精品解析：浙江省温州市第二中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024学年第二学期九年级开学综合素质检测数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年我国新能源汽车产量超过12880000辆，其中12880000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 某车间名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ） 日加工零件数 人数 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 7. 如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点O是正方形的中心，连接交于点F，连接．记的面积，正方形的面积为S．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简：=__________ 12. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有________个． 13. 如果关于的分式方程的解是，那么的值是____________． 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 15. 如图，平行四边形中，E，F分别在边，上，，相交于点G．若，，则的值是______． 16. 如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. （1）解方程：； （2）解不等式组． 19. 如图，在中，于D，，． （1）求的长． （2）若的面积为4，求的正弦值． 20. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 21. 如图，在中，，分别以点B，点C为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点M，点N，作直线，交边于点D，交边于点F，过点C作交于点E，连接． （1）求证：． （2）若四边形是菱形，求的度数． 22. 已知张华家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．右图中x轴表示时间，y轴表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间（） 1 4 张华离家的距离（） ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ． （2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？ 23. 已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：． 24. 如图1，点E在矩形的边上，连结，．作点A关于的对称点F，当点F在上时，分别在，上取点G，H，使． （1）求证：． （2）①若，，求的余弦值． ②若，，，与相似，求的长． （3）如图2，连结交于点M，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级开学综合素质检测数学试题卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列数，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴根据实数大小比较方法可知，， ∴最小的数是， 故选：． 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出第三条边的长度的范围，再与选项作比较分析，即可作答． 【详解】解：∵三角形的两条边的长度分别是和 ∴第三条边的长度 即第三条边的长度 只有B选项在此范围内， 故选B 3. 2024年我国新能源汽车产量超过12880000辆，其中12880000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：12880000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂除法，同底数幂乘法逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 5. 若，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴，此选项不符合题意； 、∵， ∴，此选项符合题意； 、∵， ∴此选项不符合题意； 故选：． 6. 某车间名工人日加工零件数如表所示：这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是（ ） 日加工零件数 人数 A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的众数为，中位数为， 故选：A． 7. 如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据计算即可，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由 ， 故选：． 8. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 9. 如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点O是正方形的中心，连接交于点F，连接．记的面积，正方形的面积为S．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形，勾股定理的运用，面积的计算，如图所示，连接，设正方形的边长为，即，得到，，，结合面积的计算得到，则，正方形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，点O是正方形的中心， ∴，点共线， 设正方形的边长为，即， ∴，， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， ∴正方形， ∴， 故选：A ． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 化简：=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 12. 如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案． 【详解】解：（个）． 故涂上红色的小扇形有3个． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 13. 如果关于的分式方程的解是，那么的值是____________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得a的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 3 4 5 6 7 8 … y m … 则表格中m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用二次函数图象的对称性进行作答，即可求解． 【详解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为： 直线， ∴与关于对称轴对称， ∴， 故答案为：； 15. 如图，平行四边形中，E，F分别在边，上，，相交于点G．若，，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长、交于点，由平行四边形的性质得，，可证明，得，则，所以，由，得，再证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，内接于，是的直径，I是的内心，连接，并延长交于点D，若，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接三角形、圆的性质和勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题连接，，，，过点分别作于，于，于，根据内心可得，，，再通过直角三角形的知识和等量变化可证得，在中，可求得，设，则，然后再根据， ，可求得，然后即可求解； 【详解】解：连接，，，，过点分别作于，于，于，如图： ∵点是的内心， ∴，，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ 在中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴设，则， ∵， ， ∴， 解得： 或0(舍去)， ∴， ∴， 故答案为：5 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值、零指数幂和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算括号内的，然后再与括号外的相加即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. （1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元一次不等式组，熟练掌握解法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 19. 如图，在中，于D，，． （1）求的长． （2）若的面积为4，求的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）根据角的正切值，求出，再利用勾股定理求解即可； （2）根据三角形面积公式求出，从而得到，在中，利用勾股定理求出，再求的正弦值即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：的面积为4， ， ， ， ， 在中，， ． 20. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了 名学生． （2）请补全条形统计图． （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由D的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的人数为：（人）， 【小问3详解】 解： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有 8 种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 21. 如图，在中，，分别以点B，点C为圆心、大于为半径作弧，两弧交于点M，点N，作直线，交边于点D，交边于点F，过点C作交于点E，连接． （1）求证：． （2）若四边形是菱形，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据为线段的垂直平分线，可得，再根据平行线的性质可得，再通过对顶角相等可得； （2）根据全等三角形可得，再根据为线段的垂直平分线，可得，，通过四边形是菱形，可得，再通过等边三角形可得，然后即可求解； 【小问1详解】 证明：由题意可得：为线段的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， 为等边三角形， ∴， ∴； 22. 已知张华家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．右图中x轴表示时间，y轴表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张华离开家的时间（） 1 4 张华离家的距离（） ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ． （2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？ 【答案】（1）①，，；② （2）两人相遇时离家的距离是 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键． （1）①根据函数图像获取信息得到答案即可； ②根据速度的计算公式计算即可； ③用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据爸爸与张华在画社到文化广场途中相遇的情况通过图像分析，求得爸爸的速度，然后设张华出发分钟时和爸爸相遇，列出方程：，然后即可求解；． 【小问1详解】 解：张华的速度为：， 张华离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图像可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图像可得在时，张华离家的距离一直是，故离开家的时间，张华离家的距离为：； 由图像可得张华从文化广场返回家所用时间为：，文化广场到家的距离为：，故张华从文化广场返回家的速度为：； 故答案为：①，，；②； 【小问2详解】 解：爸爸的速度为：， 爸爸与张华在画社到文化广场途中相遇，设张华出发分钟时和爸爸相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是； 23. 已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴． （2）若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． （3）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，求证：． 【答案】（1）对称轴为直线 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）可知抛物线经过点，而又经过点，即可求解对称轴； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． （3）先根据抛物线的对称轴得出之间的关系，再用a分别表示出p和q，最后表示出，再转化为二次函数的最值问题求解． 【小问1详解】 解：当， ∴与y轴交点为， ∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线：， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后所得到的点为， 由题意得把，代入 ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 证明：∵抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上， ∴，也在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将点，代入得，， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值18，即． 24. 如图1，点E在矩形的边上，连结，．作点A关于的对称点F，当点F在上时，分别在，上取点G，H，使． （1）求证：． （2）①若，，求的余弦值． ②若，，，与相似，求的长． （3）如图2，连结交于点M，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由题易得，再根据平行线得，等量代换即可得解； （2）①证即可得解； ②分类讨论，若，此时， 若，此时是等边三角形，再设参求解即可； （3）过作交于点，过作交于点，由平行线分线段成比例可知：， 得：，从而得到，再由，得到，即可得解. 【小问1详解】 证明：点关于的对称点， ∴ ∵ 矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①由（1）知 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即的余弦值为； ② ∵ ∴与相似分两种情况： 若 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由①知 ∴ ∴ 设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得 ：（负值舍去） ∴ 若 ∴ ∵ ∴ 故是等边三角形 ∴ 设，则 ∴ 由①知 ∴即 整理得： ∴ ∴方程无解，即此种情况不存在。 综上， 【小问3详解】 过作交于点，过作交于点， 得： 由（1）知： ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识时解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $