精品解析：四川省成都市武侯区领川外国语学校2024—2025学年下学期八年级入学考试数学试卷

2024-2025学年四川省成都市武侯区领川外国语学校八年级（下）入学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 3. 要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是(　　) A. x≥1 B. x＞0 C. x≥－1 D. 任意实数 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 B. 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 C. 正比例函数是一次函数 D. 同位角相等 5. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 如图，直线，含有的直角三角板的一个顶点落在上，直角边交于点，连接，使得，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0）与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针旋转得到“月牙②”，则点A的对应点A’的坐标为（ ） A. （1,2） B. （1，-2） C. （-2,1） D. （2，-4） 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若，则_______． 10. 函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为______． 11. 九年级(1)班50名学生的年龄情况如下表所示(单位：岁)，则该班级学生年龄的中位数为_________岁． 年龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为______． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 14. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是_____． 15. 关于x、y的方程组与有相同的解，则a+b的值为____． 16. 对于平面直角坐标系中的点P（x，y），若x，y满足|x﹣y|＝5，则点P（x，y）就称为“平衡点”．例如：（1，6），因为|1﹣6|＝5，所以（1，6）是“平衡点”．已知一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上有一个“平衡点”的坐标是（3，8），则一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上另一“平衡点”的坐标是 _____． 17. 如图，在中，，，，点D，E，F分别为边，，上的动点，且，，点G为的中点，则的最小值为______． 18. 如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组： 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）若将关于原点对称得到，请在图中画出并写出各个顶点坐标； （2）若将绕着P点顺时针旋转得到，若，直接写出旋转中心P，、坐标． 21. 某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了______名学生．在扇形统计图中，“淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是______，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校有名学生，现要对安全意识为“淡薄”“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名？ 22. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 23. 已知：在平面直角坐标系中，点分别在轴的负半轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，，，点在第二象限，且，平分交轴于； ①求的面积； ②求点的坐标，当时，求点的坐标； （2）如图2，点在轴的正半轴上，，为线段上一动点（不与端点重合），交于，交于，当点运动时，的值是否发生变化，请说明理由． 24. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，当时，求点P的坐标； （3）如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 26. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市武侯区领川外国语学校八年级（下）入学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 2. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，A选项根据三角形中三个角的度数之比求出最大的角，所以可以判断不是直角三角形，B、C、D选项利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：，，中最大的角，不是直角三角形，故A选项符合题意； B选项：，，，其中，，是直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：，设、、，则有，是直角三角形，故C选项不符合题意； D选项：，，，，，是直角三角形，故C选项不符合题意． 故选：A ． 3. 要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是(　　) A. x≥1 B. x＞0 C. x≥－1 D. 任意实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，而1恒成立，故x可为任意实数. 【详解】依题意得 x2＋1≥0， ∵x2＋1≥1， ∴字母x必须满足的条件是任意实数． 故选D. 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 B. 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定 C. 正比例函数是一次函数 D. 同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题； B、一组数据极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定；根据极差、方差或标准差的意义，它们都表示一组数据的波动大小，故此选项正确； C、正比例函数是一次函数，正确是真命题； D、两直线平行，同位角相等，错误，是假命题； 故选D． 【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得到PE=PD，然后利用平行线的性质及含30°角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E， ∵OP是∠AOB的平分线， ∴PE=PD． ∵PC∥OB， ∴∠POD=∠OPC， ∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°， ∴PE=PC=2， ∴PD=2． 故选B． 【点睛】角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 6. 如图，直线，含有的直角三角板的一个顶点落在上，直角边交于点，连接，使得，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行的性质可得，根据三角形的外角的定义可得，再根据平角进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，令与相交于点， ，， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，是解题的关键． 