精品解析：陕西省榆林市高新中学2023-2024学年九年级下学期开学摸底考试数学试题

榆林高新中学九年级数学寒假自主学习检测试题 （2023—2024学年第二学期） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟知互为倒数的定义是解题的关键． 乘积是1的两个数互为倒数，由此求解即可． 【详解】的倒数是． 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，是的平分线，直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据角平分线的定义得到，继而根据平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：如图所示， ∵由对顶角可得，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法的法则，单项式除以单项式的法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A． ，原计算错误； B． ，原计算错误； C． ，计算正确； D． ，原计算错误； 故选C． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，由可得点F为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点F为中点， 又∵点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选：B． 7. 如图，是的直径，弦于，，，则弦的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 连接，由直径垂直于弦，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： 直径，， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 故选：A． 8. 在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值： … 1 … … 8 8 … 根据表格可知，下列说法中正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数与轴无交点 C. 当时，随的增大而增大 D. 关于的方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键． 先求二次函数的解析式，然后逐项判断． 【详解】解：根据表格中数据可知抛物线过， 则， 解得 ， ∴二次函数 ， ∵ 这个函数的图象开口向下，不符题意；故A不正确； ∵ 这个函数与轴有两个交点，不符题意，故B不正确； ∵抛物线对称轴为 ，当时，则，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，不符题意，故C不正确； ∵，解得：．符合题意，故D正确. 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若单项式与的和仍是单项式，则的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义和平方根的概念．熟悉概念是解题的关键． 本题可根据单项式的性质，判断两个单项式为同类项，再根据同类项的定义求出m的值，最后求出m的平方根． 【详解】解：因为单项式与的和仍是单项式， 所以这两个单项式是同类项． 即．解得． 因为， 所以4平方根为，即m的平方根为． 故答案为：． 10. 如图，正六边形，连接，则的度数为______________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查正多边形求角度，涉及正六边形性质、三角形内角和定理、等腰三角形判定与性质等知识，熟练掌握正多边形内角与外角性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正六边形，各条边均相等、各个内角均相等， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式求出交点坐标，进而得出和，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数 的图象交于，， ∴，解得：或， ∵轴，轴， ∴点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，解题的关键是通过点的坐标表示线段长度，这是解决问题常用的方法． 13. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作， 菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ，， ， 在中，， 则的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数值进行化简，然后求解即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了含特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记三角函数值以及实数的运算法则． 15. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，表示解集见解析 【解析】 【分析】本题需要分别求解不等式组中的两个不等式，再求出它们的公共解集，最后将解集在数轴上表示出来．本题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式 解不等式 不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示为： ． 16. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】此题主要考查了解分式方程，先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得： 系数化为1，可得：， 经检验，时，，则是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 17. 如图，在中，请你在线段上找一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和三角形外角的性质来找到满足的点．本题主要考查了垂直平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：如图，点为所求， ∵线段的垂直平分线与的交点为， ∴ 是的外角 故点即为所求． 18. 如图，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，先根据题意，利用证明，推出，得到，即可判断的形状． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 19. 春节档，各大影片争相上映，2024年也不例外，上映了A：飞驰人生、B：热辣滚烫、C：第二十条、D：熊出没等多部影片．元旦这天，小明和小凯都想去看电影，假设他们分别从以上四部影片中随机选择一部． （1）小凯看到第二十条的概率为______． （2）请利用列表或画树状图的方法，求小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握古典概型的概率计算公式以及用列表法求概率是解题的关键． （1）小凯从四部影片中随机选一部，每部影片被选中的可能性相同，所以直接用第二十条这一部影片的数量除以影片的总数量，即可得到小凯看到第二十条的概率； （2）要计算小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率，需要先列出所有可能的选择结果，然后找出符合条件的结果数量，最后用符合条件的结果数量除以所有可能的结果数量．这里使用列表法来列出所有可能的结果． 【小问1详解】 解：∵ 总共有4部影片，第二十条是其中1部， ∴ 小凯看到第二十条的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小明\小凯 ∵ 共有16种等可能的结果，其中小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫（B），一人看飞驰人生（A）”的结果有2种，即和， ∴ 小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率为． 20. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某队在已赛的场比赛中保持连续不败的战绩，共得分，求该队获胜的场数． 【答案】场 【解析】 【分析】设该队获胜场，则平场，根据题意，建立一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】设该队获胜场，则平场，依题意 得：， 解得： 答：该队获胜场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键． 21. 小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切的定义得，由相似的判定方法可证 ，由相似的性质得，即可求解；掌握解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 米， 设米， 在中：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：； 答：该古树的高为米． 22. 元旦期间，明明一家人开车到距家350千米的外婆家，当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油22升、已知油箱中剩余油量（升）是行驶路程（千米）的一次函数． （1）求在整个行驶过程中，油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数表达式； （2）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试说明他们能否在汽车报警前到达外婆家． 