第13讲 抛体运动（复习讲义）（福建专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

null 第13讲 抛体运动 目录 01 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 平抛运动的基本规律 4 知识点1 平抛运动的理解和公式 4 知识点2 平抛运动的分析方法 4 考向1 平抛运动的基本应用 5 考向2 平抛运动的偏转角问题 6 【解题技巧】偏转角的分析技巧 考点二 平抛运动的综合应用 10 知识点1 平抛的推论 10 知识点2 类平抛运动的理解 10 知识点3 平抛运动几种重点题型的分析方法 10 考向1 平抛运动推论的应用 13 考向2 平抛运动与斜面、曲面相结合的综合问题 16 考向3 平抛运动的临界问题 19 考向4 平抛运动中的追及相遇问题 22 考向5 类平抛运动问题 25 考向6 斜抛问题 27 0430 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 平抛运动的基本规律 选择题 非选择题 云南卷T3，4分 湖北卷T3，4分 平抛运动的综合应用 选择题 非选择题 江苏卷T4，4分 湖南卷T2，4分 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，以多种题型的形式出现，整体难度一般，个别题目有些难度，往往会以实际生活中的例子或者设定一定的具体问题模型作为试题背景考查知识。 2．从命题思路上看，试题情景为 情景探究类：通过频闪照片等方式记录物体的轨迹，进而分析物体的运动情况。 生活实践类：抛石块，水柱的抛物线，飞机投送物体等关于涉及平抛运动的问题。 复习目标： 目标一：会用运动的合成与分解分析平抛运动，理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移。 目标二：熟练运用平抛运动规律解决相关问题，应用平抛运动的重要推论解决相关问题，了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。 目标三：掌握类平抛运动的特点，能用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。 目标四：了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点，熟练运用平抛运动规律解决相关问题。 考点一 平抛运动的基本规律 知识点1 平抛运动的理解和公式 1.理解 （1）物体以一定的初速度水平方向抛出，如果物体仅受重力作用，这样的运动叫做平抛运动。 （2）平抛运动可看作水平方向的匀速直线运动以及竖直方向的自由落体运动的合运动。 （3）平抛运动的物体，由于所受的合外力为恒力，所以平抛运动是匀变速曲线运动，平抛物体的运动轨迹为一抛物线。 （4）平抛运动是曲线运动 平抛运动的时间仅与抛出点的竖直高度有关；物体落地的水平位移与时间（竖直高度）及水平初速度有关，其速度变化的方向始终是竖直向下的。 2.平抛运动的公式 水平方向：。 竖直方向：。 3.偏向角关系 （1）速度偏向角（末速度与初速度的夹角）的正切值：。 （2）位移偏向角（位移与水平方向的夹角）的正切值：。 知识点2 平抛运动的分析方法 平抛运动的研究方法 (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。 (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。 考向1 平抛运动的基本应用 例1 （24-25高三上·福建·期中）一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平抛运动知识可知 ， 其中 可得水从管口喷出的初速度大小为 故选D。 【变式训练1】在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰能跨越河流落在正河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取g=10m/s2，则人在空中飞行的时间t= s，两平台的高度差h= m。 【答案】 1 5 【详解】[1][2]车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向 水平方向 其中 ， 解得 ， 【变式训练2】如图所示，质量m=0.1kg的物块（可视为质点）置于粗糙水平桌面的最左端。现对物块施加一个F=0.8N的水平向右的恒力，物块由静止出发水平向右运动，经t=1s飞离桌面。此后撤去力F，物块最终落至水平地面上的P点。已知桌面高h=0.45m，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.5，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： （1）物块离开桌面时的速度大小v； （2）物块在水平桌面上运动的距离l； （3）物块落地点P与飞出点的水平距离s。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）物块在桌面上滑动过程，对物块受力分析，由牛顿第二定律得 解得 则物块离开桌面时的速度大小 （2）物块在水平桌面上运动的距离为 （3）物块从桌面飞出后做平抛运动，竖直方向有 解得 物块落地点P与飞出点的水平距离为 考向2 平抛运动的偏转角问题 例2投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为和；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，，。下列说法正确的是（　　）    A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小 B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长 C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大 D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大 【答案】A 【详解】AB．设箭的水平初速度为，入壶时与水平方向的夹角为，则有 由于 所以 若两人站在距壶相同水平距离处投壶，即时，则，根据 可知，即甲所投的箭在空中运动时间比乙的长；根据 可知，即甲所投箭的初速度比乙的小，故A正确、B错误； CD．若箭在竖直方向下落的高度相等，即时，则，即甲投壶位置距壶的水平距离比乙小；根据 可知，根据 可知，则射箭落入壶口时的速度 即甲所射箭落入壶口时速度比乙小，故CD错误。 故选A。 