7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙书籍．已知每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元．设每本甲种书x元，每本乙种书y元，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；设甲种书每本元，乙种书每本元．根据每本甲种书比每本乙种书少5元，购买3本甲种书和4本乙种书共230元，再建立方程组即可． 【详解】解：设每本甲种书x元，每本乙种书y元，根据题意： ， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0）与点B关于y轴对称，现将图中的“月牙①”绕点B顺时针旋转得到“月牙②”，则点A的对应点A’的坐标为（ ） A. （1,2） B. （1，-2） C. （-2,1） D. （2，-4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状、大小及相对位置． 【详解】解：连接A′B， ∵点A（-1,0）与点B关于y轴对称， ∴（1,0）， 由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B⊥AB，且A′B=AB，由A（-1,0）、B（1，0）得AB=2，于是可得A′的坐标为（1，2）． 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系及图形的旋转变换的相关知识，学生往往因理解不透题意而出现问题． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质． 直接根据不等式的性质作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次方程的解法．因为函数和（是常数，且）的图象相交于点，把点的坐标代入一次函数的解析式中求出，再把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：函数和（是常数，且）的图象相交于点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 把代入方程， 可得：， 解得： 故答案为： ． 11. 九年级(1)班50名学生的年龄情况如下表所示(单位：岁)，则该班级学生年龄的中位数为_________岁． 年龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义， 根据中位数的定义解答，即将一组数据从小到大（从大到小）依次排列，最中间的一个或两个的平均数，即为中位数． 【详解】解：一共有50个数据，最中间的是第25，26个，这两个数都是16岁，这两个数的平均数也是16岁，所以班级学生年龄的中位数为16岁． 故答案为：16． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，若，请根据图象判断，不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：求得A点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：如图， 由，解得， ， 根据图象，不等式的解集为 故答案为： 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，则点D到边和的距离相等，进而可得的面积为6，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 14. 若关于的不等式的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，根据不等式的性质得，然后解关于的不等式即可，解题的关键是熟练掌握解解一元一次不等式的步骤及不等式的性质． 解：∵关于的不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 关于x、y的方程组与有相同的解，则a+b的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】联立不含a与b的方程，组成方程组，求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】联立得：， ①×3+②得：11x＝11，解得：x＝1， 把x＝1代入①得：y＝﹣2， ∴方程组的解为， 把代入得：，即， ④×2﹣③得：9b＝27，解得：b＝3， 把b＝3代入④得：a＝2， ∴a+b＝3+2＝5， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组，是解题的关键． 16. 对于平面直角坐标系中的点P（x，y），若x，y满足|x﹣y|＝5，则点P（x，y）就称为“平衡点”．例如：（1，6），因为|1﹣6|＝5，所以（1，6）是“平衡点”．已知一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上有一个“平衡点”的坐标是（3，8），则一次函数y＝3x+k（k为常数）图象上另一“平衡点”的坐标是 _____． 【答案】（-2，-7） 【解析】 【分析】先根据所给点位于函数图像上求出k，再根据平衡点定义求出两个平衡点即可． 【详解】由点（3，8）在一次函数图像上得：3×3+k=8， 解得k=-1 故有：y＝3x-1 由平衡点的定义得： 解得：x=-2或3 当x=-2时，y=-7；当x=3时，y=8 故另一平衡点的坐标为（-2，-7） 故答案为：（-2，-7）． 【点睛】本题考查新定义下的一次函数的应用，掌握一次函数解析式的求法并理解新定义的计算方法是本题关键． 17. 如图，在中，，，，点D，E，F分别为边，，上的动点，且，，点G为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线段最短可得时，的值最小，由垂直平分线的性质可得，，从而可证是等边三角形，可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得此时点F与点C重合，根据等边三角形的性质可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，的值最小， ， 点G为的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 点F与点C重合， 如图，是等边三角形， ， ， 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、垂线段最短、直角三角形的性质、垂直平分线的性质，根据题意得出当时，的值最小是解题的关键． 18. 如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的性质，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用，构造辅助线． 过C作，使，连接，根据条件证明，得出对应边相等，当E在上时取最小值，最小值，由勾股定理确定，代入解析式即可得出答案． 【详解】解：过C作，使，连接， 由条件可知， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E在上时取最小值，最小值， ∴， ∵点和点， ∴， 解得或， ∵由图形可知在第一象限， ∴， ∴， ∴， 把和，代入得， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组方法和解二元一次方程组的方法． 