1.1直线的斜率与倾斜角同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 基础过关练 题组一　直线的斜率及其应用 1.(教材习题改编)设m为实数,若A(1,m),B(m+1,3),C(1-m,7)三点共线,则m=(　　) A.-5　　　　B.5　　　　C.0或-5　　　　D.0或5 2.若将直线l沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴负方向平移3个单位长度,又回到了原来的位置,则l的斜率是(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D. 3.已知A(2,0),B(2,3),直线l过定点P(1,2),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.[-2,1]　　　　B. C.∪[1,+∞)　　　　D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 4.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率是直线PB的斜率的2倍,则点P的坐标为　　　　.  题组二　直线的斜率与倾斜角 5.(多选题)在平面直角坐标系中,下列说法不正确的是(　　) A.任意一条直线都有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° D.若一条直线的倾斜角为α,则该直线的斜率为tan α 6.已知直线过点(m,),(1,m+2),且倾斜角为150°,则m=(　　) A.+1　　　　B.4-2　　　　C.-2　　　　D.2 7.若直线l过定点P(1,0),且与以A(-1,2),B(2,)为端点的线段相交,则其倾斜角的取值范围是(　　) A.∪　　　　B.∪ C.　　　　D. 8.(多选题)如图,已知直线l1,l2,l3,l4的斜率分别是k1,k2,k3,k4,倾斜角分别是α1,α2,α3,α4,则(　　) A.k2<k1<k4<k3 B.k3<k2<k1<k4 C.α2<α1<α4<α3 D.α3<α2<α1<α4 9.在平面直角坐标系xOy中,P(x1,y1),Q(x2,y2)是直线l上不同的两点,向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量.已知直线l的一个方向向量的坐标为(-1,),则直线l的倾斜角为　　　　.  10.已知△ABC的三个顶点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1). (1)求直线BC,AC的斜率和倾斜角; (2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD的斜率k和倾斜角α的取值范围. 能力提升练 题组一　直线的斜率及其应用 1.已知曲线y=-2x2+7x+3(1≤x≤3),则的取值范围是(　　) A.[-8,6]　　　　B.(-∞,-8] C.[6,+∞)　　　　D.(-∞,-8]∪[6,+∞) 2.(创新题·新情境)斜拉桥(图1)是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图2,一座斜拉桥共有10对拉索,在索塔两侧对称排列,已知拉索上端相邻两个锚Pi,Pi+1(i=1,2,3,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个锚Ai,Ai+1(i=1,2,3,…,9)满足AiAi+1=16 m,最短拉索P1A1满足OP1=60 m,OA1=96 m,若建立如图所示的平面直角坐标系,则最长拉索P10B10所在直线的斜率为(　　) 　 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3.已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P-,-且与线段AB没有交点,则直线l的斜率k的取值范围为　　　　.  4.一束光射向x轴,与x轴相交于点P(-1,0),经x轴反射后,与连接A(0,),B(1,2)两点的线段总有公共点,则这束光线所在直线的斜率的取值范围为　　　　.  题组二　直线的斜率与倾斜角 5.已知点A(2,-1),B(3,m),若m∈,则直线AB的倾斜角的取值范围为(　　) A.　　　　B.∪ C.∪　　　　D.∪ 6.过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2]　　　　B.(0,4) C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4) 7.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为　　　　.  8.一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上(不包括端点)的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),求直线OP1的斜率的取值范围. 答案与分层梯度式解析 第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 基础过关练 1.D 2.A 3.A 5.ABD 6.C 7.D 8.BC 1.D　当直线斜率不存在时,m+1=1-m=1,解得m=0; 当直线斜率存在时,kAB=kBC, 即=,解得m=5. 综上,m的值为0或5. 2.A　设A(a,b)是l上任意一点,则平移后得到点(a+2,b-3),设为A',易知A'也在l上,则l的斜率k=kAA'==-. 