解题技巧 偏转角的分析技巧 虽然此类题目中不一定需要求出位移或者速度，但是在偏转角正切值的表达式中肯定存在位移比值或者速度比值，因此实质还是考查对于位移和速度的求解，在解决此类问题时，就当做计算位移和速度的题目即可。 【变式训练1】如图所示，t=0时刻物体以某一初速度水平抛出，t1=1s时到达A点，t2=2s时到达B点，AB连线与水平方向的夹角为θ，且，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，设物体在B点处速度与水平方向的夹角为β，则tanβ等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意可知，AB两点的竖直高度为 AB两点的水平距离为 则物体的水平分速度为 物体在B点处速度与水平方向的夹角正切值为 故选B。 【变式训练2】如图所示，某同学把一块橡皮从桌边推出后做平抛运动，初速度为，测得桌面离地面的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．橡皮从离开桌面到落地的时间为 B．橡皮的水平位移为 C．橡皮落地时的速度大小为 D．橡皮落地点与抛出点的连线与水平地面的夹角正切值为 【答案】D 【详解】A．橡皮从离开桌面后做平抛运动，下落过程中 解得下落时间为 故A错误； B．水平方向上橡皮不受外力，则 故B错误； C．下落过程中 橡皮落地时的速度大小为 故C错误； D．根据题意可知橡皮落地点与抛出点的连线与水平地面的夹角正切值即为位移与水平方向夹角的正切值为 故D正确。 故选D。 考点二 平抛运动的综合应用 知识点1 平抛的推论 平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角α、位移方向与水平方向的夹角θ的关系为tanα＝2tanθ。 （2）做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 知识点2 类平抛运动的理解 1.受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直。 2.研究方法：运动的分解 将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合外力方向的初速度为零的匀变速直线运动。 3.运动规律 初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。 合外力方向上：。 知识点3 平抛运动几种重点题型的分析方法 1.平抛与斜面、曲面 运动情形 题干信息 分析方法 从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： 从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t θ与v0、t的关系： 2.平抛的临界模型 （1）与平抛运动相关的临界情况 1　 有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 2　 如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 3　 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 （2）分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹.当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。 3.斜抛 （1）理解：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向的夹角为θ)。 （2）斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 （3）水平方向：匀速直线运动；竖直方向：竖直抛体运动。斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 （4）速度公式：v0x=v0cosθ，v0y＝v0sinθ。vx=v0x=v0cosθ，vy＝v0y－gt＝v0sinθ－gt。 位移公式：x＝v0cosθt，。 得分速记 总结提升 1.在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解. 2.与斜面有关的平抛运动拓展 运动情形 题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面 位移方向 分解位移 x＝v0t 斜面外开始，沿斜面方向落入斜面 速度方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt 考向1 平抛运动推论的应用 例1如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【答案】A 【详解】B．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得 联立得 故B错误； A．飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上b点时速度 飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上c点时速度 故A正确； C．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，故C错误； D．水平方向做匀速直线运动，根据 两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，故D错误。 故选A。 【变式训练1】（21-22高一下·福建泉州·期末）（多选）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖离开手时，速度大小相同 B．两飞镖在空中运动时间相同 C．两飞镖击中靶的速度大小相同 D．间距为间距的倍 【答案】CD 【详解】B．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，B错误； A．水平方向做匀速直线运动，根据 两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，A错误； C．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得 联立可得 C正确； C．飞镖打在靶上点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上点时的速度大小为 飞镖打在靶上点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上点时的速度大小为 C正确。 故选CD。 