5.1 认识方程 预习学案 2025--2026学年北师大版七年级数学上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第五章 一元一次方程 1. 认识方程 知识点预习 一、方程的核心概念 1. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式（如 10x+15(45−x)=47510x+15(45−x)=475）。 本质：用代数式描述现实问题中的等量关系。 2. 列方程的三步骤（教材实例）： 步骤 秋游门票问题 长方形操场问题 1. 分析等量关系 学生票花费 + 成人票花费 = 总费用 475 元 长 × 宽 = 面积 5850 m² 2. 设未知数 设学生人数为 x，则老师人数为  设宽为 x m，则长为  m 3. 列出方程 二、一元一次方程的定义与识别 3. 一元一次方程的定义： 同时满足以下三个条件的方程——只含 1 个未知数（一元）；方程中的代数式都是 整式（分母不含未知数）；未知数的最高次数为 1（一次）。 三、方程的解与解方程 概念 定义 教材示例 方程的解 使方程左右两边值相等的未知数的值 验证 是否为 的 解方程 求方程解的过程 未直接求解，但强调“如何得到解” 四、列方程解实际问题的类型（随堂练习） 4. 古代数学问题（古埃及纸草书）： 等量关系：数 + 数的  = 19 →  5. 比赛积分问题： 等量关系：胜场分 + 平场分 = 总积分 →  五、总结 本节聚焦 方程的定义、列方程方法、一元一次方程的识别，为后续学习更复杂方程奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．等式都是方程 B．不是方程就不是等式 C．方程都是等式 D．未知数的值就是方程的解 2．下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 3．下列选项中是一元一次方程的是（　　） A．2x+3 B．2+3＝5 C．2x+3＞7 D．2x+3＝9 4．下列方程：①5x+1＝2，②x﹣2y＝0，③x2﹣4＝6，④，⑤，是一元一次方程的有几个（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知（t﹣1）x|t﹣2|﹣5＝16是关于x的一元一次方程，则t＝（　　） A．3 B．﹣1 C．1或3 D．1或﹣1 6．若x＝1是方程ax+3x＝2的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5 7．若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．若（a﹣2）x＝5是关于x的一元一次方程，则a的值不可能为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 9．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列说法正确的个数是（　　） ①2x﹣5y+1＝0是方程； ②25与x5是同类项； ③单项式的系数是，次数是4； ④﹣4x2+3y2+2z是二次二项式； ⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k值为任意实数． A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 二、填空题预习（24分） 11．请写出一个含有未知数y的一元一次方程：　 　 ． 12．若方程2xk﹣2﹣1＝0是一元一次方程，则k的值是 　 　 ． 13．小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：10﹣▲＝4x﹣3，▲处被污染看不清．若方程的解是x＝3，则▲处的数字应是 　 　 ． 14．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　 　 ． 15．一列方程如下排列： 1的解是x＝2， 1的解是x＝3， 1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　 　 ． 16．下列说法： ①若|a|+a＝0，则a为负数； ②一列整式为2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5，﹣64x6，…，则这列整式的第100个式子为﹣2100•x100； ③若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝0或m＝2； ④某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店盈利了10（m﹣n）元． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 三、解答题预习（46分） 17．若xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程，求这个方程的解． 18．嘉琪在做课本上的随堂练习解方程：2﹣（■﹣x）＝﹣2时，不小心将墨迹盖住了一个数字，跟同桌咨询后得知该方程的解为x＝﹣3，求“■”处被墨盖住的数应该是多少？ 19．已知a是非零整数，关于x的方程ax|a|﹣bx2+x﹣2＝0 是一元一次方程，求a+b的值与方程的解． 20．已知代数式M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）． （1）化简M； （2）如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求M的值． 21．小艺在解关于m的方程时，误将﹣2m看作+2m，得方程的解为m＝1． （1）请帮小艺求c的值． （2）请帮小艺求方程正确的解． 22．阅读下列材料： 关于x的方程 x3+x＝13+1的解是x＝1； x3+x＝23+2的解是x＝2； x3+x＝（﹣2）3+（﹣2）的解是x＝﹣2； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于x的方程x3+x＝43+4的解为 　 　 ． （2）比较关于x的方程x3+x＝a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是 　 　 ． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于x的方程（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第五章 一元一次方程 1. 认识方程 知识点预习 一、方程的核心概念 1. 方程的定义： 含有未知数的表示量相等的等式（如 10x+15(45−x)=47510x+15(45−x)=475）。 本质：用代数式描述现实问题中的等量关系。 2. 列方程的三步骤（教材实例）： 步骤 秋游门票问题 长方形操场问题 1. 分析等量关系 学生票花费 + 成人票花费 = 总费用 475 元 长 × 宽 = 面积 5850 m² 2. 设未知数 设学生人数为 x，则老师人数为  设宽为 x m，则长为  m 3. 列出方程 二、一元一次方程的定义与识别 3. 一元一次方程的定义： 同时满足以下三个条件的方程——只含 1 个未知数（一元）；方程中的代数式都是 整式（分母不含未知数）；未知数的最高次数为 1（一次）。 三、方程的解与解方程 概念 定义 教材示例 方程的解 使方程左右两边值相等的未知数的值 验证 是否为 的 解方程 求方程解的过程 未直接求解，但强调“如何得到解” 四、列方程解实际问题的类型（随堂练习） 4. 古代数学问题（古埃及纸草书）： 等量关系：数 + 数的  = 19 →  5. 比赛积分问题： 等量关系：胜场分 + 平场分 = 总积分 →  五、总结 本节聚焦 方程的定义、列方程方法、一元一次方程的识别，为后续学习更复杂方程奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．等式都是方程 B．不是方程就不是等式 C．方程都是等式 D．未知数的值就是方程的解 【解答】解：A选项错误，含有未知数的等式才是方程； B选项错误，含有未知数的等式才是方程； C选项符合题意； D选项错误，代数式中的未知数的值就不是方程的解； 故选：C． 2．下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意； B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意； C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意； D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 3．下列选项中是一元一次方程的是（　　） A．2x+3 B．2+3＝5 C．2x+3＞7 D．2x+3＝9 【解答】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 4．下列方程：①5x+1＝2，②x﹣2y＝0，③x2﹣4＝6，④，⑤，是一元一次方程的有几个（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①5x+1＝2，是一元一次方程； ②x﹣2y＝0，含有两个未知数，不是一元一次方程； ③x2﹣4＝6，未知数的次数最高是2，不是一元一次方程； ④，不是整式方程，即不是一元一次方程； ⑤，是一元一次方程； 一元一次方程有：①⑤，共2个， 故选：C． 5．已知（t﹣1）x|t﹣2|﹣5＝16是关于x的一元一次方程，则t＝（　　） A．3 B．﹣1 C．1或3 D．1或﹣1 【解答】解：∵方程（t﹣1）x|t﹣2|﹣5＝16是关于x的一元一次方程， ∴t﹣1≠0且|t﹣2|＝1， ∴t＝3， 故选：A． 6．若x＝1是方程ax+3x＝2的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．﹣5 【解答】解：把x＝1代入原方程得：a+3＝2 解得：a＝﹣1 故选：A． 7．若关于x的方程2xm﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：根据题意得： m﹣1＝1， 解得：m＝2． 故选：D． 8．若（a﹣2）x＝5是关于x的一元一次方程，则a的值不可能为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【解答】解：由题意可得：a﹣2≠0， 解得：a≠2， ∴a的值不可能为2， 故选：A． 9．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1， 解得：★＝1， 即★处的数字是1， 故选：A． 10．下列说法正确的个数是（　　） ①2x﹣5y+1＝0是方程； ②25与x5是同类项； ③单项式的系数是，次数是4； ④﹣4x2+3y2+2z是二次二项式； ⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k值为任意实数． A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 【解答】解：①2x﹣5y+1＝0是方程，正确； ②25与x5不是同类项，原说法错误； ③单项式的系数是，次数是4，正确； ④﹣4x2+3y2+2z是二次三项式，错误； ⑤关于x的方程kx+2＝k是一元一次方程，则k≠0，原说法错误； 综上，正确的有①③，共2个， 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．请写出一个含有未知数y的一元一次方程：　y+3＝0（答案不唯一）　 ． 【解答】解：含有未知数y的一元一次方程为可以为：y+3＝0或y﹣3＝0等． 故答案为：y+3＝0（答案不唯一）． 12．若方程2xk﹣2﹣1＝0是一元一次方程，则k的值是 　3　 ． 【解答】解：∵方程2xk﹣2﹣1＝0是一元一次方程， ∴k﹣2＝1， 解得k＝3． 故答案为：3． 13．小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：10﹣▲＝4x﹣3，▲处被污染看不清．