3.A　∵A(2,0),B(2,3),P(1,2), ∴kPA==-2,kPB==1. ∵直线l与线段AB相交,∴结合图形可得直线l的斜率k的取值范围是[-2,1]. 4.答案　(-5,0) 解析　设P(x,0),则kPA=,kPB=,由题意得=2×,解得x=-5,故点P的坐标为(-5,0). 5.ABD　当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,故A,D中说法错误;当直线的倾斜角为45°时,斜率为1,当直线的倾斜角为135°时,斜率为-1,故B中说法错误;当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角是90°,当直线与y轴垂直时,直线的倾斜角是0°,故C中说法正确. 6.C　由题意得tan 150°==-,解得m=-2. 7.D　如图,易得kPB==,kPA==-1, 由图可得直线l的斜率不存在,或斜率存在且斜率k满足k≤-1或k≥, ∴直线l的倾斜角的取值范围为. 8.BC　由倾斜角的概念及题图可得90°<α3<180°,0°<α1<α4<90°,α2=0°,所以α2<α1<α4<α3,故C正确. 易得k3<0,k4>k1>0,k2=0,所以k3<k2<k1<k4,故B正确. 9.答案　120° 解析　由题意可得直线l的斜率为=-, 设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=-, 因为0°≤θ<180°,所以θ=120°. 10.解析　(1)由斜率公式得kBC==,kAC==. ∵倾斜角的取值范围是[0,π), ∴直线BC的倾斜角为,直线AC的倾斜角为. (2)如图,当直线CD由直线CA绕点C逆时针旋转到直线CB时,k由kAC增大到kBC, ∴k的取值范围为,倾斜角α的取值范围为. 能力提升练 1.D 2.D 5.C 6.B 1.D　易得函数y=-2x2+7x+3=-2+(1≤x≤3), 当x=1时,y=8,当x=3时,y=6,记A(1,8),B(3,6), 则表示过曲线上的点(x,y)(x≠2)与P(2,0)的直线的斜率(关键点),易知该直线的斜率存在,设为k, 易得kPA==-8,kPB==6, 则由图可得k≥kPB=6或k≤kPA=-8,即的取值范围为(-∞,-8]∪[6,+∞). 2.D　由题意得OA10=OA1+A1A10=96+9×16=240 m,OP10=OP1+P1P10=60+9×4=96 m, 故B10(-240,0),P10(0,96),则==. 3.答案　 解析　假设直线l与线段AB有交点,过点P作垂直于x轴的直线交线段AB于点C,如图所示,易知直线PC的斜率不存在. 当直线l由直线PA绕点P逆时针旋转到直线PC(不含直线PC)时,l的斜率从kPA逐渐变大, 即k≥kPA==; 当直线l由直线PC(不含直线PC)绕点P逆时针旋转到直线PB时,l的斜率为负值,且逐渐增大至kPB, 即k≤kPB==-. 综上所述,若直线l与线段AB有交点,则其斜率k的取值范围是∪, 所以直线l与线段AB没有交点时,其斜率k的取值范围是. 方法技巧 本题在求解时用到了补集思想,即要求直线l与线段AB没有交点时斜率k的范围,先求有交点时k的范围,再求其补集. 4.答案　[-,-1] 解析　如图,设直线PA与l2关于直线x=-1对称,直线PB与l1关于直线x=-1对称, 易得kPA==,kPB==1, ∴=-1,=-,∴这束光线所在直线的斜率的取值范围为[-,-1]. 5.C　由题意得直线AB的斜率存在,且kAB==m+1, 因为m∈,所以kAB∈, 设直线AB的倾斜角为α,则tan α∈, 又0≤α<π,所以α∈∪. 6.B　 当直线l的斜率存在,即α∈∪时,设斜率为k,结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,可知k>1或k<-1,此时m≠2, 又k==, ∴<-1或>1,解得0<m<2或2<m<4. 当直线l的斜率不存在,即α=时,m=2. 综上,实数m的取值范围是(0,4). 方法技巧 已知倾斜角的范围求直线斜率的范围或已知斜率的范围求直线倾斜角的范围时,可结合直线的倾斜角与斜率关系的图象,即k=tan α,α∈[0,π)且α≠的图象进行求解,要特别注意倾斜角为,即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论. 7.答案　- 解析　建立平面直角坐标系如图,在正方形OABC中,对角线OB所在直线的斜率为3, 设对角线OB所在直线的倾斜角为θ,则tan θ=3, 由正方形的性质可知,直线OA的倾斜角为θ-45°,直线OC的倾斜角为θ+45°, 故kOA=tan(θ-45°)===, kOC=tan(θ+45°)===-2, 则kOA+kOC=-2=-. 故该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为-. 8.解析　由题意可设P1(1,b),易知直线OP1的斜率为=b, 若P4点落在线段OA上,则当P4落在点O,点A时为相应的两种临界位置. 当P4落到点O时,因为O为AB的中点,且质点从O出发又回到O,所以P1位于线段BC的中点, 此时b=,所以直线OP1的斜率为; 当P4落到点A时,P4点与P3点重合,如图所示, 设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ(点拨:入射角等于反射角),且tan θ=b,易得CP1=1-b,则CP2===-1,DP2=2-CP2=3-, 所以tan θ===b,所以b=,所以直线OP1的斜率为. 综上所述,直线OP1的斜率的取值范围为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$