1.4 解直角三角形 同步练习 2025—2026学年北师大版数学九年级下册

1.4解直角三角形 1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin B＝，则AC等于（　C　） A.25 B.12 C.9 D.16 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，则下列结论正确的是（　D　） A.sin A＝ B.tan A＝ C.cos B＝3 D.tan B＝2 第2题图　　　 3.把两个大小相同的含30°角的三角尺如图放置，D，B，C三点共线，若AD＝6，则BC的长为（　A　） 第3题图　　　 A.6 B.6 C.2 D.2 4.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cos A＝，BE＝4，则DE的长为　8　. 第4题图 5.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为（　B　） A.30° B.45° C.60° D.75° 6.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是（　C　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 7.已知∠A是锐角，sin A＝，则cos A的值为（　B　） A. B. C. D. 8.已知∠A为锐角，且5cos A－3＝0，则sin A的值为　　. 9.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝，求sin B的值. 10.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3. （1）求AC的值； （2）求△ABC的面积.（结果保留根号） 11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DC＝AD，BD平分∠ABC，则tan A的值为（　 　） A. B. C. D. 第11题图　　　　　 12.如图，在矩形中，AB＝3，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若cos∠BAF＝，则AE＝　　. 第12题图 13.如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BE为AD边上的中线. （1）求AC的长； （2）求△BED的面积. 14.如图，直线y＝x＋b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（5，1），并与x轴、y轴交于点C，B. （1）求b，m的值； （2）连接OA，求tan∠OAB的值； （3）点D在y轴的负半轴上，若以点D，C，B组成的三角形与△OAC相似，求点D的坐标. 答案： 1.C　 2.D　3.A　4.8　5.B　6.C　7.B　8. 9.解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. 在Rt△ADC中，tan A＝，∴AD＝＝4. 又∵AB＝12，∴BD＝12－4＝8. 在Rt△BCD中，BC＝＝10， ∴sin B＝＝＝. 10.解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△BCD中，∠B＝45°，BC＝3，∴BD＝BC·cos 45°＝3×＝3， ∴CD＝BD＝3. 在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AC＝6. （2）由（1）知，在Rt△ACD中，AC＝6，CD＝3， ∴AD＝＝3， ∴AB＝AD＋BD＝3＋3， ∴S△ABC＝×AB×CD＝. 11.D　解析：如图，过点D作AB的垂线，垂足为M， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DM⊥AB， ∴CD＝MD. ∵DC＝AD， 则令DC＝a，AD＝3a，∴DM＝DC＝a. 在Rt△ADM中，AM＝＝2a， ∴tan A＝＝＝. 故选D. 12.　解析：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝3. ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，∴AF＝AD，EF＝DE. 在Rt△ABF中，cos∠BAF＝， ∴＝，∴AF＝AD＝BC＝5， ∴BF＝＝4，∴CF＝BC－BF＝5－4＝1. 设CE＝x，则DE＝EF＝3－x，在Rt△ECF中， ∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋12＝（3－x）2，解得x＝， ∴EF＝DE＝3－x＝，∴AE＝＝. 13.解：（1）∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°. 在Rt△ABC中，cos∠ABC＝， ∴AB＝＝10，∴AC＝＝6. （2）∵BE为AD边上的中线，∴S△BED＝S△ABD. 又∵S△ABD＝BD·AC＝×12×6＝36， ∴S△BED＝×36＝18. 14.解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得m＝5×1＝5， 将点A的坐标代入一次函数表达式得1＝5＋b，解得b＝－4，即b＝－4，m＝5. （2）由（1）知，直线AB的表达式为y＝x－4， 则OC＝OB＝4，则∠OBC＝45°，AB＝5，如图，过点O作OH⊥BC于点H，则BH＝OH＝OB＝2， AH＝AB－BH＝3，tan∠OAB＝＝＝. （3）∵∠DBC＝∠ACO＝135°， ∴当以点D，C，B组成的三角形与△OAC相似时，存在△CAO∽△BCD或△CAO∽△BDC， 由点A，B，C的坐标得CO＝4，OA＝，AC＝，BC＝4，则＝或＝，即＝或＝，解得BD＝2或16，即点D的坐标为（0，－6）或（0，－20）. 学科网（北京）股份有限公司 $$