15.3.2等边三角形 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.2等边三角形 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是边AB上的高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　） A．28° B．31° C．34° D．38° 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5，用图示的尺规作图方法在边AB上确定一点D．则△ACD的周长为（　　） A．10 B．15 C．16 D．20 5．如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是AB的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝5cm，则BC的长为（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．15cm 7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD＝20°，则∠ABE等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 8．在等边△ABC所在平面上找这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 二．填空题（共8小题） 9．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　 °． 10．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50米，则AC＝　 　 米． 11．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是　 　 ． 12．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝　 　 ． 14．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　 　 ． 15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝2，则CD的长度为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 18．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 19．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证： （1）CE＝AC+DC； （2）∠ECD＝60°． 20．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G． （1）求证：G是CE的中点． （2）若∠B＝70°，求∠BCE的度数． 21．已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 答案与解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B A D D D 一．选择题（共8小题） 1．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是边AB上的高，若BC＝8，则AD的长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8， ∴AB＝2BC＝16，∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°， ∴BDBC＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝16﹣4＝12， 故选：C． 3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若∠A＝62°，则∠BCD的度数为（　　） A．28° B．31° C．34° D．38° 【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴BD＝AD＝CDAB， ∴∠A＝∠DCA＝62°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣62°＝28°． 故选：A． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5，用图示的尺规作图方法在边AB上确定一点D．则△ACD的周长为（　　） A．10 B．15 C．16 D．20 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝2×5＝10， 由题意知：D在线段BC的垂直平分线上， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+10＝15． 故选：B． 5．如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是AB的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【解答】解：如图，连接CP， 在Rt△ABC中，点P是AB的中点， 则CPAB， ∴在此滑动过程中，点C和点P之间的距离始终不变， 故选：A． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝5cm，则BC的长为（　　） A．8cm B．12cm C．16cm D．15cm 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∵AB⊥AD，AD＝5cm， ∴∠BAD＝90°，BD＝2AD＝10cm， ∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°， ∴AD＝CD＝5cm， ∴CB＝DB+CD＝15cm． 故选：D． 7．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠ECD＝20°，则∠ABE等于（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴∠EBD＝∠ECD＝20°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝40°． 故选：D． 8．在等边△ABC所在平面上找这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（　　） A．3 B．7 C．8 D．10 【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点， ②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点； ③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点； ∴共3+3+3+1＝10个． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　52　 °． 【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°． 故答案为52． 10．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50米，则AC＝　50　 米． 【解答】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵BC＝50米， ∴AC＝50米． 故答案为：50． 11．如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0，则这个三角形是　等边三角形　 ． 【解答】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b，a＝c，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形； 故答案为：等边三角形． 12．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　 ． 【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD＝　8　 ． 【解答】解：∵∠DBC＝60°，∠C＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2BC＝2×4＝8， ∵∠C＝90°，∠A＝15°， ∴∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝75°﹣60°＝15°， ∴∠ABD＝∠A， ∴AD＝BD＝8． 故答案为：8． 14．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　130°　 ． 【解答】解：如图，由等边三角形和直角三角形可得∠1+α＝120°，∠2+β＝90°， ∴∠1+∠2+α+β＝90°+120°＝210°， 且∠3＝α+β， ∴α+β＝80°， ∴∠1+∠2＝210°﹣80°＝130°， 故答案为：130°． 15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　2　 ． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DEAC， ∵AC＝4， ∴DE． 故答案为：2． 16．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝2，则CD的长度为 　4　 ． 【解答】解：∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°， ∴∠A＝∠ABD， ∴DB＝AD＝2， 在Rt△CBD中， ∵∠C＝30°， ∴CD＝2BD＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共6小题） 17．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED． 又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED， ∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°． ∴∠DBC＝∠DEC． ∴DB＝DE（等角对等边）． 18．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AEAB． 【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD⊥AC， ∴ADAC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AEAB． 19．如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证： （1）CE＝AC+DC； （2）∠ECD＝60°． 【解答】证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC， ∵BD＝BC+CD＝AC+CD， ∴CE＝BD＝AC+CD； （2）由（1）知：△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°， ∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°， ∴∠ECD＝60°． 20．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G． （1）求证：G是CE的中点． （2）若∠B＝70°，求∠BCE的度数． 【解答】（1）证明：连接DE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴DEAB＝BE， ∵DC＝BE， ∴DC＝DE， ∵DG⊥CE， ∴G是CE的中点． （2）解：∵DE＝BE，∠B＝70°， ∴∠BDE＝∠B＝70°， ∵DE＝DC， ∴∠BCE＝∠DEC∠BDE＝35°． 21．已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【解答】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t， 当△PBQ为等边三角形时， 则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t， 解得， 即当t时，△PBQ为等边三角形； （2）当∠BQP＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ， 即6﹣2t＝3t， 解得； 当∠BPQ＝90°时， 同理可得BQ＝2BP， 即1.5t＝2（6﹣2t）， 解得， 综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形． 22．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH． （1）请说出AD＝BE的理由； （2）试说出△BCH≌△ACG的理由； （3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC ∠ACB＝∠ECD＝60° ∴∠ACD＝∠ECB ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE； （2）∵△ACD≌△BCE ∴∠CBH＝∠CAG ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上 ∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60° 又∵AC＝BC ∴△ACG≌△BCH； （3）△CGH是等边三角形，理由如下： ∵△ACG≌△BCH ∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等） 又∵∠ACG＝60° ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）； 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/9 10:51:56；用户：殷伟榕；邮箱：13372093358；学号：49327560 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$