【变式训练2】在具体的物理情景中，由基本规律和公式可以推导出一些“二级结论”，例如“做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点”，直接应用此类推论，有时能大幅提高解题效率。如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的。飞镖A与竖直墙壁成α角，飞镖B与竖直墙壁成β角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，抛出点的位置足够高，已知重力加速度为g。试求： (1)射出点离墙壁的水平距离； (2)若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小的速度击中墙壁，则C的初速度应为多大？ (3)在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角多大？射出点离水平地面的高度应该满足什么条件？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，则有， 又 联立解得射出点离墙壁的水平距离为 （2）若在该射出点水平射出飞镖C，初速度为，则有 飞镖C击中墙壁时的竖直分速度为 则飞镖C击中墙壁时的速度大小为 根据基本不等式可知，当时，飞镖C击中墙壁时的速度最小；此时C的初速度为 （3）在第（2）问情况下，飞镖C击中墙壁时的竖直分速度为 则有 可知飞镖C与竖直墙壁的夹角为；飞镖C下落的高度为 则射出点离水平地面的高度应该满足 考向2 平抛运动与斜面、曲面相结合的综合问题 例2（23-24高三上·福建龙岩·期中）如图所示，在滑雪比赛中，甲、乙两运动员先后从雪坡滑下，水平飞出后均落到斜坡上。已知甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的倍，运动员均可视为质点，不计空气阻力。乙运动员水平飞出时的速度大小为（　　） A． B． C．v0 D．2v0 【答案】B 【详解】 设斜坡的倾角为θ，运动员在斜坡上的位移为L，由平抛运动的知识可得 联立可得 甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的倍，则运动员乙水平飞出时的速度大小为 故选B。 【变式训练1】（2023·福建宁德·一模）如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的判断正确的是（　　）    A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比 B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快 C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大 D．小球落在a点和b点时的速度方向不同 【答案】A 【详解】A．设斜面倾角为，则 可得 两小球的飞行时间均与初速度v0成正比，故A正确； B．两球抛出后只受重力作用，加速度为相同，所以速度的变化快慢相同，故B错误； C．根据题意知，落在a点的高度比落在b点的小，根据，可知落在a点的运动的时间小于b点，根据，可知，落在a点的速度变化小于b点，故C错误； D．设小球落到斜面上速度方向与水平方向的夹角为，则 所以小球落在a点和b点时的速度方向相同，故D错误。 故选A。 【变式训练2】（多选）抗震救灾国之大事，年月日，缅甸发生级地震，为保障灾民生命财产安全，消防队员利用直升机为灾民配送物资。在执行任务时，直升机以的速度在匀速飞行，所配送物资的质量为（含包装材料），物资释放后经过时间落到斜坡上的预定地点。不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物资投出后下落的高度为 B．物资落到斜面时的速度方向与水平方向夹角为 C．物资落到斜坡上的速度大小为 D．从物资释放到落到斜坡上的位移为 【答案】AC 【详解】AD．物资投出后，做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则物资投出后下落的高度为 物资在水平方向做匀速直线运动，则水平位移为 故从物资释放到落到斜坡上的位移为 故A正确，D错误； BC．物资落到斜面时竖直方向的速度为 则物资落到斜坡上的速度大小为 设物资落到斜面时的速度方向与水平方向夹角为，则有 解得 故物资落到斜面时的速度方向与水平方向夹角为，故B错误，C正确。 故选AC。 【变式训练3】（多选）如图所示，圆心为O的半圆形轨道ACB竖直固定在水平地面上，AB是水平直径，C是最低点，D点是B点在水平地面上的投影，圆弧轨道上的E点有个小孔。将小球甲、乙（均视为质点）从A点以水平向左、大小不同的初速度抛出，甲落到C点，乙通过小孔E落在D点，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙从抛出到落地的时间相等 B．乙运动到E点时速度的反向延长线经过O点 C．乙运动到D点时速度的反向延长线经过O点 D．甲、乙在A点的速度大小之比 【答案】AC 【详解】A．两球做平抛运动，根据竖直方向的规律有 甲、乙从抛出到落地的高度相等，则运动时间相等，故A正确； BC．平抛运动速度的反向延长线经过水平位移的中点，故乙运动到E点时速度的反向延长线不可能经过O点，乙运动到D点时速度的反向延长线经过O点，故B错误，C正确； D．根据平抛运动规律有， 根据水平位移关系可知，故D错误； 故选AC。 考向3 平抛运动的临界问题 例3如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中L1=12m，L2=9m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力，重力加速度g=10m/s2）（　　） A． B．15m/s C． D． 【答案】A 【详解】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A点发出后落在C点，网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 由于三角形CMB与三角形CNA相似，则有 又 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 故选A。 【变式训练1】如图甲为一长方形场地ABCD，一个发球机固定在角D处，可以将小球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距D点高为。图乙为对应的俯视图，其中场地长，宽。小球发出后落在阴影区域（包含虚线及边界）内为有效发球。