精品解析：广东省湛江市港城中学2024-2025学年上学期期末核心素养评价八年级数学试题

湛江市港城中学2024-2025学年第一学期期末核心素养评价 八年级数学试题 （满分：120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A B. C. D. 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大6倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 扩大3倍 8. 若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 9. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A 25 B. 35 C. 40 D. 11 10. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 当_________时，分式的值为0． 13. 如图，两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到ΔABD，P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意点，则PE+PF的最小值是___. 三、解答题一（本大题3小题，共21分） 16. 计算： 17. 解分式方程： 18. 已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F． 求证：四边形AECF是平行四边形． 四、解答题二（本大题3小题，共28分） 19. 先化简，再求值：，其中满足． 20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5． （1）求AC的长度． （2）求四边形ABCD的面积． 21. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 五、解答题三（本大题2小题，共26分） 22. 先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： （1）填空：①______； ②______． （2）化简：（诸写出计算过程）； （3）化简：． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市港城中学2024-2025学年第一学期期末核心素养评价 八年级数学试题 （满分：120分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形．” 【详解】A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意， 故选：D． 2. 已知点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称变换、代数式求值，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，是解题的关键． 【详解】解：A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键． 5. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵AB∥DC， ∴∠DAB+∠ADC=180°， ∵∠DAB=∠DCB， ∴∠DCB+∠ADC=180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵AO=CO，AB=DC，∠AOB=∠COD，不能判定△AOB≌△COD， ∴不能得到∠OAB=∠OCD， ∴不能得到AB∥CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； D、∵AB∥DC， ∴∠OAB=∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB=DC， 又∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，解题的关键是正确把握平行四边形的判定． 6. 下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法和公式法，根据因式分解的定义，对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大6倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 扩大3倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可． 【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得， 即分式的值扩大为原来的倍 故选：B 【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解． 8. 若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 25 B. 35 C. 40 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 根据勾股定理分别求出正方形F、正方形G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：∵正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3， ∴正方形F的面积，正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， 故选：B． 10. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是线段上一点，连接，，．若，则的长度是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：D，E分别是，的中点， ， ， ， ， ，E是的中点， ， 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0条件：①分子；②分母．结合题目所给分式分别满足这两个条件列出相关方程和不等式，求解即可． 【详解】解： 分式的值为0， ，由可得： ；由可得：， 综上可知，， 故答案为． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，该题型比较容易漏掉分母不为0的条件．根据分式值为0的条件，准确求解相关方程与不等式是解决问题的关键． 13. 如图，两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出的值，然后根据周长可求出的值，即为的值． 【详解】∵两对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形的对角线互相平分． 14. 如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为_________________． 【答案】2＋2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DCB＝∠B＝45°， ∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴AD＝AC＝2， 由勾股定理得：DC＝＝＝2， ∴DB＝DC＝2， ∴AB＝AD＋DB＝2＋2， 故答案为：2＋2． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到ΔABD，P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意点，则PE+PF的最小值是___. 【答案】 【解析】 【分析】作F关于AB的对称点M，由折叠性质可得四边形ADBC是菱形，可知M点在BC上，过M作ME⊥AD于E，交AB与P，可知PE+PF=ME，根据垂线段最短可知ME为PE+PF的最小值，过A作AH⊥BC，可得AH=ME，设BH=x，根据勾股定理可求出x的值，进而根据勾股定理求出AH的值即可. 【详解】作F关于AB的对称点M，过M作ME⊥AD于E，交AB与P，过A作AH⊥BC， ∵△ABC沿AB翻折得到ΔABD，AC=BC， ∴AC=BC=AD=BD， ∴四边形ADBC是菱形， ∵M点关于AB对称， ∴M点在BC上， ∴PM=PF， ∴ME=PF+PE， ∵ME⊥AD， ∴ME为PF+PE的最小值， ∵AH⊥BC， ∴AH=ME， 设BH=x，则AC2-CH2=AB2-BH2，即22-(2-x)2=12-x2， 解得：x=， ∴AH===， 故答案为 【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出ME为PF+PE的最小值是解题关键. 三、解答题一（本大题3小题，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，关键是准确掌握各基本概念的运算规则是解题的关键．先根据绝对值、负整数指数幂、立方根、零指数幂、算术平方根的性质化简，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 17. 解分式方程： 【答案】x=-3 【解析】 【分析】找出方程的最简公分母为x2-1，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，将x的值代入检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边都乘以x2-1后得x（x-1）-4=x2-1， 整理得：x2-x-4=x2-1， 移项合并得：-x=3， 解得：x=-3， 经检验：x=-3是原方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18. 已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F． 求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】求证四边形AECF是平行四边形，只要求证OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证，依据△AOE≌△COF即可证明OE=OF． 【详解】证明：∵平行四边形ABCD中AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCF， 又∵OA=OC，∠COF=∠AOE， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴OE=OF， 又∵OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键． 四、解答题二（本大题3小题，共28分） 19. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先由，结合平方非负性、二次根式非负性得到，再由分式混合运算将化简，再将代入化简后的式子求解即可得到答案． 【详解】解：满足， 由、可知当、才能使， ， ， 将代入，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式混合运算、平方非负性、二次根式非负性及非负式和为零的条件等知识，熟练掌握非负式和为零的条件及分式化简求值方法是解决问题的关键． 20. 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝5，AD＝5． （1）求AC的长度． （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）AC的长为10 （2）四边形ABCD的面积为49 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据∠B＝90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可证△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，然后利用四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ACB的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 如图，连接AC， ∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝＝＝10， ∴AC的长为10； 【小问2详解】 ∵CD＝5，AD＝5，AC＝10， ∴CD2+AC2＝52+102＝125，AD2＝（5）2＝125， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∴ ＝AC•DC+AB•CB ＝×10×5+×8×6 ＝25+24 ＝49， ∴四边形ABCD的面积为49． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握运用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】（1）甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 （2）最多可购买乙种香椿120件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． 【小问2详解】 设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 五、解答题三（本大题2小题，共26分） 22. 先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： （1）填空：①______； ②______． （2）化简：（诸写出计算过程）； （3）化简：． 【答案】（1）①；② （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【小问1详解】 解：①∵，，即，， ∴； ②； 【小问2详解】 解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． （2）如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【小问1详解】 证明： ，，，， ， ， ； 【小问2详解】 设边上的高为， 则， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； 【小问3详解】 )在中，由勾股定理得 ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $