福建省宁德市寿宁县鳌阳中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年福建省宁德市寿宁县鳌阳中学九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数2的相反数是(    ) A. 2 B. C. D. 2.“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，如图四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.截止2025年3月12日，《哪吒2》的全球总票房突破149亿，超越《复仇者联盟3》，跻身全球影史票房榜的前6名.将14900000000用科学记数法表示是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示的机器零件的左视图为(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形ABCD，若，，则A，C两点间的距离是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 7.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是(    ) A. B. C. D. 8.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方-九宫格，把这9个数填入方格中，使每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等.如图是一个未完成的“幻方”，则其中x的值是(    ) A. 8 B. 6 C. 3 D. 2 9.如图，AB是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交AB的延长线于点E，若，则的半径是(    ) A. 1 B. C. D. 10.若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.关于x的不等式的解集是______. 12.因式分解：______. 13.如图，在中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接若，则AB的长为______. 14.某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 某班这四项得分依次为83，82，73，80，则该班四项综合得分为______分. 15.如图，在平面直角坐标系中，的直角边AB与反比例函数的图象交于点C，若点C为AB的中点，的面积为4，则k的值为______. 16.物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率.如图，入射光线AO在点O处斜射入某一高度为3cm，折射率为的长方体介质其中为入射角，为折射角，MN过点O且垂直于介质的上表面，若，则折射光线在该介质中传播的距离即OB的长度约是______参考数据：，， 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 如图，已知，，，且点B，E、C、F在同一条直线上.求证： 19.本小题8分 解分式方程： 20.本小题8分 为了解某校九年级男生在体能测试中引体向上的情况，随机抽查了部分男生引体向上的测试成绩，并绘制如下两幅不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题： 本次接受调查的男生人数是______，图①中m的值是______，并补全条形统计图； 本次调查获取的样本数据的平均数是______，中位数是______； 若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数. 21.本小题10分 已知二次函数 若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； 求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点. 22.本小题10分 已知a，b，c是任意实数. 求证：； 当a，b，c满足时，求的最小值. 23.本小题10分 如图，在四边形ABCD中，， 尺规作图：过点B作交CD于点E，交AD延长线于点F；保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，若，试判断线段FA与FB的数量关系，并说明理由. 24.本小题12分 根据以下素材，完成三个任务： 以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形. 素材一 某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且 素材二 将1张B型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片. 素材三 小组操作发现，将2张A型卡片，3张B型卡片，1张C型卡片可以拼成一个长方形所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠得到了一个代数恒等式： 【问题解决】 【任务1】用1张A型和2张B型卡片拼成一个长方形，用含a，b的代数式表示这个长方形的周长. 【任务2】现共有10张A型卡片，25张B型卡片和18张C型卡片，请你选取若干张卡片，每种卡片至少取一张，将取出的这些卡片拼成一个正方形.请你列举两种拼正方形的方案写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大 【任务3】将2张B型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从A，B，C型卡片中挑选若干张，拼成一个平行四边形长方形除外请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式用含a，b的数学等式表示 要求：4张直角三角形卡片全部使用；A、B、C型卡片至少选一种；拼出的平行四边形的面积最小才能得满分. 25.本小题12分 已知四边形ABCD内接于圆O，EA，EC是圆O的两条切线，E，B，D三点共线. 求证：∽； 若，，求证：； 在的条件下，若，求BD的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：实数2的相反数是 故选： 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意； B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意． 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 3.【答案】D  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】B  【解析】解：这个几何体的左视图为： 故选： 根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 5.【答案】B  【解析】解：，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选： 利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，， ， 四边形ABCD是菱形， 连接AC， ， 是等边三角形， ， ，C两点间的距离为2， 故选： 由题意可知，连接AC，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中和小于10的结果数位8个， 和小于， 故选： 用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出和小于10的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可作出选择． 