虚线为AB、CD中点的连线，则发球机有效发球时发出小球的速率范围为（忽略一切阻力，重力加速度）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使小球发出后落在阴影区域，则小球最近落点为CD的中点，根据平抛运动有 联立解得 小球最远落点为B点，根据平抛运动有 联立解得 可知发球机有效发球时发出小球的速率范围为 故选A。 【变式训练2】如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点。已知，网高，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为 B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于（仍大于），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 【答案】B 【详解】AB．网球做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立解得 则网球在中间网左、右两侧的水平距离之比 故A错误，B正确； C．若网球的初速度变为原来的两倍，则网球落地时的水平位移 网球出界，故C错误； D．若击球高度低于，则网球运动到与网等高位置的时间变短，若再减小击球速度，网球会落在网前，故D错误。 故选B。 考向4 平抛运动中的追及相遇问题 例4（23-24高一下·福建南平·期末）如图所示，在竖直平面内位于等高的P、Q两点的两个小球相向做平抛动，二者恰好在M点相遇。已知P、Q、M三点组成边长为L的等边三角形，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相等 C．两个小球相遇时速度大小相等 D．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60° 【答案】C 【详解】A．由公式 知两小球下落的竖直高度相同，则时间相同，即两个小球一定同时抛出，A错误； B．由公式 两个小球水平位移相同，时间相同，可知两球的初速度大小一定相同，但方向不同，B错误； C．两个小球相遇时，因水平速度和竖直速度大小均相同，可知合速度大小一定相等，C正确； D．两个小球相遇时速度方向与竖直方向的夹角为 代入得 则，则两个小球相遇时速度方向间的夹角不等于，D错误。 故选C。 【变式训练1】（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有（　　） A．父亲先将球抛出 B．儿子先将球抛出 C．两人同时将球抛出 D．父亲下蹲适当高度后再与儿子同时将球抛出 【答案】AD 【详解】ABC．要想使两球在落地前相遇，则父亲扔出的球的竖直位移较大，则根据 可知，时间超长，即父亲先将球抛出，故A正确，BC错误； D．若父亲下蹲适当高度与儿子高度相同，再与儿子同时将球抛出，则两球在相同时间内下落相同的高度，则也能相遇，故D正确。 故选AD。 【变式训练2】如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】D 【详解】A．设篮球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为、，两球在P点相遇，则在水平方向上有 代入数据解得，故A错误； BC．由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设篮球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为，作出速度分析图，如图所示 由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，根据几何关系可得 可得 又 且甲球下落的高度更高，则有，联立解得，，故BC错误； D．根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差，故D正确。 故选D。 考向5 类平抛运动问题 例5 如图所示的光滑固定斜面长为、宽为、倾角为，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点沿水平方向射入，恰好从底端右侧点离开斜面，已知重力加速度为，不计空气阻力，物块加速度的大小 物块由运动到所用的时间 ，物块由点水平射入时初速度的大小 【答案】 【详解】[1]物块合力沿斜面向下，所以 解得 [2]沿斜面方向有 解得 [3]沿水平方向有 解得 【变式训练1】类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为m的某滑雪运动员以一定初速度v0由O点水平（即v0//CD）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成θ角，运动员最终在E点落地。已知O点距水平面的高度为h，试分析：忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，重力加速度为g，运动员在平台上的加速度a的大小是 ，沿初速度方向做 运动。    【答案】 gsinθ 匀速直线 【详解】[1]根据题意，对运动员受力分析，如图所示    垂直斜面方向上，由平衡条件有 沿斜面方向上，由牛顿第二定律有 解得 方向沿斜面向下。 [2]根据题意，由力的等效性可知，运动员等效只受沿斜面向下的力，大小为，运动员沿斜面水平方向以滑出，即力的方向与方向垂直，则在方向做匀速直线运动。 【变式训练2】跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处不小心撞出一块冰块B，两者一起沿水平方向以从a点飞出，分别落在与水平方向成的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为，，不计冰块下落时空气的作用力，求： (1)冰块B下落时间； (2)空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不计冰块下落时空气的作用力，冰块B水平飞出做平抛运动，设冰块B从开始运动到直斜坡c所用的时间为，由水平方向做匀速直线运动有 竖直方向做自由落体运动有 由几何关系得 联立上式代入数据解得 （2）因为空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，故运动员（含滑雪板）做类平抛运动，由运动的分解与合成可得，水平方向运动有 竖直方向运动有 联立上式代入数据解得 对运动员（含滑雪板）受力分析，竖直方向受到重力和空气的恒定阻力，由牛顿第二定律得 代入数据解得 考向6 斜抛问题 例6 （2024·福建龙岩·二模）玉米是我国重要的农作物。收割后脱粒玉米用如图甲所示的传送带装置。