2.6.1双曲线的标准方程 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的定义、几何图形及标准方程，通过类比椭圆知识引入，引导学生自主辨析定义中“绝对值”及常数条件对轨迹的影响，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料设计注重自主探究与逻辑推理，通过定义辨析发展数学抽象能力，类比椭圆推导方程培养数学思维，分层习题（A/B组）与轨迹问题提升模型意识，助力学生深化数形结合思想，提升解决实际问题的能力。

选修一 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 【课标要求】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； 2.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合思想. 【学习目标】 1.通过阅读课本第144-148页，勾画并理解双曲线的定义，并学会应用双曲线的定义解题； 2.类比椭圆的标准方程的推导过程推导双曲线方程，会求两种形式的双曲线标准方程. 【自主学习】 1． 双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足___________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的__________，两个焦点的距离__________称为双曲线的焦距. 思考1：在双曲线的定义中 ①，动点P轨迹是_________________________________________________________; ②，动点P轨迹是_________________________________________________________; ③常数，动点P轨迹是__________________________________________________________. 思考2：若去掉定义中的“绝对值”，其余条件不变，得到的轨迹是什么？ 2.双曲线的标准方程 问题1.类比椭圆标准方程的推导方法，尝试推导双曲线的标准方程： 问题2.熟记双曲线的标准方程的两种形式，完成表格. 焦点的位置 焦点在轴 焦点在轴 标准方程 图形 焦点坐标 ，，关系 焦点位置的判定 【预习评测】 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． (　　) (2)双曲线标准方程－＝1中，a，b的大小关系是a>b>0，且 (　　) 2.已知双曲线方程为,如果曲线上一点P到其中一个焦点的距离为8，则到另一个焦点的距离为_________________. 3．(1)双曲线－y2＝1的焦距为____________，焦点坐标为_________________ (2)双曲线的焦距为____________，焦点坐标为_________________ 【典例剖析】 题型一：求双曲线的标准方程 例1.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是（-3,0）、（3,0），且双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于4； (2)双曲线的一个焦点坐标是（0，-6），且双曲线经过点A(-5 ，6). ( 2 ) ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 题型二：与双曲线有关的轨迹问题 例2.已知F1(－4,0)和F2(4,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=6,求动点P的轨迹方程. 跟踪训练.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为_______________________. 【课堂随测】 1.已知双曲线与椭圆有相同的焦点,求的值. 2.若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2,2) 【课后巩固】 A组： 1.方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）. 2. 过双曲线的右焦点作x轴的垂线，分别求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离. B组： 4.双曲线的一个焦点坐标是,则的值为 . 5. 6.已知动圆M过定点，且和定圆相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_______________. 7.如图所示，某中心O接到其正西､正东､正北方向三个观测点A，B，C的报告：A，C两个观测点同时听到了一声巨响，观测点听到的时间比观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为米/秒，各观测点到该中心的距离都是米，设发出巨响的位置为点，且A，B，C，O，P均在同一平面内.请你确定该巨响发生的点的位置. 【课堂总结】 ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$