若方程的解是x＝3，则▲处的数字应是 　1　 ． 【解答】解：把x＝3代入10﹣▲＝4x﹣3得： 10﹣▲＝9， 解得：▲＝1， 故答案为：1． 14．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2025﹣6a+2b的值是 　2021　 ． 【解答】解：∵x＝3是方程ax2﹣bx＝6的解， ∴a×32﹣3b＝6，即3a﹣b＝2， ∴2025﹣6a+2b ＝2025﹣2（3a﹣b） ＝2025﹣2×2 ＝2025﹣4 ＝2021． 故答案为：2021． 15．一列方程如下排列： 1的解是x＝2， 1的解是x＝3， 1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　1　 ． 【解答】解：由一列方程如下排列： 1的解是x＝2， 1的解是x＝3， 1的解是x＝4， 得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2， 解是x＝2017的方程：1， 故答案为：1． 16．下列说法： ①若|a|+a＝0，则a为负数； ②一列整式为2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5，﹣64x6，…，则这列整式的第100个式子为﹣2100•x100； ③若（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝0或m＝2； ④某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m＞n）的价格进了同样的60包茶叶，如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店盈利了10（m﹣n）元． 其中正确的是 　②④　 （填写序号）． 【解答】解：∵当a≤0时，|a|+a＝0，﹣a+a＝0， 故①说法错误； ②观察一列整式为2x，﹣4x2，8x3，﹣16x4，32x5，﹣64x6，…，可知：当n为奇数时，第n个单项式的系数是2n，当n为偶数时，第n个单项式的系数为﹣2n，字母x的指数为n， ∴这列整式的第100个式子为﹣2100•x100， 故②说法正确； ③∵（m﹣2）x|m﹣1|﹣3＝0是关于x的一元一次方程， ∴， 由①得：m≠2， 由②得：m＝2或0， ∴m＝0， 故③错误； ④由题意可知：甲乙进货的总进价为（40m+60n），甲乙总售价为：元， ∴总利润为：（50m+50n）﹣（40m+60n） ＝50m+50n﹣40m﹣60n ＝50m﹣40m+50n﹣60n ＝（10m﹣10n） ＝10（m﹣n）元， 故④说法正确， 综上可知：正确的是②④， 故答案为：②④． 三、解答题预习（46分） 17．若xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程，求这个方程的解． 【解答】解：∵xm﹣3﹣5＝2m是关于x的一元一次方程， ∴m﹣3＝1，解得m＝4， ∴原方程可化为x﹣5＝8， 解方程得x＝13． 18．嘉琪在做课本上的随堂练习解方程：2﹣（■﹣x）＝﹣2时，不小心将墨迹盖住了一个数字，跟同桌咨询后得知该方程的解为x＝﹣3，求“■”处被墨盖住的数应该是多少？ 【解答】解：将x＝﹣3代入原方程得：2﹣（■﹣3）＝﹣2， ■﹣（﹣3）＝4， ■+3＝4， ■＝1， ∴“■”处被墨盖住的数为1． 19．已知a是非零整数，关于x的方程ax|a|﹣bx2+x﹣2＝0 是一元一次方程，求a+b的值与方程的解． 【解答】解：（1）a＝b，|a|＝2， 当a＝2时，b＝2，此时a+b＝4，方程的解为x＝2； 当a＝﹣2时，b＝﹣2，此时a+b＝﹣4，方程的解为x＝2； （2）|a|＝1，b＝0， 解得，a＝±1，b＝0； 当a＝1时，由原方程，得x+x﹣2＝0，解得x＝1， a+b＝1+0＝1，即a+b＝1； 当a＝﹣1时，由原方程，得﹣x+x﹣2＝0，不符合题意． 20．已知代数式M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）． （1）化简M； （2）如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求M的值． 【解答】解：（1）M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）＝3a﹣6b﹣b﹣2a＝a﹣7b； （2）由题意得：a+1＝0，b﹣2＝1， 解得：a＝﹣1，b＝3， 则M＝﹣1﹣7×3＝﹣22． 21．小艺在解关于m的方程时，误将﹣2m看作+2m，得方程的解为m＝1． （1）请帮小艺求c的值． （2）请帮小艺求方程正确的解． 【解答】解：（1）把m＝1代入看错的式子中， 得：， 解得：； （2）把代入原方程得：， 去分母得：6﹣（2m﹣4）＝2﹣6m， 去括号得：6﹣2m+4＝2﹣6m， 移项得：﹣2m+6m＝﹣10+2， 合并同类项得：4m＝﹣8， 解得：m＝﹣2． 22．阅读下列材料： 关于x的方程 x3+x＝13+1的解是x＝1； x3+x＝23+2的解是x＝2； x3+x＝（﹣2）3+（﹣2）的解是x＝﹣2； 以上材料，解答下列问题： （1）观察上述方程以及解的特征， 请你直接写出关于x的方程x3+x＝43+4的解为 　x＝4　 ． （2）比较关于x的方程x3+x＝a3+a与上面各式的关系，猜想它的解是 　x＝a　 ． （3）请验证第（2）问猜想的结论， （4）利用第（2）问的结论， 求解关于x的方程（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2的解． 【解答】解：（1）根据阅读材料可知： 关于x的方程x3+x＝43+4的解为x＝4； 故答案为：x＝4； （2）关于x的方程x3+x＝a3+a它的解是x＝a； 故答案为：x＝a； （3）把x＝a代入等式左边＝a3+a＝右边； （4）（x﹣1）3+x＝（a+1）3+a+2整理，得 （x﹣1）3+x﹣1＝（a+1）3+a+1， 所以x﹣1＝a+1， 解得x＝a+2． 学科网（北京）股份有限公司 $$