15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教案聚焦含30°角的直角三角形性质，通过含30°角直角三角板情境导入，引导学生测量探究30°角所对直角边与斜边关系，再经逻辑推理证明，衔接等边三角形、线段垂直平分线知识，构建从具体到抽象的学习支架。 此教案突出知识逻辑与认知顺序，测量探究培养几何直观，两种证法（补短、截长）发展推理意识，屋架设计应用提升应用意识，助力学生理解知识形成，为教师提供清晰教学路径，激发教与学热情。

15.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 【素养目标】 1．探究含30°角的直角三角形的性质； 2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算． 【教学重点】 含30°角的直角三角形的性质及应用． 【教学重点】 证明含30°角的直角三角形的性质． 【教学过程】 任务一：创设情境，导入新课． 我们的常用画图工具中，有一个含30°角的直角三角板，它的形状是一个含30°角的直角三角形，它有什么特殊性质呢？ 任务二：探究含30°角的直角三角形的性质． 探究：(1)用刻度尺测量含30°角的直角三角板的斜边和短直角边的长，它们有什么关系？ (2)如图15.3－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，它们有什么关系？ (3)再画一个含30°角的直角三角形，你得到的结论还成立吗？ 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半． 任务三：证明含30°角的直角三角形的性质． 1．思考：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB. 分析： (1)我们擅长证明两条线段相等，怎样把BC＝AB转化成两条线段相等呢？ 由BC＝AB得2BC＝AB，构造一条等于2BC的线段，然后证明它等于AB. 将线段BC延长一倍，就可得到2BC. (2)∠B＝60°，60°是等边三角形的标志． 证明：延长BC到D，使CD＝BC，连接AD. ∵∠C＝90°，CD＝BC， ∴AC垂直平分BD. ∴AB＝AD(线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等). ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴∠B＝60°. 又AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的三角形是等边三角形). ∴AB＝BD.又BC＝BD.∴BC＝AB. 注意：BC＝AB中，BC是短线段，AB是长线段，“延长BC到D”的方法称作“补短”． 2．思考：你有其他证明方法吗？ 提示：(1)前面的方法是“补短线段”构造一个等边三角形，那么可否“截长线段”构造一个等边三角形呢？ (2)在BA上截取BE＝BC试试！ 思路： (1)在BA上截取BE＝BC，连接EC； (2)证明△BEC是等边三角形，得BC＝CE； (3)证明△AEC是等腰三角形，得AE＝CE； (4)AB＝AE＋BE＝2BC，得BC＝AB. 归纳： (1)如图，“截长、补短”是证明“a＝b＋c”和“a＝b”型关系的常用方法． (2)定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝AB(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半). 任务四：典型应用． 思考：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？ 提示：有30°，找30°角所在的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 解：∵Rt△ABC中，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×7.4＝3.7(m)(直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半). 同理：Rt△ADE中，DE＝AD. 又∵AD＝AB＝3.7(m)， ∴DE＝AD＝1.85(m). 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 任务五：尝试练习，巩固内化． 解答教材P84练习1、2. 任务六：课堂小结，形成体系． 1．反思与交流： 完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？ 2．知识结构： 【布置作业】 教材P84－P86习题15.3，第4、12、14题；P89“活动3”等腰三角形中相等的线段． 【教学反思】 本课时新版教材抛弃了老版教材从两个含30°角的直角三角板拼成等边三角形中发现含30°角的直角三角形的性质的方式，直接探索30°角所对的直角边与斜边的关系，后经过分析得到与等边三角形的联系．这样符合学生的认知顺序、知识的发生和形成过程，梳理知识之间和知识内部的“逻辑”，这是新版教材特别强调的，在探索全等三角形的判定时尤为明显． 学科网（北京）股份有限公司 $$