如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒从静止开始被传送到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，一段时间后和传送带保持相对静止，直至从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，玉米被迅速装袋转运，提升了加工转运的效率。已知传送带与水平方向的夹角为θ、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最大高度也是h，若不计风力、空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变 B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为 C．传送带的速度大小为 D．玉米粒飞出后到落地所用的时间为 【答案】B 【详解】A．玉米粒刚放在传送带上时，玉米粒受到沿传送带向上的滑动摩擦力，当玉米粒与传送带达到共速后，受到沿传送带向上的静摩擦力，所受摩擦力发生改变，故A错误； C．设传送带速度为v，玉米粒脱离传送带后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，所以 到达最高点时 解得 故C错误； D．玉米粒从飞出到落地过程，竖直方向上根据位移时间关系有 解得 故D错误； B．从脱离到落地时水平位移为 所以落地点与传送带底端的水平距离为 故B正确。 故选B。 【变式训练1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，从水池里同一位置喷出两水柱A、B，分别落在水平面上的M、N点，两水柱运动的最大高度相同，如图所示。不计空气阻力，对比水柱A、B（　　）    A．A在空中运动的时间比B长 B．B在空中运动的时间比A长 C．在空中运动过程中B速度变化更大 D．A、B加速度始终相等 【答案】D 【详解】AB．两水柱做斜抛运动，在竖直方向为竖直上抛运动，则在竖直方向 解得 由于竖直高度相同，可得在空中运动时间相同，故AB错误； CD．水柱在空中做斜上抛运动，合力为重力，因此加速度均为g，则速度变化为 所以，两水柱速度变化相同，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2024·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： (1)篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； (2)出手时篮球速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）篮球从出手到垂直打在篮板上的逆过程可视为平抛运动，则 解得 （2）由题意可知，水平初速度 竖直初速度 初速度 解得 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 2．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】C 【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有 可得 因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c上面。 故选C。 3.（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 4.（2024·江西·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 5.（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 6．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小（　　） A．O点最大 B．P点最大 C．Q点最大 D．整个运动过程保持不变 【答案】A 【详解】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O点时速度斜向上方，此时速度最大，空气阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛顿第二定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大。 故选A。 7．（2023·新课标卷·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为。 8.（2022·广东·高考真题）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜坡倾角为，运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律 可得 运动员在水平段做匀速直线运动，加速度 运动员从点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度 设在点的速度为，则从点飞出后速度大小的表达式为 由分析可知从点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且 C正确，ABD错误。 故选C。 9.（2022·山东·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设网球飞出时的速度为，竖直方向 代入数据得 则 排球水平方向到点的距离 根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量 平行墙面的速度分量 反弹后，垂直墙面的速度分量 则反弹后的网球速度大小为 网球落到地面的时间 着地点到墙壁的距离 故BD正确，AC错误。 故选BD。 10．（2021·河北·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（　　） A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C 【详解】铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即 解得 铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体，即 解得 则 故选C。