本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：第3行第1个方格中的数为 根据题意得：， 解得： 故选： 利用第2列及第3行上的3个数之和相等，可求出第3行第1个方格中的数，利用第1行及对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：如图，连接OC， 由圆周角定理得：， 是的切线， ， ， ， 故选： 连接OC，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据余弦的定义计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理、熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：由二次函数可知，抛物线开口向上， 、、、 点关于对称轴的对称点在5与6之间， 对称轴的取值范围为， 点F到对称轴的距离小于，点E到对称轴的距离大于且小于，点D到对称轴的距离大于， ， 故选： 由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得． 本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 故答案为： 根据解一元一次不等式的方法求解即可． 本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 直接提取公因式a，进而分解因式得出答案． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 13.【答案】24  【解析】解：点D，E分别是AC，BC的中点， 是的中位线， ， 故答案为： 根据三角形中位线定理即可得到结论． 本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：该班四项综合得分为分， 故答案为： 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 15.【答案】4  【解析】解：由条件可知， ， ，即， 图象在第一象限， 故答案为： 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，以此即可求解． 本题主要考查了根据反比函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 16.【答案】  【解析】解：过点O作于点C， 由折射率的定义得， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， 根据勾股定理，， 即， 解得， 故答案为： 过点O作于点C，由折射率的定义得，，进而求出，设，在中，根据勾股定理即可作答． 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线． 17.【答案】解：原式   【解析】直接利用二次根式的性质结合负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18.【答案】证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ≌，   【解析】根据平行线的性质求出，利用SAS证明≌，根据“全等三角形的对应角相等”即可得证． 此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明≌是解题的关键． 19.【答案】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为  【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 20.【答案】40，25；   次，6次；   176人．  【解析】人，，即， 样本中九年级男生在体能测试中引体向上的次数为5次的学生人数为人，补全条形统计图如下： 故答案为：40，25； 平均数为次， 将被调查的40名学生的引体向上的次数从小到大排列，处在第20、第21位的两个数的平均数为次，即中位数是6次， 故答案为：次，6次； 人， 答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人． 从两个统计图可知，样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为7次有8人，占被调查人数的，由频率=频数总数即可求出被调查人数，即男生的人数；进而求出样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为6次的学生所占的百分比，即可确定m的值；求出样本中，九年级男生在体能测试中引体向上的次数为5次的学生人数即可补全条形统计图； 根据平均数、中位数的定义进行计算即可； 样本估计总体，求出样本中引体向上6次及以上学生人数所占的百分比，估计总体中引体向上6次及以上学生人数所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可． 本题考查扇形统计图、条形统计图、平均数、中位数以及样本估计总体，掌握频率=频数总数以及平均数、中位数的计算方法是正确解答的关键． 21.【答案】；顶点坐标；  证明见解析．  【解析】解：二次函数的图象经过， 抛物线为 ， 顶点坐标 证明：，，， 不论m取何值，二次函数图象与x轴总有两个公共点． 依据题意，由二次函数的图象经过，则，从而抛物线为，进而计算可得顶点坐标； 依据题意，由，，，则，进而可以判断得解． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22.【答案】；     【解析】证明：， ， 且由可得：，，， ， ， 的最小值 由可得； 由①得，，，所以，即，据此求出的最小值是 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用完全平方公式解决问题． 23.【答案】见解析；  ，理由见解析．  【解析】解：图形如图所示： 结论：，理由如下： ，，， ≌ ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据要求作出图形； 欲证明，只要证明 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 24.【答案】解：任务1：如图所示：周长为：； 任务2：①，②，，③，②，……， 对应的图形如下： 任务3：如下图所示：   【解析】任务1：根据矩形的周长公式求解； 任务2：根据完全平方公式求解； 任务3：根据平行四边形的性质求解． 本题考查了平行四边形的性质，掌握完全平方公式和因式分解是解题的关键． 25.【答案】见解析；   ；    【解析】证明：连接AO，并延长AO交圆O于点F，连接 则， 是圆O的直径， ， 又是圆O的切线， ， ， 又， ∽； 解：连接AC， 与所对的弧是， ， ，EC是圆O的两条切线， ， 由知∽， ， 同理可证：∽， ， ， ， ， 又， ， 是圆O的直径， ； 解：过点A作于点M， ， ， ， ， 设，则，， ，， 在中，， ， 解得， 连接AO，并延长AO交圆O于点F，连接DF，则，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，个相似三角形的判定定理得到∽； 连接AC，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，求得，得到； 过点A作于点M，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$