精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2024年5月数学学科阶段性测试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是( ) A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ③和④ 3. 下列命题是真命题是（ ） A. 对角线相等四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4. 如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，，且，若，则AB等于（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( ) A. 12 B. 36 C. 24 D. 48 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 把式子m中根号外m移到根号内得（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. ﹣ 11. 如图，中，，点、在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：；；；．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 从三角形非等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则的长为（ ）． A. 1 B. 1.5 C. 0.5 D. 2 二、填空题（本大题共10小题，共40分） 13. 若，则 ______． 14. 如果有意义，那么x的取值范围是________． 15. 如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 ______ 16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 17. 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为______m． 18. 若，则____． 19. 如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的面积为_____． 20. 如图，在中，，，点D在上，且，如果要在上找一点E，使与相似，则的长为____________． 21. 如图，四边形，，是三个正方形， ______． 22. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________． 三、解答题 23. 计算： （1）； （2）． 24. 解方程： （1）．(配方法） （2）． 25. 2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 26. 如图，在等边中，边长为6，是边上的动点，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 27. 如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点． （1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°． ①求证：△ABP∽△BCP； ②若 PA=3，PC=4，则 PB=__________． （2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2） ①求∠CPD 的度数； ②求证：P 点为△ABC 的费马点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年5月数学学科阶段性测试题 （时间120分钟 满分120分） 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解；A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 二次根式：①； ②； ③； ④中，与是同类二次根式的是( ) A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ③和④ 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再比较. 【详解】①=2； ②=2； ③=3； ④= 所以与是同类二次根式的是①和③ 故选B 【点睛】考核知识点:同类二次根式.化简是关键，掌握意义是重点. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 4. 如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，，且，若，则AB等于（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由DE∥AB，则△CDE∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例求AB； 【详解】解：CE∶EB=2∶3，则CE∶CB=2∶5， △CAB中，DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴， DE=4，则AB=10， 故选：C； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的对应边成比例是解题关键 ． 6. 如图，在菱形纸片中，，为的中点，折叠该纸片使点落在点处，且点在上，折痕为，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键．连接，易得为等边三角形，根据三线合一，易得，利用菱形的性质，易得：，根据折叠的性质，易得． 【详解】解：∵在菱形纸片中，， ∴， 连接， ∴为等边三角形， ∵P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠该纸片使点C落在点处且点P在上，折痕为， ∴． 故选C． 7. 某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题一元二次方程的应用，设为米，则平行于墙的一边长为米，依题意即可列出方程，正确用含的式子表示出平行于墙的一边长是解题的关键． 【详解】解：设为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得，， 故选：． 8. 已知一个菱形的周长是20，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( ) A. 12 B. 36 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】设菱形的对角线分别为4x和3x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】设菱形的对角线分别为4x和3x， 已知菱形的周长为20，故菱形的边长为5， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8和6， 所以菱形的面积=×8×6=24， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 10. 把式子m中根号外的m移到根号内得（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件易得m＜0，再根据二次根式的性质有原式=﹣，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】∵﹣＞0， ∴m＜0， 则原式=-=﹣， 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 11. 如图，中，，点、在线段上，是等边三角形，请根据所述条件，判断下列论断：；；；．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，并灵活运用等量代换求出角相等是解本题的关键． ①利用等边三角形“三个角相等”的性质即可得出； ②利用，等量代换即可得出； ③利用“两组角对应相等”得出，进而推出结论； ④利用“两组角对应相等”得出，进而推出结论． 【详解】等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故①②③正确； 是公共角， ， ， ． 故④正确． 故选：D． 12. 从三角形非等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则的长为（ ）． A. 1 B. 1.5 C. 0.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用解答．设，利用，得，列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（本大题共10小题，共40分） 13. 若，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由，所以设，再代入求值可得答案． 【详解】解： ， 设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的性质，求分式的值，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如果有意义，那么x的取值范围是________． 【答案】x＞4． 【解析】 【详解】根据分式和二次根式有意义的条件可得：x-4>0，解得x>4，故答案为x＞4． 15. 如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是 ______ 【答案】27cm2 【解析】 【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得． 【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE， 则矩形ABDC∽矩形FDCE， 则 设DF＝xcm，得到：， 解得：x＝4.5， 则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2． 【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键． 16. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 17. 如图，某单位准备在院内一块长、宽长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得， 整理，得， 解得， ． （不合题意，舍去）， ． 即：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 18. 若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则以及完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 设， 则原式整理为， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∵, ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解方程，因式分解法解一元二次方程，根据题意将原式整理为是解本题的关键． 19. 如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形判定，矩形的判定，由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点分别为四边形的边的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是， 故答案为：． 20. 如图，在中，，，点D在上，且，如果要在上找一点E，使与相似，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】由是公共角，分别当，即时；当，即时，求 的长． 【详解】解：∵是公共角， ∴当，即时，，解得； 当，即时，，解得； ∴的长为或 故答案为：或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用． 21. 如图，四边形，，是三个正方形， ______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，设设正方形的边长为,根据勾股定理算出，则，以此可证明，，根据三角形外角性质得，以此即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 设正方形的边长为, 则，， 由勾股定理可得： ， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟知有三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题关键． 22. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________． 【答案】17 【解析】 【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可． 【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2=（8-x）2+22， 解得：x=， ∴4x=17， 即菱形的最大周长为17cm． 故答案是：17． 【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程． 三、解答题 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的除法，化简绝对值进行计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 24. 解方程： （1）．(配方法） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 25. 2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用3月份的销售量月份的销售量月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元． 【小问1详解】 设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 26. 如图，在等边中，边长为6，是边上的动点，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得出，可得到，且，可证得结论； （2）利用（1）结论可得出，且，代入可求得． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）知， ， ，， ， ， 解得． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到是解题的关键，注意等边三角形性质的应用． 27. 如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点． （1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°． ①求证：△ABP∽△BCP； ②若 PA=3，PC=4，则 PB=__________． （2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2） ①求∠CPD 的度数； ②求证：P 点为△ABC 的费马点． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析； 【解析】 【分析】（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证； ②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可； （2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数； ②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证． 【详解】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°， ∴∠PAB=∠PBC， 又∵∠APB=∠BPC=120°， ∴△ABP∽△BCP， ②解：∵△ABP∽△BCP， ∴， ∴PB2=PA•PC=12， ∴PB=2； （2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形， ∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠1=∠2， ∵∠3=∠4， ∴∠CPD=∠6=∠5=60°； ②证明：∵△ADF∽△CFP， ∴AF•PF=DF•CF， ∵∠AFP=∠CFD， ∴△AFP∽△CDF． ∴∠APF=∠ACD=60°， ∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°， ∴∠BPC=120°， ∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°， ∴P点为△ABC的费马点． 考点：相似形综合题 【点睛】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$