先化简方程组，然后根据加减消元法可以解答此方程组； 先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：原方程组化为， ①②，得， ， 将代入②，得， 解得， 原方程组的解为； ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，该不等式组的解集是  20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， （1）若将关于原点对称得到，请在图中画出并写出各个顶点坐标； （2）若将绕着P点顺时针旋转得到，若，直接写出旋转中心P，、坐标． 【答案】（1），，；图形见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）在的下方取点P，使，且，则点P为旋转中心，再根据旋转的性质作图即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，，， 【小问2详解】 解：如图，在的下方取点P，使，且，则点P为旋转中心， 由图可得，点． 画出如图所示， ， 21. 某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”“一般”“较强”“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了______名学生．在扇形统计图中，“淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是______，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校有名学生，现要对安全意识为“淡薄”“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有多少名？ 【答案】（1）、、 （2）见解析 （3）估计全校需要强化安全教育的学生约有名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）先求出被调查的总人数，总人数乘以“较强”对应的百分比求出其人数，继而用乘以“淡薄”所的人数所占比例，用“很强”的人数除以总人数可求得其对应的百分比； （2）根据以上所求结果可补全条形图； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：调查的总人数是：人， “较强”的人数为人， “淡薄”所在的扇形对应的圆心角的度数是， 安全意识为“很强”所在扇形的百分比为． 故答案为：、、； 【小问2详解】 解：补全条形图如下： 【小问3详解】 解：估计全校需要强化安全教育的学生约有（名）． 22. 已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点. （1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】（1） 证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 23. 已知：在平面直角坐标系中，点分别在轴的负半轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，，，点在第二象限，且，平分交轴于； ①求的面积； ②求点的坐标，当时，求点的坐标； （2）如图2，点在轴的正半轴上，，为线段上一动点（不与端点重合），交于，交于，当点运动时，的值是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的值不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由点、的坐标可得，，结合列方程即可得出，求出、的值，再由三角形面积公式即可得出答案；②作于，由勾股定理可得，由角平分线的性质定理得出，，从而得出，设，则，再由勾股定理计算即可得出，再求出，，即可得解； （2）作交于，证明为等腰直角三角形，得到，证明，得出，同理可证，得到，进而推出，得到，即可得解． 【小问1详解】 解：①∵、分别在轴负半轴、轴正半轴上， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ②作于， ， ∵，， ∴ ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， 在中， 解得， ∴ 当时，，则 ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：不变，理由如下： 作交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点运动时，的值不变． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积，勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意，正确作出辅助线是解此题的关键． 24. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； （2）当购进腊梅30束，百合50束时，销售利润最大，销售的最大利润为840元． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． （1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进腊梅m束，则购进百合束，根据题意列出不等式组求出，然后表示出总利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束， 根据题意得：， 解得：． 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束； 【小问2详解】 设购进腊梅m束，则购进百合束， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，（元）， 此时（束）． 答：当购进腊梅30束，百合50束时，销售的最大利润为840元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形． （1）求直线的函数表达式； （2）如图1，当时，求点P的坐标； （3）如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是定值，的度数为 【解析】 【分析】（1）在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得； （2）设，，由，，知，又，故，可解得； （3）延长到G，使，连接，，设，，根据，有，，从而，，再证，可得，，故，即得． 【小问1详解】 解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图： 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． （1）如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）；见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①如图所示，延长到点G使，连接，证明，得到是等边三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故； ②延长至H，使，连接、．由，得，，，设，得，，故，由，得，，故； （2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为时，过A作由，，得，故，，故为等腰直角三角形，得到，由旋转得，故为等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，当旋转角为时，同理求解即可． 【小问1详解】 ①解：如图所示，延长到点G使，连接 ，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由旋转的性质得 ，， 和都是等腰三角形， ， ； ②证明：延长至H，使，连接、 ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $