2.1.2 圆的一般方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第2课时　圆的一般方程 基础过关练 题组一　对圆的一般方程的理解 1.已知圆x2+y2-16x+12y-96=0,则圆心位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 2.若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 3.已知圆C:x2+y2+2x+my+3=0关于直线2x-y+4=0对称,则圆C的半径为(　　) A.　　　　B.2　　　　C.2　　　　D.4 4. 已知圆C:x2+y2+2mx-2y+2=0,且点P(1,2)在圆C外,则m的取值范围是　　　　　　.  题组二　圆的一般方程及其应用 5.与圆x2+y2-4x+6y+3=0同圆心,且过(1,-1)的圆的方程是(　　) A.x2+y2-4x+6y-8=0　　　　B.x2+y2+4x-6y+8=0 C.x2+y2+4x-6y-8=0　　　　D.x2+y2-4x+6y+8=0 6.(教材习题改编)若直线4x+3y-12=0与两坐标轴的交点分别为A,B,则以AB为直径的圆的方程为(　　) A.x2+y2-3x-4y=0　　　　B.x2+y2-4x-3y=0 C.x2+y2+3x+4y=0　　　　D.x2+y2+4x+3y=0 7.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为,则圆C的一般方程为　　　　　　　.  8.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的三个顶点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),若直线y=2x+b过△ABC的外接圆的圆心,则b=　　　　;若点(2,m)在△ABC的外接圆内,则m的取值范围为　　　　.  题组三　与圆有关的动点的轨迹问题 9.(教材习题改编)已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是　　　　　　　　　.  10.已知点A(5,0),点B在圆(x-1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是　　　　　　.  11.已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),C(1,). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)在△ABC外接圆上任取一点P,过点P作PN⊥x轴,垂足为N,当点P在圆上运动时,求线段PN的中点M的轨迹方程. 能力提升练 题组　圆的方程及其应用 1.(多选题)已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则(　　) A.当k=0时,圆C的面积是π B.实数k的取值范围是 C.点(1,0)在圆C内 D.当圆C的周长最大时,圆心坐标是(1,1) 2.在平面直角坐标系中,已知点A(0,),B(-2,a),C(4,3),若点P是以AB为直径的圆上的动点,且点P关于点C的对称点的轨迹满足方程x2+y2-18x-12y+113=0,则a=(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- 3.过点P(-3,0)作直线2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,2),则当λ变化时,MN的取值范围是(　　) A.[0,5+]　　B.[5-,5+] C.[5,5+]　　D.[5-,5] 4.若直线2ax-by+2=0(a,b均为正实数)是曲线x2+y2+2x-4y+1=0的一条对称轴,则+的最小值是　　　　.  5.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+mx-1的图象与坐标轴分别交于点A,B,C,记△ABC的外接圆为圆T.①当m=时,圆T的一般方程是　　　　;②圆T恒过的两个定点是　　　　.  6.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1,点A(0,2),若圆C上的点M满足MA2+MO2>10,则实数a的取值范围是　　　　.  7.若A,B是平面内不同的两定点,动点P满足=k(k>0且k≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知点A(1,0),C(4,0),D(4,9),动点P满足=,则2PD-PC的最大值为　　　　.  8.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,且距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,则该船有没有触礁的危险?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2课时　圆的一般方程 基础过关练 1.D 2.C 3.A 5.D 6.A 1.D　易得圆x2+y2-16x+12y-96=0的圆心为(8,-6),位于第四象限. 2.C　当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<, 又a∈,所以a=-1或0或,所以满足题意的圆的个数为3. 3.A　易得圆C:x2+y2+2x+my+3=0的圆心为. 因为圆C关于直线2x-y+4=0对称,所以圆心在直线2x-y+4=0上,所以-2++4=0,解得m=-4,故圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,其半径为×=. 4.答案　∪(1,+∞) 解析　由圆C:x2+y2+2mx-2y+2=0得4m2+4-8>0,解得m<-1或m>1, 由点P(1,2)在圆C外,得12+22+2m-4+2>0,解得m>-,所以m的取值范围是∪(1,+∞). 5.D　设所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+m=0,m≠3且(-4)2+62-4m>0,即m≠3且m<13,由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-4×1+6×(-1)+m=0,解得m=8,所以所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 方法技巧 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F. 6.A　对于4x+3y-12=0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=3,不妨设A(3,0),B(0,4),则AB==5,AB的中点为, 则以AB为直径的圆的半径是,圆心是,所以以AB为直径的圆的方程为+(y-2)2=,即x2+y2-3x-4y=0. 7.答案　x2+y2+2x-4y+3=0 解析　易知圆心C的坐标为. 因为圆心在直线x+y-1=0上,所以---1=0,即D+E=-2.① 因为=,所以D2+E2=20.② 由①②可得或 又圆心在第二象限内,所以-<0,->0,即D>0,E<0,所以所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 8.答案　-7;(-8,2) 解析　设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 则解得 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0,所以圆心为(2,-3),由点(2,-3)在直线y=2x+b上,得-3=2×2+b,解得b=-7, 因为点(2,m)在△ABC的外接圆内,所以22+m2-4×2+6m-12<0,解得-8<m<2,所以m的取值范围为(-8,2). 9.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0) 解析　设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0). 10.答案　x2+y2-6x+8=0 解析　设B(x0,y0),M(x,y), 由题意可知所以 又因为点B在圆上运动,所以(x0-1)2+=4,所以(2x-5-1)2+(2y)2=4,即x2+y2-6x+8=0,所以M的轨迹方程为x2+y2-6x+8=0. 11.解析　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0, 因为该圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点, 所以解得 所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4=0. (2)设M(x,y),∵M为线段PN的中点,PN⊥x轴,N为垂足,∴N(x,0),P(x,2y), 又点P在圆x2+y2=4上,∴x2+(2y)2=4,即+y2=1, 故点M的轨迹方程为+y2=1. 能力提升练 1.AB 2.D 3.B 1.AB　对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,其半径为1,所以圆的面积为π·12=π,故A正确; 对于B,因为方程x2+y2+kx-2y+k2=0(k∈R)表示圆,所以k2+4-4k2>0,解得-<k<,故B正确; 对于C,当k=0时,由A可得圆心C(0,1),半径为1,点(1,0)与圆心C之间的距离d=>1,点(1,0)在圆C外,故C错误; 对于D,易得半径r=,当圆C的周长最大时,半径r最大,则k=0,r=1,此时圆心C(0,1),故D错误. 2.D　对于方程x2+y2-18x-12y+113=0,因为(-18)2+(-12)2-4×113=16>0,所以该方程表示圆,记为圆E,易知圆心E(9,6). 以AB为直径的圆的方程为(x-0)(x+2)+(y-)(y-a)=0,即x2+y2+2x-(a+)y+a=0,记为圆D,易知D, 依题意可知,点D与点E关于点C对称,即6+=2×3,解得a=-. 3.B　方程2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R)可化为(2x+y)+λ(y+2)=0,由得故直线经过定点(1,-2),记为Q. 易知△PQM为直角三角形,斜边为PQ,M在以PQ为直径的圆上运动, 可得圆心为PQ的中点(-1,-1)(设为H),半径r=PQ=, 则MN的最大值为NH+r=+=5+,最小值为NH-r=-=5-, 故MN的取值范围为[5-,5+]. 4.答案　4 解析　由x2+y2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4, 所以曲线x2+y2+2x-4y+1=0表示的是以(-1,2)为圆心的圆, 因为直线2ax-by+2=0(a,b均为正实数)是曲线x2+y2+2x-4y+1=0的一条对称轴, 所以直线2ax-by+2=0(a,b均为正实数)过点(-1,2), 所以-2a-2b+2=0,即a+b=1(a,b均为正实数), 所以+=+=2++≥4,当且仅当a=b=时,等号成立,故+的最小值为4. 5.答案　①x2+y2+-1=0　②(0,1),(0,-1) 解析　①当m=时,易知二次函数y=x2+x-1的图象与两坐标轴交于点(-2,0),,(0,-1),设圆T的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令y=0,得x2+Dx+F=0,由题意可得,这与x2+x-1=0是同一个方程,故D=,F=-1.令x=0,得y2+Ey+F=0,由题意可得, -1为此方程的一个根,将y=-1代入此方程得E=0,所以圆T的一般方程为x2+y2+-1=0. ②易知y=x2+mx-1的图象与y轴的交点为(0,-1), 设所求圆的一般方程为x2+y2+Hx+My+N=0(H2+M2-4N>0), 令y=0,得x2+Hx+N=0,由题意可得,这与x2+mx-1=0是同一个方程,故H=m,N=-1. 令x=0,得y2+My+N=0,由题意可得,-1为此方程的一个根,将y=-1代入此方程得M=0,所以圆T的一般方程为x2+y2+mx-1=0, 当x=0时,y=1或y=-1,故圆T恒过定点(0,1),(0,-1). 6.答案　a<0或a>3 解析　设M(x,y),∵MA2+MO2>10, ∴x2+(y-2)2+x2+y2=2(x2+y2-2y+2)>10, 即x2+(y-1)2>4,即>2, 设点B(0,1),则MB>2恒成立,即圆C上的点到B(0,1)的距离的最小值大于2(关键点), 又圆C的圆心为C(a,a-2),半径为1, ∴BC-1>2,即BC=>3,化简得a2-3a>0, 解得a<0或a>3. 7.答案　6 解析　设P(x,y),则==,整理得x2+y2=4,则P是圆x2+y2=4上一点,由=,得PC=2PA, 故2PD-PC=2(PD-PA),如图所示, 由图可知PD-PA≤AD,当且仅当A,D,P三点共线,且A在D,P之间时取得等号. 易得AD==3, 所以2PD-PC的最大值为6. 8.解析　(1)由题意得A(40,40),B(20,0), 设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则解得 所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船有触礁的危险.理由:由题意得M(-20,-20),且该船的航线所在直线(记为l)的斜率为1, 故直线l:x-y+20-20=0, 由(1)知圆心C(10,30),半径r=10, 所以圆心C到直线l的距离d==10<10,所以该船有触礁的危险. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$