园的宽为米，那么长为米，依题意得： ， ∵， ∴此方程无解， ∴不能围成面积为平方米的生物园． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，是上的点，且，为的中点． 求证：． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据，为的中点，可以得出，即可求证． 【详解】证明：，为的中点， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 24. 如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°． （1）若将△DEP的顶点P放在BC上（如图1），PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G．求证：△PBG∽△FCP； （2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合（如图2），PD、PE与BC相交于点F、G．试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析（2）△PBG与△FCP相似，理由见解析 【解析】 【分析】（1）已知△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，即可得∠B=∠C=∠DPE=45°，∠BPG+∠CPF=135°；在△BPG中，∠B=45°，∠BPG+∠BGP=135°，由此可得∠BGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG∽△FCP； （2）△PBG与△FCP相似，由△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，可得∠B=∠C=∠DPE=45°，又因∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似即可得△PBG∽△FCP． 【详解】（1）证明：如图1， ∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∴∠BPG+∠CPF=135°， 在△BPG中，∵∠B=45°， ∴∠BPG+∠BGP=135°， ∴∠BGP=∠CPF， ∵∠B=∠C， ∴△PBG∽△FCP； （2）△PBG与△FCP相似．理由如下： 如图2，∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DPE=45°， ∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG， ∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG， ∴∠AGP=∠CPF， ∵∠B=∠C， ∴△PBG∽△FCP． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握基本图形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$