第1章 2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用（同步训练）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（北师大版）

参考答案 3.任D,E分到灵AB,C的中克， 品DE是△AH口峰◆位直 同步训练 ÷DEAC,∠EC=∠FtD 第一章持殊平行四边形 :DFWAC,品四边形DFCE是干行四道制 1菱形的性质与判定 :CD年9∠CI,÷∠D=∠PCD, 落1课时菱慰的性质 ∠ECa∠ECD,DECE, t023,-5)美c4.41》53)16 二时边DFCE是菱形 5.室明，”程读利A机CD走菱形 4.A5.1s AB=AD.∠B=∠D 6,程制：”回德则AD是平行姆边参 点△ABE和△ADF中， AD-nC.ADBC. 片∠AB=∠AFD,∠B=∠D.AB=AD, :DE-BF,÷Ag=CF △ABR△ADF(AA5.BE-DF, 民AECF,品时边毒AC下是年片臂动利 6.D788.D【应式1A9.B10.A :ACLF,平行进形AF是菱制 11朝，1》这明，中图，楼BF 7,因边触等的西边形是黄影 8赶酮：△AC,△E都是等线三A想 ABAC-BCED-DC-EC. :E,F分利为AC,C的中A, EF泰重平分AB,AF=BF ÷-C=C.EF=℃-ED=BC, .AD=AB,∠DAF=∠AF 品m边形EFCD是菱形， AF=AF,△DLF△BF(5AS,DF=F 2A-DF gcn号 42》7万 I1证明：A一AC,AD是C姓土的中我， AD泰重年C,EBEC,FB. :CF8HR,:∠D=∠FD,∠EBD-∠CD TDI=DC,△EBDa△CD(AAS,EB=FC, EB=F-P印-C,二进附BP是夏型 同边郑ABCD是菱非：∠BAD=120 2解，1)送月，W∠B=90,∠A=0, ∠C-∠kD-∠A度C-∠kCB-o, 4∠C-90.AB-2AC-2m ∠1+∠EC=60”,AD=AC △AEF★手境三角形， 由通意，得CD-41,4E-24m ∠BAP=∠2+∠EAC=m°.∠1=∠2 益△ABE和△CF中， ÷AE=DF ∠1=∠2，AB=AC,∠ABC-∠CD, △AE△ACF(AsA.BE=C 网线形EFD病是花移，北时一智 {2)得选形ACF的而制不复，雨所为4区△CEF的月 第3浸时菱形的性缓判定的综合税用 长发量发化.最小健角4+2召 1.日2223.964.85.AB=D 第2课时菱慧的河定 6解：量减小浩的说法 1.622 答常不生一，示到： (210 04■C,O店■D,品n地形ACD是平行霄进形 13.解，(1)①30g8/打我1041 又：AC⊥月D,:平行m道制AD是菱形， cnDc1/W. E解读2工补克泰得“AB一8C",江明加下： :AC⊥D,-(0D,AC◆直平◆D, 第2是时矩形的判贸 AB-AD.CB-CD. 102.矩形 AB-BC..AB-BC-CD-DA. 正期，0是进AB的中克，(M一U非 二学姓慰A边是菱到 在△A0和△BC中，∠A=∠B0,QMH 7.B8,169.85 ∠AD∠C.△OD△刚OC(ASA). 10.解：(1DL明，，ADgC,CDAB, AD-BC. ”弹造形A仪D灵平件同速形，六A出■D N∠A=∠B=90,∠A+∠B=188, YCE DCABCE. ADC品每ACD是平升形 ABCD,AB成CE, ”∠A-,六母边数ACD是规对 六雪姓琴ACEB是平行理姓琴 4.0 :A山AC,牛背四边形ACEB是菱参 5证阴：A)C,0=D (267 “国丝形AD是平针回随形， n0意0a空 '∠An=∠DA0+∠AO-2∠OAD ,∠OMD=∠ADO,AM0=O,,AC=BD. 2矩形的性质与判定 品平什口边制ACD是想彩， 第1藏时矩形的性威 泰非 1.82.3 7证，臂形ABCD是平行形，A8CD 3.证明：？■边形ACD是雄形， ∠AFC+∠FCE-180',∠EAF+∠ABC-1u AH-CD,∠H=∠C-0 AFLCD.CF⊥AB,÷∠AF℃-∠Aa-0', B-CP...RE+EF-CP+8F...B-CE. ,∠CE=∠EAE=90,时边形APCE无爬形 △AF2△DCE(SMs,AF=DE EA 9BC-2AB 4c566号 10,(10深-(F,冠由略 ()当点0然动到AC的中点时，四边形A℃F是矩形 7,证明：”四地利ACD是=形，对希线C,BD和交 理油韩 点0.∴QM==0B-00 11.解：(10132 ￥AE⊥HD,DF⊥AC,∠AD-∠DHO-90. 在△AOE和△DOF中， 2①江用：由地喜，择∠0-7∠AD.