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$null 第13讲 抛体运动 目录 01 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 4 考点一 平抛运动的基本规律 4 知识点1 平抛运动的理解和公式 4 知识点2 平抛运动的分析方法 4 考向1 平抛运动的基本应用 4 考向2 平抛运动的偏转角问题 5 【解题技巧】偏转角的分析技巧 考点二 平抛运动的综合应用 7 知识点1 平抛的推论 7 知识点2 类平抛运动的理解 7 知识点3 平抛运动几种重点题型的分析方法 7 考向1 平抛运动推论的应用 9 考向2 平抛运动与斜面、曲面相结合的综合问题 11 考向3 平抛运动的临界问题 12 考向4 平抛运动中的追及相遇问题 13 考向5 类平抛运动问题 14 考向6 斜抛问题 15 0416 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 平抛运动的基本规律 选择题 非选择题 云南卷T3，4分 湖北卷T3，4分 平抛运动的综合应用 选择题 非选择题 江苏卷T4，4分 湖南卷T2，4分 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，以多种题型的形式出现，整体难度一般，个别题目有些难度，往往会以实际生活中的例子或者设定一定的具体问题模型作为试题背景考查知识。 2．从命题思路上看，试题情景为 情景探究类：通过频闪照片等方式记录物体的轨迹，进而分析物体的运动情况。 生活实践类：抛石块，水柱的抛物线，飞机投送物体等关于涉及平抛运动的问题。 复习目标： 目标一：会用运动的合成与分解分析平抛运动，理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移。 目标二：熟练运用平抛运动规律解决相关问题，应用平抛运动的重要推论解决相关问题，了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。 目标三：掌握类平抛运动的特点，能用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。 目标四：了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点，熟练运用平抛运动规律解决相关问题。 考点一 平抛运动的基本规律 知识点1 平抛运动的理解和公式 1.理解 （1）物体以一定的初速度水平方向抛出，如果物体仅受 作用，这样的运动叫做平抛运动。 （2）平抛运动可看作水平方向的 运动以及竖直方向的 运动的合运动。 （3）平抛运动的物体，由于所受的合外力为 ，所以平抛运动是匀变速曲线运动，平抛物体的运动轨迹为一 。 （4）平抛运动是曲线运动 平抛运动的时间仅与抛出点的 有关；物体落地的水平位移与时间（竖直高度）及水平初速度有关，其速度变化的方向始终是 的。 2.平抛运动的公式 水平方向：vx= ,x= 。 竖直方向：vy= ,y= 。。 3.偏向角关系 （1）速度偏向角（末速度与初速度的夹角）的正切值： 。。 （2）位移偏向角（位移与水平方向的夹角）的正切值： 。 知识点2 平抛运动的分析方法 平抛运动的研究方法 (1)把平抛运动分解为水平方向上的 运动和竖直方向上的 运动。 (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等。 考向1 平抛运动的基本应用 例1 （24-25高三上·福建·期中）一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高，水落地的位置到管口的距离为。不计空气阻力及摩擦力，取重力加速度大小，则水从管口喷出的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰能跨越河流落在正河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取g=10m/s2，则人在空中飞行的时间t= s，两平台的高度差h= m。 【变式训练2】如图所示，质量m=0.1kg的物块（可视为质点）置于粗糙水平桌面的最左端。现对物块施加一个F=0.8N的水平向右的恒力，物块由静止出发水平向右运动，经t=1s飞离桌面。此后撤去力F，物块最终落至水平地面上的P点。已知桌面高h=0.45m，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.5，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： （1）物块离开桌面时的速度大小v； （2）物块在水平桌面上运动的距离l； （3）物块落地点P与飞出点的水平距离s。 考向2 平抛运动的偏转角问题 例2投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为和；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，，。下列说法正确的是（　　）    A．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，甲所投箭的初速度比乙的小 B．若两人站在距壶相同水平距离处投壶，乙所投的箭在空中运动时间比甲的长 C．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲所射箭落入壶口时速度比乙大 D．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲投壶位置距壶的水平距离比乙大 解题技巧 偏转角的分析技巧 虽然此类题目中不一定需要求出位移或者速度，但是在偏转角正切值的表达式中肯定存在位移比值或者速度比值，因此实质还是考查对于位移和速度的求解，在解决此类问题时，就当做计算位移和速度的题目即可。 【变式训练1】如图所示，t=0时刻物体以某一初速度水平抛出，t1=1s时到达A点，t2=2s时到达B点，AB连线与水平方向的夹角为θ，且，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，设物体在B点处速度与水平方向的夹角为β，则tanβ等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】如图所示，某同学把一块橡皮从桌边推出后做平抛运动，初速度为，测得桌面离地面的高度为h，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　） A．橡皮从离开桌面到落地的时间为 B．橡皮的水平位移为 C．橡皮落地时的速度大小为 D．橡皮落地点与抛出点的连线与水平地面的夹角正切值为 考点二 平抛运动的综合应用 知识点1 平抛的推论 平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角α、位移方向与水平方向的夹角θ的关系为 。 （2）做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 。 知识点2 类平抛运动的理解 1.受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向 。 2.研究方法：运动的分解 将运动分解为沿初速度方向的 运动和恒定合外力方向的初速度为 的 直线运动。 3.运动规律 初速度v0方向上：vx＝ ，x＝ 。 合外力方向上：a＝ ，vy＝ ，y＝ 。 知识点3 平抛运动几种重点题型的分析方法 1.平抛与斜面、曲面 运动情形 题干信息 分析方法 从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝ vy＝ θ与v0、t的关系： 从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝ θ与v0、t的关系： 2.平抛的临界模型 （1）与平抛运动相关的临界情况 1　 有些题目中“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。 2　 如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。 3　 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。 （2）分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹.当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。 3.斜抛 （1）理解：物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向的夹角为θ)。 （2）斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 （3）水平方向： 运动；竖直方向： 运动。斜上抛运动可以看成水平方向的 运动和竖直方向的 运动的合运动。 （4）速度公式：v0x ，v0y＝ 。vx=v0x= ，vy＝v0y－gt＝ 。 位移公式：x＝ ， 。 得分速记 总结提升 1.在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解. 2.与斜面有关的平抛运动拓展 运动情形 题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面 位移方向 分解位移 x＝v0t 斜面外开始，沿斜面方向落入斜面 速度方向 分解速度 vx＝v0 vy＝gt 考向1 平抛运动推论的应用 例1如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【变式训练1】（21-22高一下·福建泉州·期末）（多选）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖离开手时，速度大小相同 B．两飞镖在空中运动时间相同 C．两飞镖击中靶的速度大小相同 D．间距为间距的倍 【变式训练2】在具体的物理情景中，由基本规律和公式可以推导出一些“二级结论”，例如“做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点”，直接应用此类推论，有时能大幅提高解题效率。如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的。飞镖A与竖直墙壁成α角，飞镖B与竖直墙壁成β角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，抛出点的位置足够高，已知重力加速度为g。试求： (1)射出点离墙壁的水平距离； (2)若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小的速度击中墙壁，则C的初速度应为多大？ (3)在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角多大？射出点离水平地面的高度应该满足什么条件？ 考向2 平抛运动与斜面、曲面相结合的综合问题 例2（23-24高三上·福建龙岩·期中）如图所示，在滑雪比赛中，甲、乙两运动员先后从雪坡滑下，水平飞出后均落到斜坡上。已知甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的倍，运动员均可视为质点，不计空气阻力。乙运动员水平飞出时的速度大小为（　　） A． B． C．v0 D．2v0 【变式训练1】（2023·福建宁德·一模）如图所示，两小球从斜面的顶点先后以不同的初速度向右水平抛出，在斜面上的落点分别是a和b，不计空气阻力。关于两小球的判断正确的是（　　）    A．两小球的飞行时间均与初速度v0成正比 B．落在b点的小球飞行过程中速度变化快 C．落在a点的小球飞行过程中速度变化大 D．小球落在a点和b点时的速度方向不同 【变式训练2】（多选）抗震救灾国之大事，年月日，缅甸发生级地震，为保障灾民生命财产安全，消防队员利用直升机为灾民配送物资。在执行任务时，直升机以的速度在匀速飞行，所配送物资的质量为（含包装材料），物资释放后经过时间落到斜坡上的预定地点。不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．物资投出后下落的高度为 B．物资落到斜面时的速度方向与水平方向夹角为 C．物资落到斜坡上的速度大小为 D．从物资释放到落到斜坡上的位移为 【变式训练3】（多选）如图所示，圆心为O的半圆形轨道ACB竖直固定在水平地面上，AB是水平直径，C是最低点，D点是B点在水平地面上的投影，圆弧轨道上的E点有个小孔。将小球甲、乙（均视为质点）从A点以水平向左、大小不同的初速度抛出，甲落到C点，乙通过小孔E落在D点，忽略空气的阻力，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙从抛出到落地的时间相等 B．乙运动到E点时速度的反向延长线经过O点 C．乙运动到D点时速度的反向延长线经过O点 D．甲、乙在A点的速度大小之比 考向3 平抛运动的临界问题 例3如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中L1=12m，L2=9m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力，重力加速度g=10m/s2）（　　） A． B．15m/s C． D． 【变式训练1】如图甲为一长方形场地ABCD，一个发球机固定在角D处，可以将小球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距D点高为。图乙为对应的俯视图，其中场地长，宽。小球发出后落在阴影区域（包含虚线及边界）内为有效发球。虚线为AB、CD中点的连线，则发球机有效发球时发出小球的速率范围为（忽略一切阻力，重力加速度）（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点正对球网水平向右击出，恰好过中间网的上边沿落在点。