14.3.2 角的平分线的判定 教案 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角的平分线的判定定理及三角形三条角平分线相交于一点的证明。通过分组作锐角、直角、钝角三角形角平分线并比较准确性导入，衔接三角形角平分线旧知，搭建探究支架。 以动手操作与问题驱动为特色，通过作图观察（数学眼光）、定理证明（数学思维）、符号表达（数学语言）落实核心素养。如动画探究判定定理、规范几何命题证明步骤培养推理能力，证明三线交于一点体现知识整合，助力学生理解逻辑，方便教师教学。

14.3.2 角的平分线的判定 教案 【素养目标】 1．理解角的平分线的判定定理，会根据定理判定一个点是否在一个角的平分线上，从而判定角的平分线或角相等； 2．能区分角的平分线的性质和判定，解决相关问题； 3．通过证明三角形的三条角平分线相交于一点，了解证明三线相交于一点的方法． 【教学重点】 角平分线的判定定理及应用． 【教学难点】 证明三角形的三条角平分线相交于一点． 【教学过程】 任务一：创设情境，导入新课． 三人一组，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线．比一比，谁又快又准！ 怎么比较作图准不准呢？ 在第十三章学习三角形的角平分线时，我们就发现任意三角形的三条角平分线都交于三角形内部一点，为什么呢？ 任务二：探究角的平分线的判定定理． 1．探究：如图(动画展示)，OC是∠AOB的平分线，OC上任意一点P到角两边的距离相等，即PD＝PE.∠AOB内部有一点Q，它到角两边的距离也相等，即QG⊥OA，QH⊥OB，QG＝QH，则点Q在∠AOB的平分线OC上吗？由此，你能得到什么结论？ 归纳： (1)结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上； (2)上述结论是“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题． 2．思考：你能证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”吗？ 提示：证明几何命题的一般步骤： ①明确命题中的已知和求证； ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：画射线OP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL). ∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形的对应角相等). ∴点P在∠AOB的平分线上． 归纳： (1)角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，它与角的平分线的性质定理互为逆定理． (2)“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可以证明一个角的平分线，也可以证明两个角相等，推理格式如下： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE. ∴∠AOP＝∠BOP(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上). 任务三：证明三角形的三条角平分线相交于一点． 思考：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等； (2)△ABC的三条角平分线相交于一点． 提示：角平分线到角两边的距离相等； AP是∠A的平分线吗？ 证明：(1)过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PE⊥BC， ∴PD＝PE. 同理，PE＝PF. ∴PD＝PE＝PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． (2)∵PD＝PF，PD⊥AB，PF⊥AC， ∴点P在∠A的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)， ∴△ABC的三条角平分线相交于一点． 任务四：尝试练习，巩固内化． 解答教材P51练习1、2. 任务五：课堂小结，形成体系． 1．反思与交流： 完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？ 2．知识结构： 【布置作业】 教材P52－P53习题14.3，第2、3、4、8题． 【教学反思】 本课时仍是全等三角形的运用和延续，也解决了同样的问题：证明两个角相等．本课时从“三角形的三条角平分线相交于一点”出发，探索了角的平分线的判定定理，最后运用该定理证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，在这个过程中，学生应能感受数学的奇妙！它能解释许多数量和图形间的现象，如三角形的三个角能拼成一个平角，三角形的三条角平分线相交于一点……以后一定能解释三角形的“内切圆”． 学科网（北京）股份有限公司 $$