∠HBF Y∠A=∠DFO,∠M0E=∠DOF,AO=DO, }∠A,∠e-∠IFe,∠t-Z∠GD. ÷△AOR2△DF(AA..OE=0F, OE-C0-OF.P E-CF ∠EHG∠HEF=∠EFG=∠FGH=9o', 进FFGH是师 &方9.1t6.c1 013 12解，(1)证明：T填每ABD是经形， 第3课时版慰的性帽与判定的综介应用 ∴∠B=∠,AD=96,∠HAE十∠DMF 1D2.A3,C41 DF⊥AR,∠AFD=0°=∠B. 5(1030(215 ÷∠DAN+∠ADF=0',∠AE=∠AD 长解，(1》其号.(CE应00，DE&AC YAD=AE,品△ABE△DFACAASI,DF=AH 得设形ED美平行刚这形， () 时边形ABCD是菱形，AC⊥D,群∠(D=0': ,时边题ABC7D是者卷，∠E=0”,AB-C, 3.有一短第边帽等的矩到是正方形 ,DEHC,是C=2DE 月地和CED是能形 ∠1+∠AEB=90, 4证明：加国，填楼C,交BD于A0, 美WBEw2DE,品CmBE :R是C的中A,H是AB的中A F=B配，F-C, .A开=B=BB=C, “,得进形FE是平行时边移 7.B8.89.24【变式】7 设.解：《1)江啊：”口速看ABCD是平计帽边形： ÷∠a霍-∠-mo-5 义BE FE,四这形CFE是歪利 (2185 .AB-CD.ABCD.OB-OD.0-OC. ∠AHE=15-∠BHE=135, :雪填每AD是瓷形 .∠A8e=CCDF. :∠AEF=0',品∠2+∠AEB-0°.∠1=∠2， A0=O,0)=DO,AC⊥HD 5号6257 E,产拿解为排，加物中点 :F+g∠i,∠F0G-∠ai-45 YBEDF.BE0BDF+DO..EOFO. R解：1)这明：”四境形AD是平什■边形 ÷BE-言06，D球-0w,六8B-DR ·∠ECP-140-∠-1对，∴∠AF-∠F, .雪娃与AF是十行国边形， .AD∥C,,∠AE=∠PCE,∠ME=∠CFE 虚△AE和△CDF中， :AC⊥D,,年行叫放每A节灵羲琴 E为A段CD的中在，DE=CE, △AHE☑△ECF(ASM,AE=EF NAB=D,∠ABE=∠CDF,BE=DF, ()属之.理南略 在△AOE和△(E中。 △ADE≌△FCE(AAS,AE=FE △ABEa△CDF(5AS) 0M=0C.∠0F=∠8-90'，0R=0呢- ,四进形ACFD是年背回边思. 2解：山1)位明：令两种桥礼时免 ()事A-2AR时，口晚形位5是起相，理由略 AAOa△UE(sAs),÷∠AF-∠EF ”∠ACF=0,平件同边惠AC下D是起形. ①著1，点F点楼以C上 11.解：1》◆行回地制 T时边那AD是瓦含都， 又∠，AED=4,∠ABC-g0, (2)45 山D当点E在点F走侧时，如苦1：走接G川： 山AB=BC,∠LBE=∠CE=45,∠ABC=90 4篷形A下是正有形 3G10.A11.G ,对边形ACD是想利， :BE为0养境.△ABEQ△CB, 5.8【空式】0602 12黑(1)递明，得魂帮联D灵正素形 ∠B-90,AD=BC,ADC AB=AD,∠HAE-∠DMB=5 二∠AB=∠CE. 7.任时，？可边形ACD是属本每， AE=AB,∴△ABB☑△ADE(SAS,BB=D5 ACAB+BC10.ACBH. ,EFLAE,∠ABC=∠AEF=6, AD-CD-BE∠BCD-∠ADC0', G,H分到是AD,C的中点，AGmB月 ∠HAE+∠BFE10. ∴.△AD,△以D为平暖直角三角形 (2)道利，如画，过AE作EM上C于AM,ENLD ■晚行ABHG是址每，GH=AB6, :∠EFC+∠FE-1S,∠BAE-∠FC ÷∠F∠CDF-4 于AN 二毒■边形2G日是短形时，EF=GH一4， ∠IAB-∠BCE,∠CE-∠EFC, Y∠E0,DBC.∠EDC一∠ED=45, A=CF=1.F=10==6.m2 ∴∠CE=∠FDr=∠E-o, 六时边移DE为矩U. ED=EC,.雪填制DFCE是是家形， 回进制ACD是正有利，∠MN=, 4,D9.3,F10,AB的中意 ∠AkX=∠ENE=∠ENC=∠BND=BO' 11.解：(1)④ ∠AMEN=95,六∠FEM+∠FEN=0, 西》AE在AF右的时，如图2，地楼G (2)证明，量BF与CE交于是O图g). 华B是卫有数A度D对角线上的A,山M-EV 响①可得，F=t+一0=2M一10=6.1=8. 心如阔2，AF我罐C组的延系线上 :雪速形AD是正方形， ∠DEP=B,∠DEN+∠FEN-s0', 橙上，若国边形求H是想形，则《的覆为2友怎 AE⊥EF,∠AFF=0 片AI=C=AD,∠A-∠AC=0 ”∠DEN=∠FEM ,国边每AD是正产到， YAE DFBEAF. 在△DEN和△FN中， 3正方形的性质与列定 ∠ABF=∠ABC=0°=∠AEF,CABE=∠CBE △ABFa△HCE(8AS),.∠ABF=∠BCE ”∠DNE=∠FB,EV=M.∠DEN=∠EM, 5时，BC 第1课时正方形的作雨 ,∠ABF+∠CNP-“, △DENa△FEMCASA),,DEFE, :BE是公养速，△LEa△CE(8MS ∠BCE+∠CHF■90，∠OCg,.BFLE “,桶耐pG是正术参： 1.A2AkA【宣式】3知发1504k1.