精品解析：江西省赣州市南康区第十中学2024-2025学年下学期2月开学考九年级数学试题

2024-2025学年下学期2月开学考九年级数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 仙游明天将有85%的时间下雨 B. 仙游明天将有85%的地区下雨 C. 仙游明天下雨的可能性较大 D. 仙游明天下雨的可能性较小 4. 如图，点A，B，C，D是上的点，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 6. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是10米，坡面的倾斜角，在距A点10米处有一建筑物．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下D处与建筑物之间需留下长的人行道，问人行道的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：，） A. 2.7 B. 3.4 C. 2.5 D. 3.1 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数图象上，过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 9. 如图，边长为12的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点B逆时针旋转得到，连结．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是( ) A 6 B. 3 C. 1 D. 10. 如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题） 11. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______． 13. 如图，在长方形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，两弧均交对角线AC于点O．若，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 14. 如图，平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点B在y正半轴上，且，顶点A在x正半轴上，反比例函数经过顶点C，则点C的坐标为______． 15. 在矩形中，，G为上一点，F是上一点，连接交于点E，若，，则的长度为 _________． 三．解答题（共9小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，作出该圆直径． （2）如图2，是所在圆的直径，弦，作出圆的圆心． 18. 2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕．为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动．学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 20. 如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形， ，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F． （1）若，求反比例函数解析式； （2）若点F为的中点，且的面积，求的长和点C的坐标； （3）在（2）中的条件下，过点F作，交于点E（如图②），点P为直线上的一个动点，连接．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 21. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 22. 如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求长． 23. 小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． （1）请求出b和n的值； （2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； （3）点P是小球从起点到落点抛物线上动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？ 24. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求点A，点B的坐标； （2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值； （3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期2月开学考九年级数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 3. 如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”对这条信息的下列说法中，正确的是（ ） A. 仙游明天将有85%的时间下雨 B. 仙游明天将有85%的地区下雨 C. 仙游明天下雨的可能性较大 D. 仙游明天下雨的可能性较小 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率表示事件发生的可能性大小，进行作答即可． 【详解】解：天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为”，说明仙游明天下雨的可能性较大； 故选C． 【点睛】本题考查概率的意义．熟练掌握概率表示事件发生的可能性大小，是解题的关键． 4. 如图，点A，B，C，D是上的点，是的直径，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的直径，可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握直径所对圆周角为直角，同圆中，等弧所对的圆周角相等，是解答本题的关键． 5. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质，求出面积比，即可求解． 【详解】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，， ∴， 则四边形面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形面积比等于相似比的平方，据此即可求解． 6. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是10米，坡面的倾斜角，在距A点10米处有一建筑物．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角，若新坡面下D处与建筑物之间需留下长的人行道，问人行道的长度是（ ）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：，） A. 2.7 B. 3.4 C. 2.5 D. 3.1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角．根据题意可得，设米，则米，米，再根据特殊角的三角函数列式即可计算人行道的长． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∴， 根据题意，可知， 设米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 即， 解得． 所以人行道的长度是米． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．作轴于E，则，即可得到，由题意得出2，即可得出，，设，则，代入即可求得，从而求得B的坐标为2． 【详解】解：如图，作轴于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴2， ∴，， 设， ∴， ∵函数的图象交于点C， ∴， ∴， ∴B的横坐标为2， 故选：B． 8. 抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解． 【详解】抛物线解析式变形为：， 即抛物线对称轴为， 当x=m-1时，有， 当x=m+1时，有， 设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点， 即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称， 当x=0时，有， ∴C点坐标为， 当x=m时，有， ∴抛物线顶点坐标， ∵直线l⊥y轴， ∴直线l为， ∵m-1＜m+1， ∴M点在N点左侧， 此时分情况讨论： 第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图， 由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有， ∴此时不符合题意； 第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图， 由图可知此时M、N点满足， ∴此时不符合题意； 第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图， 或者 ， 由图可知此时M、N点满足， ∴此时符合题意； 此时由图可知：， 解得， 综上所述：m的取值范围为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键． 9. 如图，边长为12的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点B逆时针旋转得到，连结．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， ∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时，， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 10. 如图，抛物线对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④. 【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0， 故①错误 ②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1 ∴点A（－5，0），点B（1，0） ∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0 ∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0 故②正确 ③抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 ＝－2 ∴b＝4a ∵a＋b＋c＝0 ∴ 5a＋c＝0 ∴c＝－5a ∴9a＋4c＝－11a＜0， 故③正确 ④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c， 当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c 整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a， 故④正确 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系． 二．填空题（共5小题） 11. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义运算列出一元二次方程，根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2， ∴（x+2）*3＝ ∴ 即 ∵m，n是方程（x+2）*3＝0的两根， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，可得共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种， ∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，在长方形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，两弧均交对角线AC于点O．若，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，进一步得出,再由勾股定理得出,用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论 【详解】解：根据题意可得 ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴图中阴影部分的面积= 故答案为: 【点睛】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14. 如图，平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点B在y正半轴上，且，顶点A在x正半轴上，反比例函数经过顶点C，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】以的内心为圆心，作的外接圆，交轴于点，连接,过点作轴于点，作，交于点，证明，由,得出，继而由，设，得出解方程即可求解． 【详解】解：如图，以的内心为圆心，作的外接圆，交轴于点，连接,过点作轴于点，作，交于点， ∵，是等边三角形， ∴ 四边形是圆内接四边形， ∴, 又， ∴ , 设， ∴ ,， ∴ ∴ ， ∴, ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的对角互补，等边三角形的性质，反比例函数的性质，求得是解题的关键． 15. 在矩形中，，G为上一点，F是上一点，连接交于点E，若，，则的长度为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得，然后证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质证明，根据勾股定理得，解得，再由，可得，所以，即，可得，进而可以求出的长． 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项，配方、开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：（1）， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 或， ． 17. 请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，是所在圆的两条等弦，其中点分别为，作出该圆直径． （2）如图2，是所在圆的直径，弦，作出圆的圆心． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，连接交圆于点即可； （2）连接、交于点，连接、并延长交于点，连接交于点即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 直径即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 圆心即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及平行线性质、垂径定理等知识，熟练掌握轴对称定义、性质及作图是解决问题的关键． 18. 2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕．为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动．学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）50 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中等级B的人数除以扇形统计图中等级B所占百分比即得本次调查的人数； （2）用总人数减去其它三个等级的人数即得等级C的人数，进而可补全条形统计图； （3）先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出恰好选中甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解即可 【小问1详解】 本次共调查学生＝50（名）， 故答案为：50； 【小问2详解】 C等级人数为（名） 补全图形如下： 【小问3详解】 画树状图为： 由图可知，共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有2种，所以恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 【点睛】本题是统计与概率综合题，主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握统计与概率的基本知识是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 20. 如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形是平行四边形， ，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与交于点F． （1）若，求反比例函数解析式； （2）若点F为的中点，且的面积，求的长和点C的坐标； （3）在（2）中的条件下，过点F作，交于点E（如图②），点P为直线上的一个动点，连接．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）， （3）存在，点P或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据，，可知点A的坐标，代入解析式求解． （2）根据反比例函数的几何意义，转化三角形的面积，列式求解即可． （3）分两种情况，以A为直角顶点和以O为直角顶点，构造相似三角形，列出比例关系可以求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图1，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴ ∴， 根据题意得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 设，如图2，过点F作轴于点M，过点C作轴于点N，则：， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点A，F都在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 存在两种情况， ①A为直角顶点，如图3所示， ∵，点F为中点， ∴点F的纵坐标为， ∵，点P在直线上， ∴点P纵坐标为， 过点P作于点M，过点A作轴于点N， 则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴P． ②以O为直角顶点时，如图4所示， 过点P作轴于点N，过点A作轴于点M， 则，，， ∵， 则， ∴，即， ∴， ∴点P（，）． 综上所述：点P或． 21. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴（）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（）， ∴灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 22. 如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键． （1）连接，根据，可得，再由切线的性质，可得，然后根据等腰三角形的性质可得结论； （2）连接，先证得，再根据可得，，从而得的长，然后由勾股定理可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 是的切线， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 由（1）得，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ． 23. 小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标． （1）请求出b和n的值； （2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标； （3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意，对称轴为，求解参数b，解析式确定参数n； （2）由两解析式构建方程，求解交点的横坐标，进而确定交点坐标； （3）作轴，交于点N，设，则，得，于是，得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即； 当时，，即； 【小问2详解】 解：由题意，得， 解得，（舍去）或，于是， ∴点M的坐标． 【小问3详解】 解：作轴，交于点N， 设，则， ∴． ∴ 当时，S有最大值，即， 此时，． 【点睛】本题考查运用函数性质确定待定参数，运用方程求图象交点，二次函数极值；掌握二次函数的性质、基本的数形结合能力是解题的关键． 24. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）． （1）求点A，点B的坐标； （2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值； （3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）A（-1，0），B（3，0） （2）-3 （3）或或 【解析】 【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标； （2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可； （3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5）．可分和两种情况：当时，抛物线的顶点大于或等于5，把代入，y的值小于或等于5，从而求得结果；当时，将代入抛物线解析式，y的值大于或等于5，从而求得结果． 【小问1详解】 解：抛物线解析式，令， 可得， 解得，， 故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）； 【小问2详解】 对于抛物线，其对称轴为， ∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m， ∴P（1，m）， 将直线l与抛物线解析式联立，可得 ，可解得 或， 故点C坐标为（4，-5）， ∴， ， 当时，可得， 解得； 【小问3详解】 将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN， 结合（1），可知M（0，5）、N（4，5）， ∵， ∴该抛物线的对称轴为，其顶点坐标为， ①当，即时，抛物线顶点在线段MN上，此时抛物线与线段MN只有一个交点； ②若抛物线顶点不在线段MN上， 当时，如图1， 结合抛物线的对称性，可知若与线段MN只有一个交点，则抛物线的顶点大于5，且时，y的值小于或等于5，时，y的值大于5， 即， 解得； ②当时，如图2， 当时，， 若与线段MN只有一个交点，则当时，y的值大于或等于5， 即， 解得； 综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、勾股定理的应用、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $