1.3两条直线的平行与垂直同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.3　两条直线的平行与垂直 基础过关练 题组一　两条直线平行 1.设l1与l2是平面内不重合的两条直线,甲:l1与l2的斜率相等,乙:l1∥l2,则甲是乙的(　　) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.满足下列条件的直线l1与l2中,l1∥l2的是(　　) ①l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8); ②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点; ③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5). A.①②　　　　B.②③　　　　C.①③　　　　D.①②③ 3.若两直线l1:x+2ay+2=0,l2:(3a-1)x-ay-1=0平行,则实数a的值为　　(　　) A.0或　　　　B.0　　　　C.　　　　D.或1 4.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为　　　　　　　　.  题组二　两条直线垂直 5.已知直线l1:3x-y+15=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.将直线l1:x+y-2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线l2,则直线l2的方程是(　　) A.2x-y+2=0　　B.x+y+2=0 C.x-y-2=0　　　　D.2x-y-2=0 7.若直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:ax-6y-1=0垂直,则a=(　　) A.8　　　　B.-8　　　　C.　　　　D.- 8.已知a,b都是正实数,且直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直,则2a+3b的最小值为(　　) A.12　　　　B.10　　　　C.8　　　　D.25 题组三　直线平行与垂直的综合应用 9.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所构成的图形是(　　) A.平行四边形　　B.直角梯形 C.等腰梯形　　D.以上都不对 10.已知直线l1:2x-y+1=0,l2:3x+ay+7=0,l3:bx+2y-1=0,若l1⊥l2且l2∥l3,则a+b的值为(　　) A.-5　　　　B.5　　　　C.-7　　　　D.7 11.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求: (1)AD边所在直线的方程; (2)对角线BD所在直线的方程. 能力提升练 题组　两条直线平行与垂直的应用 1.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与(m,n)重合,则m+n=(　　) A.1　　　　B.2 023　　　　C.4 043　　　　D.4 046 2.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0垂直,垂足为(1,p),则m-n+p的值为(　　) A.24　　　　B.20　　　　C.0　　　　D.-10 3.设集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a=　　　.  4.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是　　　　.  5.已知平面直角坐标系中的三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). (1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限内,求点D的坐标; (2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围. 6.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,5),B(-5,-7),C(3,-3),求: (1)BC边上的中线所在直线的方程; (2)BC边上的高所在直线的方程; (3)∠ABC的平分线所在直线的方程. 7.(2024湖南常德汉寿第一中学月考)在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点分别为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.试判断四边形OPQR的形状. 答案与分层梯度式解析 1.3　两条直线的平行与垂直 基础过关练 1.A 2.B 3.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D 1.A　若平面内两条不重合的直线的斜率相等,则两直线平行,所以甲是乙的充分条件; 若两直线平行,则两直线的斜率可能都不存在,所以甲不是乙的必要条件,所以甲是乙的充分不必要条件. 2.B　对于①,易得kAB==2,但不确定l1与l2是否重合,故①不满足题意; 对于②,易得l1的方程为y=3,故l1平行于x轴,又l2平行于x轴,但不经过P点,所以l1∥l2,故②满足题意; 对于③,由直线的两点式方程得l1:=,即y=x+,l2:=,即y=x+5,所以l1∥l2,故③满足题意. 3.B　由题意得2a(3a-1)=-a,即6a2-a=0,解得a=0或a=. 经检验,当a=时,直线l1与l2重合,不满足题意,故实数a的值为0. 4.答案　3x+4y-24=0 解析　解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-x-的斜率为-,∴设所求直线方程为y=-x+b. 令x=0,得y=b;令y=0,得x=. 由题意知,b>0且>0,∴b>0,∴×b×=24,∴b=6, ∴所求直线的方程为y=-x+6,即3x+4y-24=0. 解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9). 令x=0,得y=-;令y=0,得x=-. 由题意得解得m<0, ∴××=24,∴m=-24, ∴所求直线的方程为3x+4y-24=0. 5.A　易得l1的斜率为,因为l2⊥l1,所以l2的斜率为-=-,设l2的倾斜角为θ,则tan θ=-,又0≤θ<π,所以θ=. 6.C　由已知得l1的斜率为-1,l1⊥l2,则·=-1,所以=1,又因为l2过点(2,0),所以由直线的点斜式方程可知l2的方程为y-0=x-2,即x-y-2=0. 7.A　因为直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:ax-6y-1=0垂直,所以3a-24=0,所以a=8. 8.D　因为直线2x-(b-3)y+6=0与直线bx+ay-5=0垂直,所以2b-a(b-3)=0,即2b+3a=ab,因为a,b都是正实数,所以+=1, 所以2a+3b=(2a+3b)=4+++9≥2+13=25. 当且仅当a=b=5时,等号成立,此时2a+3b取最小值,为25. 9.B　由题意得kAB==,kCD==,kAD==-3,kCB==-,则kAB=kCD,kAD≠kCB,kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形. 10.D　因为l1⊥l2,所以2×3+(-1)×a=0,解得a=6, 则l2:3x+6y+7=0, 又l2∥l3,所以=≠-,解得b=1,故a+b=7. 11.解析　(1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC==2,∵AD∥BC,∴kAD=2. ∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0. (2)易求得kAC==-. ∵BD⊥AC,∴kBD=. 易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1), ∴对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0. 能力提升练 1.C　设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB==-1, 由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行, 所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043. 2.B　由两直线互相垂直得m×2-4×5=0,解得m=10, 由题意知点(1,p)在直线mx+4y-2=0上,所以10+4p-2=0,解得p=-2, 将(1,-2)代入2x-5y+n=0,得2+5×2+n=0,解得n=-12,所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20. 3.答案　-2或4 解析　集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合, 集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4. 易错警示 集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略. 4.答案　 解析　设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E, 如图, 则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°, 所以2∠ECB+2∠EBC=180°, 由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°, 所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0, 又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0, 联立解得 故B,C,所以kBC==. 5.解析　(1)如图,当点D在第一象限内时,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD, 由题意得kAB==1,kAC==5, 设D(x,y),则解得故点D的坐标为(3,5). (2)由题意得为直线BE的斜率,即点B与线段AC上任一点连线的斜率. 易知当点E由A点向C点移动时,直线BE的斜率逐渐减小. 当点E与点C重合时,直线BE的斜率最小,为kBC==-; 当点E与点A重合时,直线BE的斜率最大,为kAB=1. 故直线BE的斜率的取值范围为,即的取值范围为. 6.解析　(1)由中点坐标公式得BC的中点为(-1,-5), 又A(1,5),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即5x-y=0. (2)易得kBC==,则BC边上的高所在直线的斜率为=-2, 又BC边上的高所在直线过点A(1,5),所以直线方程为y-5=-2(x-1),整理得2x+y-7=0. (3)易得kAB==2,kBC=,∠ABC的平分线所在直线的斜率存在,设为k,因为角平分线所在直线与直线AB,BC所成的角相等, 所以根据夹角公式得=,整理得|k2-4|=|4k2-1|,即k2-4=4k2-1或k2-4=1-4k2, 所以k2=1,解得k=±1, 因为角平分线所在直线的斜率应该在kAB和kBC之间,所以k=1, 又角平分线所在直线过点B(-5,-7),所以所求直线方程为y+7=1×(x+5),即x-y-2=0. 7.解析　当t>0且t≠时,由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=. ∴kOP=kQR,kOR=kPQ, ∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR, ∴四边形OPQR为矩形. 令kOQ·kPR=-1,得·=-1,无实数解, ∴OQ与PR不垂直, ∴四边形OPQR为矩形. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$