【答案】（1）． （2）他们不能在汽车报警前到达外婆家． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质以及通过已知点求函数表达式的方法是解题的关键． （1）已知剩余油量是行驶路程一次函数，可设函数表达式为，将已知的两组、值代入，通过解方程组求出和的值，从而得到函数表达式． （2）先根据（1）中求出的函数表达式，令，求出此时对应的行驶路程，再与到外婆家的距离千米比较，判断能否在报警前到达． 【小问1详解】 解：设 当时，；当时， ，解得， 函数表达式为； 【小问2详解】 解：令 他们不能在汽车报警前到达外婆家． 23. 为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求______，并补全条形统计图． ②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数是______小时，中位数是______小时，平均数是______小时 （2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数． 【答案】（1）①60，见解析．②3，3， （2）1050 【解析】 【分析】（1）①根据样本容量等于频数除以扇形中某项目所占百分数，解答即可； ②根据中位数，平均数，众数的定义，解答即可； （2）利用样本估计总体思想解决即可； 本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数，众数，平均数，用样本估计总体，样本容量，画统计图，熟练掌握中位数，众数，平均数，用样本估计总体，样本容量的计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：①根据样本容量等于频数除以扇形中某项目所占百分数，得（人）， 故3小时的频数为：，补图如下： 故答案为：60； ②解：根据题意，得3小时的频数最大，为20人，故众数为3小时， 中位数是第30个数据，第31个数据的平均数即（小时）， 平均数为（小时）． 故答案为：3，3，． 【小问2详解】 解：根据题意，得：（人）； 答：该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数是1050． 24. 如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）过点O作于点E，先由求得，再由及求得，得，依据切线的判定可得； （2）证明，可得，设，则，则，，，，由，可得，则，而，可得，可得，则，则． 【小问1详解】 证明：过点O作于点E， ∵于点D， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴由可得，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴，即，则， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是掌握切线的判定、三角函数的应用． 25. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】（1） （2）行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 小问1详解】 解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线函数解析式为。 【小问2详解】 解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 26. 在锐角中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到 （1）如图，当点在线段的延长线上时，______． （2）如图，连接，若的面积为，求的面积． （3）如图3，点为线段的中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，求在旋转过程中，线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知：，再由等边对等角得，则； （2）由得比例式，证明，根据面积比等于相似比的平方求出的面积； （3）作辅助线，当点在处时最小，则最小，最小；当点在点处时，最大，则最大，最大，代入计算． 【小问1详解】 解：如图， 由旋转得：，， ， ， 故答案为； 【小问2详解】 解：如图， ，， 【小问3详解】 解：如图4，过点作，为垂足， 为锐角三角形 点在线段上 在中， 以为圆心，为半径画圆交于，有最小值 的最小值为 以为圆心，为半径画圆交的延长线于，有最大值 此时的最大值为 线段的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题是三角形旋转的综合题，考查了三角形旋转的性质：旋转前后的两个图形全等；考查了全等三角形和相似三角形的对应边的关系，本题利用两三角形全等的对应边相等，列比例式证明另外两三角形相似，这一证明思路值得借鉴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 榆林高新中学九年级数学寒假自主学习检测试题 （2023—2024学年第二学期） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的倒数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的平分线，直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 7. 如图，是的直径，弦于，，，则弦的长为（　　） A. B. C. D. 8. 在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值： … 1 … … 8 8 … 根据表格可知，下列说法中正确的是（ ） A. 这个函数的图象开口向上 B. 这个函数与轴无交点 C. 当时，随的增大而增大 D. 关于的方程的解是 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若单项式与的和仍是单项式，则的平方根为______． 10. 如图，正六边形，连接，则的度数为______________． 11. 如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 12. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为___． 13. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ________________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，请你在线段上找一点，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，．试判断的形状，并说明理由． 19. 春节档，各大影片争相上映，2024年也不例外，上映了A：飞驰人生、B：热辣滚烫、C：第二十条、D：熊出没等多部影片．元旦这天，小明和小凯都想去看电影，假设他们分别从以上四部影片中随机选择一部． （1）小凯看到第二十条的概率为______． （2）请利用列表或画树状图的方法，求小明和小凯恰好“一人看热辣滚烫，一人看飞驰人生”的概率． 20. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某队在已赛的场比赛中保持连续不败的战绩，共得分，求该队获胜的场数． 21. 小明和爸爸想利用测角仪和阳光下影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，） 22. 元旦期间，明明一家人开车到距家350千米外婆家，当行驶40千米时，发现汽车油箱内有油27升；当行驶90千米时，发现油箱内有油22升、已知油箱中剩余油量（升）是行驶路程（千米）的一次函数． （1）求在整个行驶过程中，油箱中剩余油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数表达式； （2）当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警，如果开车途中不加油，试说明他们能否在汽车报警前到达外婆家． 23. 为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求______，并补全条形统计图． ②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数是______小时，中位数是______小时，平均数是______小时 （2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数． 24. 如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求长． 25. 如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求上边缘抛物线的函数解析式； （2）此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 26. 在锐角中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到 （1）如图，当点在线段的延长线上时，______． （2）如图，连接，若的面积为，求的面积． （3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，求在旋转过程中，线段长度的最大值与最小值的差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$