已知，网高，重力加速度大小为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球的初速度大小为 B．网球在中间网左、右两侧的水平距离之比为 C．若网球的初速度变为原来的两倍，网球还可以落在对方界内 D．若击球高度低于（仍大于），应减小击球速度，才能让球落在对方界内 考向4 平抛运动中的追及相遇问题 例4（23-24高一下·福建南平·期末）如图所示，在竖直平面内位于等高的P、Q两点的两个小球相向做平抛动，二者恰好在M点相遇。已知P、Q、M三点组成边长为L的等边三角形，则（　　） A．两个小球不一定同时抛出 B．两个小球的初速度大小不相等 C．两个小球相遇时速度大小相等 D．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60° 【变式训练1】（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有（　　） A．父亲先将球抛出 B．儿子先将球抛出 C．两人同时将球抛出 D．父亲下蹲适当高度后再与儿子同时将球抛出 【变式训练2】如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 考向5 类平抛运动问题 例5如图所示的光滑固定斜面长为、宽为、倾角为，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点沿水平方向射入，恰好从底端右侧点离开斜面，已知重力加速度为，不计空气阻力，物块加速度的大小 物块由运动到所用的时间 ，物块由点水平射入时初速度的大小 【变式训练1】类比法是物理学习中经常用到的一种方法。我们可以尝试用类比法分析以下情景（如图1），质量为m的某滑雪运动员以一定初速度v0由O点水平（即v0//CD）滑到一倾斜平台上，平台与水平面成θ角，运动员最终在E点落地。已知O点距水平面的高度为h，试分析：忽略滑板与平台间的摩擦，忽略空气阻力，重力加速度为g，运动员在平台上的加速度a的大小是 ，沿初速度方向做 运动。    【变式训练2】跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，调节飞行姿势，身子与滑雪板平行呈水平状态，如图所示，使空气对运动员（含滑雪板）产生一个竖直向上的恒力，在空中飞行一段距离后着陆。现有总质量的运动员（含滑雪板）A滑到跳台a处不小心撞出一块冰块B，两者一起沿水平方向以从a点飞出，分别落在与水平方向成的直斜坡b、c上，已知a、b两点之间的距离为，，不计冰块下落时空气的作用力，求： (1)冰块B下落时间； (2)空气对运动员（含滑雪板）竖直方向的恒力大小。 考向6 斜抛问题 例6 （2024·福建龙岩·二模）玉米是我国重要的农作物。收割后脱粒玉米用如图甲所示的传送带装置。如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒从静止开始被传送到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，一段时间后和传送带保持相对静止，直至从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，玉米被迅速装袋转运，提升了加工转运的效率。已知传送带与水平方向的夹角为θ、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最大高度也是h，若不计风力、空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变 B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为 C．传送带的速度大小为 D．玉米粒飞出后到落地所用的时间为 【变式训练1】（2024·福建泉州·模拟预测）如图所示，从水池里同一位置喷出两水柱A、B，分别落在水平面上的M、N点，两水柱运动的最大高度相同，如图所示。不计空气阻力，对比水柱A、B（　　）    A．A在空中运动的时间比B长 B．B在空中运动的时间比A长 C．在空中运动过程中B速度变化更大 D．A、B加速度始终相等 【变式训练2】（2024·福建漳州·一模）篮球比赛中，一同学某次跳起投篮，出手点与篮板的水平距离为，离地面高度为，篮球垂直打在竖直篮板上的位置离地面的高度为。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取。求： (1)篮球从出手到垂直打在篮板上的运动时间； (2)出手时篮球速度的大小。 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 2．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（　　） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 3.（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4.（2024·江西·高考真题）（多选）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 6．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O点抛出沿轨迹运动，其中P是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小（　　） A．O点最大 B．P点最大 C．Q点最大 D．整个运动过程保持不变 7．（2023·新课标卷·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 8.（2022·广东·高考真题）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下，经过水平NP段后飞入空中，在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是（　　） A． B． C． D． 9.（2022·山东·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　） A． B． C． D． 10．（2021·河北·高考真题）铯原子钟是精确的计时仪器，图1中铯原子从O点以的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面所用时间为；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为，O点到竖直平面、P点到Q点的距离均为，重力加速度取，则为（　　） A．100∶1 B．1∶100 C．1∶200 D．200∶1 / 学科网（北京）股份有限公司 $$