1.5.1平面上两点间的距离同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 基础过关练 题组一　两点间的距离及中点坐标公式 1.若△ABC的顶点为A(0,4),B(3,-2),C(5,4),则BC边上的中线长为(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.3　　　　D.4 2.(多选题)直线x+y-1=0上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标可以是(　　) A.(-4,5)　　　　B.(-1,2)　　　　C.(-3,4)　　　　D.(1,0) 3.点A(2,-4)到直线l:mx-y-4m-8=0(m为任意实数)的距离的最大值是　　(　　) A.5　　　　B.2　　　　C.4　　　　D. 4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(2,-2),B(-2,3),C(3,7),则△ABC的形状为　　　　　　.  题组二　两点间的距离及中点坐标公式的应用 5.若点A(2,1)关于直线l:y=kx+b(k,b∈R)的对称点为A'(-4,3),则b=(　　) A.-3　　　　B.-1　　　　C.3　　　　D.5 6.已知一入射光线过点A(2,4),经直线x+y=0反射后过点B(4,2),则入射光线所在直线的方程为　　　　.  7.函数f(x)=-的最大值为　　　　.  8.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角形的欧拉线方程为　　　　　.  9.已知点P在直线 x-y=0上,点A(1,3),B(3,4),则当△ABP的周长取得最小值时,点P的坐标为　　　　.  10.已知直线l经过直线l1:x-2y+3=0,l2:x+y-3=0的交点P,且A(3,2),B(-1,-2)两点到直线l的距离相等. (1)求直线l的一般式方程; (2)若点A,B在直线l的同侧,且Q为直线l上一个动点,求AQ+BQ的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy中,A是射线3x-y=0(x≥0)上的一点,B是射线x+3y=0(x≥0)上一点(A,B都异于点O),P为线段AB的中点. (1)若OA=OB,求直线OP的方程; (2)若点P在直线x+y-2=0上,求AB的最小值. 能力提升练 题组　两点间的距离及中点坐标公式的应用 1.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=2x+m上的两点,若AB=5,则|x2-x1|=(　　) A.5　　　　B.2　　　　C.10　　　　D. 2.已知P,Q是直线l:x-y+1=0上两动点,且PQ=,点A(-4,6),B(0,6),则AP+PQ+QB的最小值为(　　) A.10+　　　　B.10-　　　　C.10　　　　D.12 3.已知点M(2,5),在直线l:x-y+2=0和y轴上各找一点P和Q,则△MPQ的周长的最小值为(　　) A.3　　　　B.5　　　　C.2　　　　D. 4.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的值为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.-1 5.已知0<x<1,0<y<2,则+++的最小值为　　　　.  6.(教材习题改编)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段的中点恰好为P,则直线l的方程为　　　　,此时被截得的线段长为　　　　.  7.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长AB=2,宽AD=1,边AB,AD分别在x轴、y轴的非负半轴上,点A与坐标原点O重合,将矩形折叠,使点A落在线段DC上(含端点)一点G处,设折痕所在直线的斜率为k,若-≤k≤0,则折痕EF的长的取值范围为　　　　.  8.在△ABC中,已知顶点A(2,4),AB边上的中线所在直线的方程为x+2y-5=0,∠ABC的平分线所在直线的方程为2x-y+10=0. (1)求点B的坐标; (2)求直线BC的方程. 答案与分层梯度式解析 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 基础过关练 1.B 2.BC 3.B 5.D 1.B　设BC的中点为D, ∵B(3,-2),C(5,4),∴D(4,1), ∴BC边上的中线AD的长为=5. 2.BC　设所求点的坐标为(x0,y0),则x0+y0-1=0,且=, 两式联立解得或所以所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). 3.B　mx-y-4m-8=0(m∈R)可化为y+8=m(x-4), 令解得故直线l恒过点(4,-8),记B(4,-8),连接AB, 所以A到直线l的距离的最大值为线段AB的长,此时直线l⊥AB. 易得AB==2,所以A到直线l的距离的最大值为2. 解题模板 求点M到动直线l:Ax+By+C=0的距离的最大值,先求l所过的定点N,则所求距离的最大值为线段MN的长,然后由两点间的距离公式求值即可. 4.答案　等腰直角三角形 解析　因为AB==, AC==, BC==, 所以AB=BC,AB2+BC2=AC2,所以△ABC为等腰直角三角形. 5.D　易得直线AA'的斜率为=-,线段AA'的中点为(-1,2),直线l为线段AA'的垂直平分线,所以解得 6.答案　2x-y=0 解析　设B(4,2)关于直线x+y=0的对称点为B'(a,b), 则解得即B'(-2,-4), 连接AB',则直线AB'即为入射光线所在直线,易得直线AB'的斜率为=2, 所以入射光线所在直线的方程为y-4=2(x-2),即2x-y=0. 7.答案　 解析　易得f(x)=-, 表示点P(x,0)到点A(-3,2)和B(1,1)的距离之差,即f(x)=PA-PB,连接AB, 则|PA-PB|≤AB==,当且仅当P,B,A共线时取等号, 所以f(x)的最大值为. 8.答案　x+2y-5=0 解析　设重心为G,易得重心的坐标为,即G.设外心M,因为MA=MC,所以=,解得a=,即M. 所以kGM==-,故欧拉线方程为y-=-,即x+2y-5=0. 9.答案　(3,3) 解析　因为AB为定值,所以当△ABP的周长取得最小值时,PA+PB取得最小值. 设点A(1,3)关于直线x-y=0的对称点为A'(m,n),连接A'B,PA',则PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当A',P,B三点共线时等号成立, 由解得所以A'(3,1), 因为点B(3,4),所以直线A'B:x=3,故点P的坐标为(3,3). 10.解析　(1)由解得 所以交点P(1,2). ①当直线l与直线AB平行时,满足点A,B到直线l的距离相等,此时直线l的斜率与直线AB的斜率相等,易得kAB==1,则直线l的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0; ②当直线l过AB的中点时,满足点A,B到直线l的距离相等,易得线段AB的中点坐标为(1,0),此时直线l垂直于x轴,故直线l的方程为x=1,即x-1=0. 综上所述,直线l的方程为x-y+1=0或x-1=0. (2)因为点A,B在直线l的同侧,所以直线l的方程为x-y+1=0, 设点A关于直线l的对称点为C(x0,y0), 则解得即点C(1,4), 因为AQ+BQ=CQ+BQ≥CB==2, 当且仅当Q,B,C三点共线时取等号,故AQ+BQ的最小值为2. 解题模板 已知P,Q两点到直线l的距离相等,则l有两种情况,一是l过PQ的中点,二是l∥PQ. 11.解析　由题意可设A(a,3a),B,a>0,b>0,则P. (1)若OA=OB,则有=,所以a=, 故==b,==,即P, 故直线OP的方程为y=x. (2)因为点P在直线x+y-2=0上,所以+-2=0,即b=6-6a, 故AB== ==≥=2, 当且仅当a=时等号成立,故AB的最小值为2. 能力提升练 1.D 2.A 3.D 4.AD 1.D　因为A,B是直线y=2x+m上的两点,所以y1=2x1+m,y2=2x2+m, 若AB=5,则(x2-x1)2+(y2-y1)2=(x2-x1)2+[(2x2+m)-(2x1+m)]2=52, 整理得(x2-x1)2=5,故|x2-x1|=. 2.A　不妨设点P(x,x+1),且P在点Q的左边, 因为直线l:x-y+1=0的倾斜角为45°,且PQ=,所以点Q的坐标为(x+1,x+2), 则AP+PQ+QB=++, 设d=+,N(x,x),D(-4,5),C(-1,4), 则d表示直线y=x上一点N(x,x)到D(-4,5)和C(-1,4)的距离之和, 如图,作出点C(-1,4)关于直线y=x的对称点C',则C'(4,-1), 连接DC',C'N,则d=CN+DN=C'N+DN≥DC'==10,当D,N,C'三点共线时等号成立, 故AP+PQ+QB的最小值为10+. 3.D　设点M(2,5)关于直线l:x-y+2=0的对称点为M1(x,y), 则解得所以M1(3,4), 易得点M(2,5)关于y轴的对称点为(-2,5),设为M2. 连接PM1,QM2,由对称性可得PM=PM1,QM=QM2,所以△MPQ的周长为PM+QM+PQ=PM1+QM2+PQ, 如图所示,当M2,Q,P,M1四点共线时,△MPQ的周长最小,最小值为M2M1==. 4.AD　设P,m>0, 则AP==, 令t=m+,由基本不等式得m+≥2=2,当且仅当m=,即m=1时等号成立,故t≥2, 则AP==,t≥2. 若a≤2,则当t=2时,(AP)min==, 令=2,解得a=-1或a=3(舍去); 若a>2,则当t=a时,(AP)min=,令=2,解得a=或a=-(舍去). 综上,满足条件的实数a的值为或-1. 5.答案　2 解析　在平面直角坐标系xOy中,设A(1,0),B(1,2),C(0,2),P(x,y),0<x<1,0<y<2, 则+++=PO+PC+PA+PB,易知四边形OABC为矩形,点P在矩形OABC内(不含边界),连接AC,OB. 因为PO+PB≥OB=,当且仅当点P在线段OB上(不含端点)时取等号,PC+PA≥AC=,当且仅当点P在线段AC上(不含端点)时取等号, 所以PO+PC+PA+PB≥2,当且仅当P是OB与AC的交点时取等号,故所求最小值为2. 6.答案　x+4y-4=0;2 解析　设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知点A关于点P的对称点(-a,2a-6)在l2上, 设B(-a,2a-6), 把点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,所以A(4,0),B(-4,2), 故l的方程为=,即x+4y-4=0. 此时被截得的线段长为AB==2. 7.答案　 解析　当k=0时,点A和点D重合,折痕EF所在直线的方程为y=,折痕EF的长为2. 当k≠0时,设G(a,1)(0<a≤2), 因为A与G关于直线EF对称,所以kAG·k=-1,即·k=-1,解得a=-k, 故G(-k,1)(-2≤k<0),则直线EF与AG的交点为, 故直线EF的方程为y-=k,即y=kx++(-2≤k<0), 因为直线BD的斜率为-,所以当-≤k<0时,折痕端点E在线段OD上,F在线段BC上,如图. 易知F,E, 所以EF2=(0-2)2+=4+4k2, 因为-≤k<0,所以4+4k2∈,所以EF∈. 综上,EF的长的取值范围是. 8.解析　(1)由题意得点B在直线2x-y+10=0上,故可设B(m,2m+10),则AB的中点为. 易知该点在AB边的中线上,∴+2×(m+7)-5=0,解得m=-4, ∴点B的坐标为(-4,2). (2)设点A(2,4)关于直线2x-y+10=0的对称点为E(a,b),则E在直线BC上, ∴即解得 ∴点E的坐标为(-6,8), ∴直线BC的方程为y-2=(x+4),即3x+y+10=0. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$