-1)5 :∠A8-∠P,÷∠AE-∠F 义'∠EC一如，日填形C下E是“双是四连W” 们)CE十G的填无是值，文值为42 6.4w27.[2,6)或(-2.-2》8.D9.B106 ,△IAEQ△CE,∠IAE-∠BCE 11解，1边明，图，取AB的中在程，4接EH. ∠Fm∠CE,EFmC 寿在.点D片堂格万(8晋》m 13.A14.A15.C16.D 2E气32 章卡复习 na.m-0a要 第1累时正有形的判定 1.02.D110 19.解：(1)显明：：G⊥CP,÷∠C9=00对， .D2ACBD(答客不一) 4.相，(1}a明，D,E◆别是AB,AC的中克， ,∠APQ+∠BC=0 餐学多年上(S)③第3课时 矩形的性 A知识分点练 夯基础 知识点矩形的性质与判定的综合应用 1.下列说法正确的是 A.矩形的对角线互相垂直且平分 3矩形的邻边一定相等 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 2.如图，在LABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB的 度数为 () B A.35 B.40 C.45 D.509 3.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O,有下列条件：①∠11∠3=90°；②BC21 CD2=AC2,③∠1=∠2，①AC⊥BD.其中能 判定四边形ABCD是矩形的个数是() D A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E为OB的点，且AE⊥BD,BD= 4,则CD= 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,连接OE (1)若∠CAE=15°，则∠CBD= (2)若BO=BE,则∠CAE 14一本·初中数学9年领上两BS散 质与判定的综合应用 6.(教材P27复习题T11变式)(2024·沈阳大东区期中) 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，过点 C作CE∥BD,过点D作DE∥AC,CE与DE 相交于点E. (1)求证：四边形(OCED是矩形； (2)若AB=1,∠ABC=60°，求DE的长 B能力综合练 练思雏 7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,过对 角线的父点O作EF⊥AC,交AD于点E,交 BC于点F,则DE的长是 () A.1 B.A C.2 l2 第7题图 第B题图 8.如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形， ∠A=60°，∠D=90°，AB=12.若E,F,G,H 分别为边AB,AC,CD,BD的点，则四边形 EFGH的面积为 A.36(√3+1) B.18(√3+1) C.12(3+1) D.9(w3+1) 9.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,D为AB边上任意一点，过点D分别 作DE⊥AC丁点E,DF⊥BC丁点F,则线段 EF的最小值是 第9邀 变式题图 [变式]如图，在矩形ABCD中，E,F分别是 边AB,AD上的动点，P是线段EF的中点， PG⊥BC,PH⊥CD,垂足分别为G,H,连接 GH若AB=8,AD=6,EF=6,则GH的最小 值是 10.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O,E,F分别为()B,(OD的中点，连接 AE并延长至点G,使EG=AE,连接 CF,CG (1)求证：△ABE≌△CDF (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边 形EGCF是知形？请说明理山. C拓展探究练 提素养 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E,F 是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同 时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长 度，运动时问为t秒，其中0≤t≤10 (1)若G,H分别是AD,BC的中点，则四边 形EGFH的形状一定是 (E,F相遇时除外)； (2)在(1)的条件下，若四边形EGFH是矩形， 求t的值； (3)在(1)的条件下，若点G向点D运动，点 H向点B运动，且与点E,F以相同的速度同 时出发，当四边形EGFH是菱形时，求1 的值 鳍一章特殊平行四边形15